工学白中英计算机组成原理运算方法与运算器课件.pptx

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1、24 三月 20231目录2.0 数据的类型2.1 数据与文字的表示方法 （掌握）2.2 定点加法、减法运算 （掌握）2.3 定点乘法运算 （理解）2.4 定点除法运算 （理解）2.5 定点运算器的组成 （了解）2.6 浮点运算方法和浮点运算器（掌握）第1页/共190页24 三月 20232学习要求掌握定点和浮点数的表示方法，表示范围；掌握定点数的补码加减法、常用的乘除法运算方法；掌握浮点数的加减运算方法；掌握数据校验的方法；理解溢出判断方法；清楚运算器部件的组成结构及设计方法。第2页/共190页24 三月 202332.0 数据的类型（1/2）按数制分：十进制：在微机中直接运算困难；二进制：

2、占存储空间少，硬件上易于实现，易于运算；十六进制：方便观察和使用；二-十进制：4位二进制数表示1位十进制数，转换简单。按数据格式分：真值：没有经过编码的直观数据表示方式，其值可带正负号，任何数制均可；机器数：符号化编码后的数值(包括正负号的表示)，一般位数固定(8、16、32)，不能随便忽略任何位置上的0或1；第3页/共190页24 三月 202342.0 数据的类型（2/2）按数据的表示范围分：定点数：小数点位置固定，数据表示范围小；浮点数：小数点位置不固定，数据表示范围较大。按能否表示负数分：无符号数：所有均为表示数值，直接用二进制数表示；有符号数：有正负之分，最高位为符号位，其余位表示数

3、值。按编码不同又可分为原码、反码、补码、移码第4页/共190页24 三月 202352.1 数据与文字的表示方法数据格式数的机器码表示数据格式字符与字符串的表示方法汉字的表示方法校验码 第5页/共190页24 三月 20236定点数：小数点固定在某一位置的数据；纯小数：表示形式 有符号数 x=xSx-1x-2x-n 0|x|1-2-n ;xs为符号位无符号数 x=x-1x-2x-nx-(n+1)0 x 1-2-n-1 ;无符号位数据表示范围 0.00=0|x|1-2-n=0.11纯整数：表示形式 有符号数 x=x s x n-1 x 1 x 0|x|2n-1 ;xs为符号位无符号数 x=x n

4、 x n-1 x 1 x 0 0 x2n+1-1;xn为数值位注意：小数点的位置是机器约定好的，并没有实际的保存。x0 x-1x-2x-3 x-n xnxn-1xn-2x1x0数据格式定点数 设采用n+1位数据第6页/共190页24 三月 20237定点机的特点所能表示的数据范围小使用不方便，运算精度较低存储单元利用率低第7页/共190页24 三月 20238数的机器码表示（有符号数）计算机中是不会存储+号的，那么怎么表示符号位呢，怎么让符号位同数值位一道参加运算呢。这就是怎么样把真值转换成机器码（原、反、补、移码）重点：1、原码、补码、移码的表示形式2、补码的定义3、原码、补码、移码的表示范

5、围第8页/共190页24 三月 202391、原码表示法定义定义：定点小数：x原定点整数：x原举例：+0.110 原 0.110-0.110原 1-(-0.110)=1.110+110原 0110-110原 23-(-110)1000+110=1110 x1 x 0 x表示真值表示真值1-x=1+|x|0 x-1x2n x 0 n表示数值位表示数值位2n-x=2n+|x|0 x-2n实际机器中保存时实际机器中保存时并不保存小数点，并不保存小数点，等到的就是机器码等到的就是机器码中的原码。中的原码。xn xn-1xn-2x1x0Xn是符号位，0表示正，1表示负第9页/共190页24 三月 202

6、3101、原码表示法特点0有两种表示法+0原=0000 ;-0原=1000数据表示范围定点小数：-1X1定点整数:-2nX2n （若数值位n=3即：-8X x 02+x=2-|x|0 x -1x 2n x 02n+1+x=2n+1-|x|0 x -2nx为为n+1位位（mod 2）模模+真值真值（mod 2n+1）实际机器中保存时实际机器中保存时并不保存小数点并不保存小数点 xnxn-1xn-2x1x0第14页/共190页24 三月 2023152、补码表示法特点0有唯一的表示法-0补 24+(-0)mod 24 0000 +0补数据表示范围定点小数：-1X1定点整数:-2nX2n （若n=3

