直接三角分解法.pptx

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1、和使M2M1A b=A(1)b(1),其中l21=a21/a11,l31=a31/a11再将进行初等行变换,得到 这相当于左乘初等行变换矩阵 第1页/共25页,其中,则。记,则U是一个上三角矩阵,有。则。其中,。记L是下三角矩阵。这就是矩阵A的LU分解:A=LU。第2页/共25页3.分解的充要条件定理1:A能分解为的充分必要条件是A的各阶顺序主子式均不为零。即,。4、LU分解的紧凑格式我们不必在高斯消去法过程中产生L和U,而是直接用矩阵A来进行LU分解。下面导出计算公式因A=LU则 第3页/共25页4、LU分解的紧凑格式我们不必在高斯消去法过程中产生L和U,而是直接用矩阵A来进行LU分解。下面

2、导出计算公式因A=LU则 第4页/共25页利用矩阵乘法,得第5页/共25页综合以上分析,有因此可以推导出U的第一行L的第一列-(1)-(2)第6页/共25页U的第r行L的第r列-(3)-(4)称上述(1)(4)式所表示的分解过程为Doolittle分解由此可以得到和的计算公式:。在U的第行和L的第列计算出来后再先计算U的第一行计算L的第j列:第7页/共25页在U的第行和L的再计算U的第i行:计算的过程是:U第1行,L第1列,U第2行,L第2列,顺序计算。第列均计算出来后第8页/共25页1.计算流程第9页/共25页2.存储问题和全部流程U可以存储在A的上三角部分,L可以存储在A的下三角部分,对角

3、元存U的对角元,A的对角元为1而不必存储,如下图:第10页/共25页用LU分解来解线性方程组的全部流程如下:第11页/共25页例1:利用LU分解求解线性方程组解:第一步,A的LU分解第12页/共25页第二步,求解解得:,。第二步,求解解得:,。第13页/共25页矩阵的三种形式的分解:Doolittle分解:A=LU (单位下三角与上三角)Crout分解:(下三角与单位上三角)LDU分解:A=LDU (单位下三角,对角及单位上三角)第14页/共25页二、追赶法1.三对角矩阵:在实际问题中,经常会遇到如下形式的方程组,其系数矩阵为第15页/共25页没有写的部分均为零(下同),对角元为 后次对角线上

4、的元素为,前次对角线上的元素为。我们称矩阵A为三对角矩阵,相应的方程组称三对角方程组。如果对A进行LU分解,则将有如下形式:并称它们为二对角矩阵。第16页/共25页定理3:设上述三对角矩阵A满足 且 则对矩阵A的LU分解能进行,且分解是唯一的。3.追赶法的计算公式利用矩阵乘法可得:从而可以得到:解得:解得:,第17页/共25页4.追赶法的计算流程,第一个循环称之为追的过程,相当于消元过程;第二个循环称之为赶的过程,相当于回代过程。第18页/共25页19总结总结u 事实上，追赶法的求解过程就是将系数矩阵分解两个简单的二对角线矩阵，从而归结为求解两个简单三角形方程组的过程。u 追赶法的原理和高斯消

5、去法相同，但考虑到方程组的特点，计算时会把大量零元素撇开，从而大大节省计算量。也称Thomas法第19页/共25页例2:用追赶法求解方程组解:追的过程:,;,;,;,。赶的过程:,。第20页/共25页21定理1.(Cholesky分解)且该分解式唯一。这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解第21页/共25页三、解正定矩阵方程组的平方根法 如果方程组的系数矩阵A的对称正定矩阵,可以证明:A可以唯一分解为 ,其中L是下三角矩阵,是L的转置,即 A=L。由矩阵乘法可知,在对角元上;在第列均计算完后得;在时,;第22页/共25页在1,2,j-1列均计算完后计算是按L的第1列,第2列,.,第n列的次序进行的。计算流程如下:,(解)第23页/共25页例3.用平方根法求解方程组解:,则 解得:,解得:,平方根法不需要选主元(矩阵正定)约需次乘法的工作量,是高斯消去法的一半(由对称性引起),且具有算法稳定性,但其要进行n次开方运算。第24页/共25页25感谢您的观看！第25页/共25页