常数项级数的收敛性及其判别法.pptx

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1、一、正项级数及其收敛性判别法1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:基本定理（正项级数收敛判别法则）部分和数列 为单调增加数列.推广：同号级数第1页/共38页 例 1.判定 的敛散性.解由基本定理知,故级数的部分和该正项级数收敛.由于第2页/共38页证明即部分和数列有界3.比较判别法第3页/共38页不是有界数列定理证毕.比较判别法的不便:须有参考级数.第4页/共38页解由图可知第5页/共38页重要参考级数:几何(等比)级数,p-级数,调和级数.第6页/共38页证明第7页/共38页4.比较判别法的极限形式:设=1nnu与=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的

2、敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若=1nnv发散,则=1nnu发散;第8页/共38页证明由比较审敛法的推论,得证.第9页/共38页第10页/共38页解原级数发散.故原级数收敛.第11页/共38页证明第12页/共38页收敛发散第13页/共38页达朗贝尔判别法的优点:不必找参考级数.2.若用达朗贝尔判别法判定级数发散级数的通项un不趋于零.后面将用到这一点.1.适用范围：的若干连乘积(或商)的形式.注第14页/共38页因为：第15页/共38页解第16页/共38页比值判别法失效,改用比较判别法第17页/共38页例.利用级数收敛性,证明证 考查级数由于故级数 收敛.由级数收敛的必要条件

3、知,第18页/共38页级数收敛.第19页/共38页二、交错级数及其收敛性判别法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.第20页/共38页证明第21页/共38页满足收敛的两个条件,定理证毕.第22页/共38页第23页/共38页解原级数收敛.一个基本例子：第24页/共38页三、绝对收敛与条件收敛定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明第25页/共38页上定理的作用：任意项级数正项级数第26页/共38页解故由定理知原级数绝对收敛.第27页/共38页 判别级数 是否收敛?如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?早期研究生考试题早期研究生考试题解因为为交错级数.正第28页/共38页根据比较判别法的极限

4、形式:知发散.即原级数不是绝对收敛.(1)第29页/共38页因为为交错级数.由于(2)所以级数 收敛,且为条件收敛.故级数满足莱布尼茨定理的两条件,第30页/共38页通常先考查它若使用比值法或根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项不趋于零),对交错级数,利用无穷级数的性质1、2 将级数如不是绝对收敛的,再看它是否条件收敛.便可断言级数发散.可用莱布尼茨定理.然后讨论敛散性也是常用手段.拆开为两个级数,(用正项级数的审敛法),讨论任意项级数的收敛性时,是否绝对收敛第31页/共38页四、小结正 项 级 数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;第32页/共38页 正项级数审敛法的思维程序1.2.若 比值、根值法;若失效3.比较审敛法的极限形式4.5.充要条件6.按基本性质7.?比较审敛法发散;第33页/共38页任意项级数审敛法的思维程序3.交错级数(莱布尼茨定理)1.?发散2.绝对收敛4.按基本性质5.第34页/共38页思考题第35页/共38页思考题解答由比较判别法知 收敛.反之不成立.例如：收敛,发散.第36页/共38页作业第37页/共38页谢谢您的观看！第38页/共38页