7、，则-8X x -2n与x补的区别：符号位相反优点：可以比较直观地判断两个数据的大小；浮点数运算时，容易进行对阶操作；表示浮点数阶码时，容易判断是否下溢；当阶码为全0时，浮点数下溢。真值真值补码补码移码移码-810000000-710010001-610100010000001000+100011001+7011111114位补码与移码 xnxn-1xn-2x1x0第20页/共190页24 三月 202321原、补、移码的编码形式正数：原、补码的编码完全相同；补码和移码的符号位相反，数值位相同；负数：原码：符号位为1 数值部分与真值的绝对值相同补码：符号位为1数值部分与原码各位相反，且末位加1

8、移码：符号位与补码相反，数值位与补码相同第21页/共190页24 三月 202322课本P22例6以定点整数为例,用数轴形式说明原码、反码、补码、移码表示范围和可能的数码组合情况。第22页/共190页24 三月 20232324 三月 202323课本P22例7将十进制真值(127，1，0，1，127)列表表示成二进制数及原码、反码、补码、移码值。十进制真十进制真值值二进制真值二进制真值原码表示原码表示反码表示反码表示补码表示补码表示移码表示移码表示-127-111 11111111 11111000 00001000 00010000 0001-1-000 00011000 00011111

9、 11101111 11110111 11110+000 00000000 00000000 00000000 00001000 0000-000 00001000 00001111 1111+1+000 00010000 00010000 00010000 00011000 0001+127+111 11110111 11110111 11110111 11111111 1111符号位+0；-1数值位各位取反数值位末位加1符号位(正负数)取反负数时第23页/共190页24 三月 202324P22例8设机器字长16位，定点表示，尾数15位，数符1位，问：(1)定点原码整数表示时，最大正数是多

10、少？最小负数是多少？(2)定点原码小数表示时，最大正数是多少？最小负数是多少？0111 1111 1111 11111111 1111 1111 11110111 1111 1111 11111111 1111 1111 1111(215-1)=+32767-(215-1)=-32767(1-2-15)=+(1-1/32768)-(1-2-15)=-(1-1/32768)定点原码整数最大正数最小负数定点原码小数最大正数最小负数第24页/共190页24 三月 202325数据格式浮点数浮点数：小数点位置可变，形如科学计数法中的数据表示。浮点数格式定义：N=Re MM：尾数(mantissa)，是

11、一个纯小数（整数部分为0的小数），表示数据的全部有效数位，决定着数值的精度；R：基数(radix)，可以取2、8、10、16，表示当前的数制；微机中，一般默认为2，隐含表示。e：阶码(exponent)，是一个整数，用于指出小数点在该数中的位置，决定着数据数值的大小。机器数的一般表示形式阶符阶符阶码阶码数符数符尾数尾数数符数符阶符阶符阶码阶码尾数尾数第25页/共190页24 三月 202326科学计数法的表示一个十进制数可以表示成不同的形式：同理，一个二进制数也可以有多种表示：第26页/共190页24 三月 202327浮点数规格化浮点数的表示1.1120=0.11121=11.12-1规格化

12、的目的保证浮点数表示的唯一性；保留更多地有效数字，提高运算的精度。规格化要求1/R|尾数|1；R为基数，如2，即大于1/2规格化处理：尾数向左移n位(小数点右移)，同时阶码减n；尾数向右移n位(小数点左移)，同时阶码加n。右规右规左规左规第27页/共190页24 三月 202328浮点数的规格化尾数用原码表示时尾数数值最高数值位为1；尾数形如0.1（正）；或1.1（负）；例如，0.01125要规格化则变为0.1124；0.01125要规格化则变为1.1124；尾数用补码表示时尾数最高数值位和尾数符号位相反；尾数形如0.1（正）；或1.0（负）例如，0.01125要规格化，则变为0.1124；0

13、.01125要规格化，则变为1.0124；第28页/共190页24 三月 202329浮点数的数据表示范围 N=Re M0最大最大负数负数最小最小正数正数最小最小负数负数最大最大正数正数下溢区上溢区上溢区负数区正数区尾数尾数负的最小值负的最小值负的最大值负的最大值 正的最小值正的最小值 正的最大值正的最大值阶码阶码正的最大值正的最大值负的最小值负的最小值 负的最小值负的最小值 正的最大值正的最大值浮点数的溢出：阶码溢出上溢：阶码大于所能表示的最大值；无穷下溢：阶码小于所能表示的最小值；0机器零：尾数为 0，或阶码小于所能表示的最小值；2e0第29页/共190页24 三月 202330浮点数的最

14、值 N=M Re非规格化数据非规格化数据规格化数据规格化数据真值真值机器数机器数机器数机器数真值真值最小最小负数负数最大最大负数负数最小最小正数正数最大最大正数正数设浮点数格式为1位阶符位阶符m位阶码位阶码1位数符位数符n位尾数位尾数移码表示移码表示-2m，+(2m-1)补码表示补码表示-1，+(1-2-n)-12+(2m-1)-2-n2-2m+2-n2-2m+(1-2-n)2+(2m-1)1,111;1.00000,000;1.11110,000;0.00011,111;0.1111同左同左0 000;1 0111-(2-1+2-n)2-2m+2-12-2m同左同左0 000;0 1000第

15、30页/共190页24 三月 2023310 1 1 0 1 11 5 1 9 【例1】设浮点数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码采用补码表示，尾数采用原码表示，分析其浮点数表示范围。最大正数 N=MRe最大正数为0.11120111 即（129）231该浮点数即为规格化数形式；阶码补码尾数原码第31页/共190页24 三月 202332【例1】设浮点数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码采用补码表示，尾数采用原码表示，分析其浮点数表示范围。最小正数N=MRe非规格化数形式最小正数为0.0012100 即29 2（25）=29 2-32规格化数形式最小正数

16、为0.12100 21 2（25）2331 0 0 0 1 001 5 1 9 1 0 0 0 0 011 5 1 9 阶码补码尾数原码第32页/共190页24 三月 202333【例1】设浮点数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码采用补码表示，尾数采用原码表示，分析其浮点数表示范围。最小负数N=MRe最小负数为0.112011即（129）2（251）=（129）231该浮点数即为规格化数形式；0 1 1 1 1 11 m 1 n 阶码补码尾数原码第33页/共190页24 三月 202334【例1】设浮点数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码采用补码表示，尾

17、数采用原码表示，分析其浮点数表示范围。最大负数非规格化数形式最大负数为0.0012100即 29 2（25）=29 2-32规格化数形式最大负数为0.12100即 21 2（25）=2-1 2321 0 0 1 1 001 m 1 n 1 0 0 1 0 011 m 1 n 阶码补码尾数原码第34页/共190页24 三月 202335【例2】设浮点数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码和尾数均采用补码表示，分析其规格化浮点数表示范围。最大正数阶码最大、尾数最大最大正数为0.1112111（129）231最小正数（规格化后）最小正数为0.1000232 即2-3221 2-33

18、注意：不是 因为0.01 2-32不是规格化数。0 1 1 0 1 11 5 1 9 1 0 0 0 10 001 5 1 9 1 0 0 0 0 011 5 1 9 阶码补码尾数补码第35页/共190页24 三月 202336【例2】设浮点数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码和尾数均采用补码表示，分析其规格化浮点数表示范围。最小的负数最小负数为1.000231即231（1）=231最大的负数最大负数为0.1001232 即（29+21）232注意：因有规格化要求，不是0 1 1 1 0 01 5 1 91 0 0 1 0 1 11 5 1 9 1 0 0 1 1 1 11

19、 5 1 9 阶码补码尾数补码第36页/共190页24 三月 202337浮点数的IEEE754标准表示IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers）美国电气及电子工程师学会IEEE是一家总部在美国的工程技术和电子专家的组织；IEEE致力于电气、电子、计算机工程和与科学有关的领域的开发和研究，也是计算机网络标准的主要制定者。为便于软件移植，按照 IEEE754 标准，实际机器内32位浮点数和64位浮点数的标准格式如下：022233031SEM2323位尾数，仅为数值部分位尾数，仅为数值部分8 8位阶码，包括阶符位阶码，包括阶符1

20、1位数符位数符3232位浮点数位浮点数051526263SEM6464位浮点数位浮点数1111位阶码，包括阶符位阶码，包括阶符 5252位尾数，仅为数值部分位尾数，仅为数值部分1 1位数符位数符第37页/共190页24 三月 20233832位浮点数的IEEE754 标准表示数符S：表示浮点数的符号，占1位，0正数、1负数；尾数M：23位，原码纯小数表示，小数点在尾数域的最前面；由于原码表示的规格化浮点数要求，最高数值位始终为1，因此该标准中隐藏最高数值位(1)，尾数的实际值为1.M；阶码E：8 位，采用有偏移值的移码表示；移127码，即E=e+127，E的8位二进制数即为移127码的编码；浮

21、点数的真值：N=（-1）S（1.M）2E-127数符数符S阶码阶码E尾数尾数M阶码移码尾数原码第38页/共190页24 三月 202339IEEE754 标准格式（64位格式）其真值表示为：x=（1）S（1.M）2E1023 eE1023第39页/共190页24 三月 202340IEEE754 标准的数据表示IEEE754 标准中的阶码E正零、负零E与M均为零，正负之分由数据符号确定；正无穷、负无穷E为全1，M为全零，正负之分由数据符号确定；阶码E的其余值（0000 00011111 1110）为规格化数据；真正的指数e的范围为-126+127E=0000 0000，M=0000 0000E

22、=1111 1111，M=0000 00000000 0000 1111 1111第40页/共190页24 三月 202341IEEE754 标准对特殊数据的表示符号位符号位S阶码阶码E尾数尾数M数值数值N0/10=000/100（-1）S（0.M）2-1260/112540（-1）S（1.M）2E-1270/12550NaN（非数值）（非数值）0/1255=0（-1）S(无穷大无穷大)第41页/共190页24 三月 202342课本P18 例1例1 若浮点数的754标准存储格式为(41360000)16，求其浮点数的十进制数值。解：(41360000)16=0100 0001 0011 01

23、10 0000 0000 0000 0000指数e=E-127=1000 0010 0111 1111=0000 0011=3尾数1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.011011浮点数 N =（-1）S（1.M）2e=（-1）0（1.011011）23 已经是标准化 =(11.375)10数符数符S阶码阶码E尾数尾数M第42页/共190页24 三月 202343课本P18 例2例2 将(20.59375)10转换成754标准的32位浮点数的二进制存储格式。解：(20.59375)10(10100.10011)2将尾数规范为1.M的形式：10100.1001

24、11.01001001124e4可得：M 010010011 S 0E 41271311000 0011故，32位浮点数的754标准格式为：0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000(41A4C000)16 第43页/共190页24 三月 202344单精度浮点数与双精度浮点数高级语言的float、double使用的即是IEEE754规定的格式。float：32位浮点值，也叫单精度浮点数（4字节保存）double：64位浮点值，也叫双精度浮点数（8字节保存）单精度浮点数的例子：1位 8位 7位 8位 8位 -11000.01第44页/共190页24 三月 2

25、02345单精度浮点数与双精度浮点数除0之外，IEEE754标准中单精度浮点数所能表示的绝对值最小的规格化浮点数的格式为：S 0000 0001 00000000000000000000000V=（-1）S2-126（1.M）=（-1）S2-126（1+0.000）l除之外，IEEE754标准中单精度浮点数所能表示的绝对值最大的规格化浮点数的格式为：lV=（-1）S2+127（1.M）=（-1）S2-126（1+1.111）第45页/共190页24 三月 202346求解技巧例如：将下列十进制数表示成IEEE754格式的32位浮点数二进制存储形式。27/32 11/512求解：27/32=27

26、*(1/32)=(0001 1011)2*2-5尾数：1.1011；阶码：e=-5+4=-1，E=e+127=126IEEE754数据：0 0111 1110 1011 0000 0000 0000 0000 00011/512=(0000 1011)2*2-9尾数：1.011；阶码：e=-9+3=-6，E=e+127=121IEEE754数据：0 0111 1001 0110 0000 0000 0000 0000 00第46页/共190页24 三月 202347例：将十进制数-54表示成二进制定点数(16位)和浮点数(16位，其中数值部分10位，阶码部分4位，阶符和数符各取1位)，并写出它

27、在定点机和浮点机中的机器数形式。令 x=-54，则x=-11011016位定点数真值表示：x=-000 0000 0011 0110定点机器数形式 x原：x补：浮点数规格化表示：x=-(0.1101100000)2110浮点机器数形式 x原：x补：非IEEE754标准1 000 0000 0011 01101 111 1111 1100 10100 0110;1 11 0110 00000 0110;1 00 1010 0000第47页/共190页24 三月 202348最大正数：x=1+(1-2-23)2127最小正数：x=1.0 2-128最小负数：x=-1+(1-2-23)2127最大负

28、数：x=-1.0 2-128课本P23例9假设一个32位非零规格化浮点数，真值表示为：问：它所表示的规格化的最大正数、最小正数、最大负数、最小负数是多少？（尾数用原码表示，类似IEEE，但不是）数符数符阶码阶码尾数尾数01111 1111 1111 1111 1111 1111111 1111数符数符阶码阶码尾数尾数00000 0000 0000 0000 0000 0000000 0000数符数符阶码阶码尾数尾数11111 1111 1111 1111 1111 1111111 1111数符数符阶码阶码尾数尾数10000 0000 0000 0000 0000 0000000 0000第48

29、页/共190页24 三月 202349浙江大学考研试题 计算机储存程序的特点之一是把数据和指令都作为二进制信号看待。今有一计算机字长32bit，数符位是第31bit；单精度浮点数格式如图所示。对于二进制数1000 1111 1110 1111 1100 0000 0000 0000 表示一个补码整数，其十进制值是多少？表示一个无符号整数，其十进制值是多少？表示一个IEEE754标准的单精度浮点数，其值是多少？8位位23位位131 30 23 22 0第49页/共190页24 三月 202350二进制数1000 1111 1110 1111 1100 0000 0000 0000表示一个补码整数

30、，其十进制值是多少？n作为补码整数，其对应的原码是1111 0000 0001 0000 0100 0000 0000 0000n十进制值是-（230+229+228+220+214）表示一个无符号整数，其十进制值是多少？n作为无符号整数，其十进制值是231+227+226+225+224+223+222+221+219+218+217+216+215+214第50页/共190页24 三月 202351二进制数1 000 1111 1 110 1111 1100 0000 0000 0000 作为IEEE754标准的单精度浮点数n阶码E是0001 1111n指数e阶码E1270001 1111

31、0111 1111 -1100000B-96Dn尾数M=110 1111 1100 0000 0000 0000n则1.M=1.110 1111 1100 0000 0000 0000=1.110 1111 11单精度浮点数值为：X(-1)s1.M2e-(1.110 1111 11)2-96 -(0.1110 1111 11)2-95 -(1416-11516-21216-3)2-95 -0.31152-95 第51页/共190页24 三月 2023522009考研真题12.一个C语言程序在一台32位机器上运行。程序中定义了三个变量x，y和z，其中x和z是int型，y为short型。当x=12

32、7，y=-9时，执行赋值语句z=x+y后，x、y和z的值分别是：A.x=0000007FH,y=FFF9H,z=00000076HB.x=0000007FH,y=FFF9H,z=FFFF0076HC.x=0000007FH,y=FFF7H,z=FFFF0076HD.x=0000007FH,y=FFF7H,z=00000076H第52页/共190页24 三月 2023532010考研真题14.假定变量i，f，d数据类型分别为int,float,double(int用补码表示，float和double用IEEE754单精度和双精度浮点数据格式表示)，已知i=785，f=1.5678e3，d=1.5

33、e100，若在32位机器中执行下列关系表达式，则结果为真的是()(I)i=(int)(float)i(II)f=(float)(int)f(III)f=(float)(double)f(IV)(d+f)-d=f A.仅I和II B.仅I和III C.仅II和III D.仅III和IV关键是关键是“=”两端的数据类两端的数据类型是否一致！型是否一致！第53页/共190页24 三月 202354数据格式十进制数串的表示方法字符串形式每个十进制数位占用一个字节；除保存各数位，还需要指明该数存放的起始地址和总位数；主要用于非数值计算的应用领域。压缩的十进制数串形式采用BCD（二-十编码）码表示，一个字

34、节可存放两个十进制数位；4：1节省存储空间，便于直接完成十进制数的算术运算；用特殊的二进制编码表示数据正负，如1100正、1101负第54页/共190页24 三月 202355字符与字符串的表示方法ASCII码(美国国家信息交换标准字符码)包括128个字符，共需7位编码；ASCII码规定：最高位为0，余下7位作为128个字符的编码。最高位的作用：奇偶校验；扩展编码。字符串指连续的一串字符，每个字节存一个字符。当存储字长为2、或4个字节时，在同一个存储单元中;可按从低位字节向高位字节的顺序存放字符串的内容;或按从高位字节向低位字节的次序顺序存放字符串的内容。第55页/共190页24 三月 202

35、356汉字的表示方法汉字的输入编码 目的：直接使用西文标准键盘把汉字输入到计算机。分类：主要有数字编码、拼音码、字形编码三类。汉字内码用于汉字信息的存储、交换、检索等操作的机内代码一般采用两个字节表示，为了和ASCII区别，最高位为1。汉字字模码用点阵表示的汉字字形代码，用于汉字的输出。第56页/共190页24 三月 202357显示输出显示输出打印输出打印输出机内码向字形码转换机内码向字形码转换机内码机内码输入码向机内码转换输入码向机内码转换中文编码字符代码化（输入）字符代码化（输入）数字码数字码拼音码拼音码字形码字形码第57页/共190页24 三月 202358汉字字模码精密型精密型484

36、8 4848288288提高型提高型3232 3232128128普及型普及型2424 24247272简易型简易型1616 16163232汉字点阵类型汉字点阵类型点阵点阵占用字节数占用字节数第58页/共190页24 三月 202359校验码（数据校验）数据校验原因为减少和避免数据在计算机系统运行或传送过程中发生错误，在数据的编码上提供了检错和纠错的支持。数据校验码的定义能够发现某些错误或具有自动纠错能力的数据编码；也称检错码；数据校验的基本原理是扩大码距；码距：任意两个合法码之间不同的二进制位的最少位数；仅有一位不同时，称其码距为1。第59页/共190页24 三月 202360码距及作用设

37、用四位二进制表示16种状态16种编码都用到了，此时码距为1；任何一种状态的四位码中的一位或几位出错，就变成另一个合法码；无查错能力。若用四位二进制表示8个状态只用其中的8种编码，而把另8种编码作为非法编码；可使码距扩大为2；注意：并不是任选8种编码都可扩大码距；第60页/共190页24 三月 202361校验码的类型奇偶校验码判断数据中1的个数设置1位校验位；分奇校验和偶校验两种，只能检错，无纠错能力；海明校验码在奇偶校验的基础上增加校验位而得；具有检错和纠错的能力；循环冗余校验码（CRC）通过模2的除法运算建立数据信息和校验位之间的约定关系；具有很强的检错纠错能力。第61页/共190页24

38、三月 202362奇偶校验码概念奇偶校验原理在数据中增加1个冗余位，使码距由1增加到2；如果合法编码中有奇数个位发生了错误，就将成为非法代码。增加的冗余位称为奇偶校验位。校验的类型偶校验：每个码字(包括校验位)中1的数目为偶数。奇校验：每个码字(包括校验位)中1的数目为奇数。校验过程发送端：按照校验类型，在发送数据后添加校验位P；接收端：对接收到的数据（包括校验位）进行同样类型的校验，决定数据传输中是否存在错误；第62页/共190页24 三月 202363奇偶校验码校验原理偶校验：在接收端求校验位P=D7D6D5D4D3D2 D1 D0 P若P0，则无错；若P1，则有错。奇校验：在接收端求校验

39、位P=D7D6D5D4D3D2 D1 D0 P若P1，则无错；若P0，则有错。电路实现：一般采用异或电路得到校验位。1010 1011求校验码求校验码偶校验码偶校验码 1010 1011 1奇校验码奇校验码 1010 1011 0第63页/共190页24 三月 202364接收端接收端字字校验位校验位校验码校验码例例1：数据数据 0010 0001奇校验码奇校验码0010 0001 1偶校验码偶校验码0010 0001 0例例2：数据：数据 ：0111 0101偶校验码偶校验码 0111 0101 1发送端发送端（门电路）（门电路）0110 0101 1出错！出错！奇偶校验码 例题（1/2）第

40、64页/共190页24 三月 202365例例3：数据：数据 ：0111 0101奇校验码奇校验码 0111 0101 0发送端发送端（门电路）（门电路）0110 0111 0接收端接收端正确正确奇偶校验只能发现奇偶校验只能发现奇数个错误，且不能奇数个错误，且不能纠正错误！纠正错误！奇偶校验码例题（1/2）第65页/共190页24 三月 202366海明码海明码是1950年提出的；只要增加少数的几位校验码，即可检测出多位出错，并能自动恢复一或几位出错信息；实现原理：在一个数据中加入几个校验位，每个校验位和某几个特定的信息位构成偶校验的关系；接收端对每个偶关系进行校验，产生校验因子；通过校正因子

41、区分无错和码字中的n个不同位置的错误；不同代码位上的错误会得出不同的校验结果；第66页/共190页24 三月 202367海明码确定校验位的位数设K为有效信息的位数，r为校验位的位数，则整个码字的位数N应满足不等式：NKr2r1 通常称为（N，K）海明码设某(7,4)海明码表示的码字长度为 位，校验位数为 位。例如：数据D3D2D1D0=1001K=4，r+5 2r；可知，需要校验位3位P3P2P1;73第67页/共190页24 三月 202368海明码确定校验位的位置数据表示数据位D（DiDi-1D1D0）、校验位P（PjPj-1P2P1）海明码H（包括数据位和校验位）：HmHm-1H2H1

42、；分组原则每个校验位Pi从低到高被分在海明码中位号2i-1的位置；例如：数据D3D2D1D0=1001，校验位P3P2P1海明码共7位H7H6H2H1，各位分配如下：H7H6H5H4H3H2H1P1 P2 P3 D0 D1 D2 D3 第68页/共190页24 三月 202369海明码校验分组校验原则海明码的每一位Hi有多个校验位校验，其关系是被校验的每一位位号等于校验它的各校验位的位号之和；每个信息位的位置写成用2的幂次之和的形式；例如H7参与H1、H2、H4的校验；H6参与H2、H4的校验；H5参与H1、H4的校验；H3参与H1、H2的校验；分组情况H7H6H5H4H3H2H1P1 P2

43、P3 D0 D1 D2 D3 第一组P1第二组P2第三组P3第一组（P1、D3、D1、D0）第二组（P2、D3、D2、D0）第三组（P3、D3、D2、D1）第69页/共190页24 三月 202370海明码校验位的形成校验位形成公式P1第一组中所有位(除P1)求异或 Pj 第j组中所有位(除Pj)求异或为了能检测两个错误，增加一位校验Pj1，放在最高位。Pj 1所有位(包括P1，P2，Pj)求异或例如：P1D3D1 D0=1 0 1=0P2D3D2 D0=1 0 1=0P3D3D2 D1=1 0 0=1P4D3D2D1D0P3P2P1=1001001=1第一组（P1、D3、D1、D0）第二组（

44、P2、D3、D2、D0）第三组（P3、D3、D2、D1）但不能但不能纠错！纠错！第70页/共190页24 三月 202371海明码接收端校验（1/2）接收端接收到数据后，分别求S1，S2，S3，Sj S1第一组中所有位(包括P1)求异或 Sj第j组中所有位(包括Pj)求异或Sj 1 Pj 1 所有位(包括P1，P2，Pj)求异或 当Sj 11时，有一位出错；由Sj S3 S2S1 的编码指出出错位号，将其取反，即可纠错。当Sj 10时，无错或有偶数个错（两个错的可能性比较大）；当Sj S3 S2S1 0 0 00时，接收的数无错，否则有两个错。第71页/共190页24 三月 202372同上例

45、，接收端接收的数据为接收端求SS10101=0S20101=0S31100=0S411001 100=0若接收端接收到错误的数据S10101=0S20111=1S31110=1S411101 100=1海明码接收端校验（2/2）H8H7H6H5H4H3H2H1P4D3D2D1P3D0P2P111001100第一组（P1、D3、D1、D0）第二组（P2、D3、D2、D0）第三组（P3、D3、D2、D1）无错误！无错误！1S4=1，有错误！，有错误！S3S2S1=110，H6位有错，应取反！位有错，应取反！第72页/共190页24 三月 202373【练习】设待校验的数据为D7D010101011

46、，写出其海明校验码。【解】确定海明校验位的位数 因为K8，由NKr 2r1，得9r 2r，校验位的位数为r4。确定校验位的位置 i：12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 D7 D6 D5 D4 P4 D3 D2 D1 P3 D0 P2 P1分组（N位分r组）位号位号i121110987654321D7D6D5D4P4D3D2D1P3D0P2P110101011第一组第一组(P1)第二组第二组(P2)第三组第三组(P3)第四组第四组(P4)第73页/共190页24 三月 202374【练习】设待校验的数据为D7D010101011，写出其海明校验码。校验位的形成 P1=D6 D4

47、 D3 D1 D0 1；P2=D6 D5 D3 D2 D0 1 P3=D7 D3 D2 D1 1；P4=D7 D6 D5 D4 0 所以，信息码10101011的海明校验码为：1010 0 101 1 1 11第74页/共190页24 三月 202375海明码的纠错与检错能力一个系统能纠正一位差错时，码距最小是3；码距为3时，或能纠正一位错，或能检测二位错；但不能同时纠正一位错并检测二位错。码距为1至7时，海明码的纠错和检错能力如右表：码距越大，纠错能力越强，但数据冗余也越大，即编码效率低了。码距码距码码 能能 力力检错检错 纠错纠错1 10 00 02 21 01 03 32 2 或或 1

48、14 42 2 并并 1 15 52 2 并并 2 26 63 3 并并 2 27 73 3 并并 3 3第75页/共190页24 三月 202376CRC校验CRC的工作方法在发送端产生一个循环冗余码，附加在信息位后面一起发送到接收端；接收端收到的信息按发送端形成循环冗余码同样的算法进行校验；若无错，则接收；若有错，需重发。CRC的特点可检测出所有奇数位错；可检测出所有双比特的错；可检测出所有小于、等于校验位长度的突发错。CRC码的信息字段和校验字段的长度可以任意选定。第76页/共190页24 三月 2023772.2 定点加法、减法运算 补码加法补码减法溢出概念与检验方法基本的二进制加法、

49、减法器第77页/共190页24 三月 202378补码加法补码加法运算基本公式定点整数：x+y补 x补+y补 （mod 2n+1）定点小数：x+y补 x补+y补（mod 2）证明（1）证明依据：补码的定义(以定点小数为例)（2）证明思路：分三种情况。(a)x、y均为正值（0，0）(b)x、y一正一负（0，0 或者0）(c)x、y均为负值（0，0）第78页/共190页24 三月 202379补码加法公式证明（1/2）证明：(a)0,0补补补(mod2)(b)0,0 x补=2+x,y补=2+yx补+y补=2+x+2+y=2+(2+x+y)=2+x+y补（mod2）=x+y补第79页/共190页24

50、 三月 202380补码加法公式证明（2/2）(c)0,0(0的证明与此相同)x补=x ,y补=2+y x补+y补=x+2+y=2+(x+y)当x+y0时，2+(x+y)2，进位2必丢失；因(x+y)0，故x补+y补=x+y=x+y补 (mod 2)当x+y0时，2+(x+y)2 因(x+y)0，故x补+y补=2+(x+y)=x+y补 (mod 2)第80页/共190页24 三月 202381定点数补码加法举例例11+1001,+0101，求。解：补0 1001,补0 0101 补 0 1001 补0 0101 补 0 1110 所以1110 例12 x1011,0101,求。解：补0 101