常数项级数的概念和性质课件.pptx

《常数项级数的概念和性质课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常数项级数的概念和性质课件.pptx（107页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1.1.1.1.常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念1.定义：定义：定义：定义：称为称为(常数项常数项常数项常数项)无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数，简称简称(常数项常数项常数项常数项)级数级数级数级数。设给定一个数列设给定一个数列 un:问题：问题：问题：问题：(即有没有和数即有没有和数)其中其中 u un n 称为级数的称为级数的一般项一般项一般项一般项（或或通项通项通项通项），第1页/共107页2.2.部分和数列部分和数列部分和数列部分和数列一数列中有限项相

2、加总是有和数的，一数列中有限项相加总是有和数的，无限项相加是否有和数？无限项相加是否有和数？可能有，也可能没有。可能有，也可能没有。如何研究它？如何研究它？通过有限项去认识和研究无限项。通过有限项去认识和研究无限项。定义：定义：定义：定义：级数前级数前n项之和项之和:组成的数列称为级数的组成的数列称为级数的部分和数列部分和数列部分和数列部分和数列。第2页/共107页部分和数列部分和数列Sn：显然显然,与级数与级数 建立了一一对建立了一一对应的关系应的关系:第3页/共107页 发散的级数没有和。发散的级数没有和。极限值极限值 S 称为级数的和。称为级数的和。3.3.级数的收敛和发散级数的收敛和发

3、散级数的收敛和发散级数的收敛和发散定义定义定义定义：(C C)(D D )convergencediverge第4页/共107页其差值其差值 rn=称为级数的称为级数的余项余项余项余项。第5页/共107页例例例例 题题题题 讨论讨论等比级数等比级数等比级数等比级数(几何级数几何级数几何级数几何级数)的敛散性的敛散性：例例例例1.1.1.1.解：解：解：解：第6页/共107页第7页/共107页解：解：解：解：原级数原级数(D)例例例例2.2.2.2.第8页/共107页例例例例3.3.3.3.解：解：解：解：原级数原级数(C)第9页/共107页例例例例4.4.4.4.解解解解:作出此级数，并求其和

4、。作出此级数，并求其和。=2，第10页/共107页二、级数的基本性质二、级数的基本性质性质性质性质性质1.1.1.1.推论：推论：推论：推论：k 是常数是常数，第11页/共107页性质性质性质性质2.2.2.2.收敛级数可逐项相加减。收敛级数可逐项相加减。设有两个收敛级数设有两个收敛级数推论：推论：推论：推论：第12页/共107页由性质由性质2：矛盾矛盾！推论：推论：推论：推论：(C C C)+()+()+(D D D)=()=()=(D D D)证：证：证：证：(C)+(C)=(C)第13页/共107页两个发散级数逐项相加减后的情况不定。两个发散级数逐项相加减后的情况不定。如：如：第14页/

5、共107页 在级数前加上或去掉或改变有限项，不在级数前加上或去掉或改变有限项，不影响级数的敛散性影响级数的敛散性,但收敛时其和会改变。但收敛时其和会改变。(C),例：例：性质性质性质性质3.3.3.3.(C)(C)第15页/共107页 收敛级数对其项任意加括号后所组成收敛级数对其项任意加括号后所组成的级数仍然收敛，且其和不变。的级数仍然收敛，且其和不变。证：证：证：证：部分和为部分和为 Sn，性质性质性质性质4.4.4.4.按某一规律加括号后的级数：按某一规律加括号后的级数：证毕证毕第16页/共107页收敛于收敛于0，去括号后去括号后 (D)收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛。收敛级数去括号

6、后所成的级数不一定收敛。1.例：例：注注 意：意：换言之，加括号后的级数收敛时，换言之，加括号后的级数收敛时，不能断言原来未加括号的级数也收敛。不能断言原来未加括号的级数也收敛。第17页/共107页加括号后所成的级数发散，加括号后所成的级数发散，3.则原级数也发散则原级数也发散。（反证即得反证即得）2.发散级数加括号后所成级数不一定发散。发散级数加括号后所成级数不一定发散。例：例：(D)(C)第18页/共107页 性质性质性质性质5.5.5.5.证：证：证：证：（级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件）说明：说明：第19页/共107页例例例例1.1.1.1.级

7、数发散级数发散。例例例例2.2.2.2.证明调和级数证明调和级数发散。发散。证证证证：(反证反证)且且 解解解解:第20页/共107页但但矛盾！矛盾！可见可见,第21页/共107页三、柯西审敛准则三、柯西审敛准则定理（柯西审敛准则）定理（柯西审敛准则）第22页/共107页例：利用柯西审敛准则判断级数例：利用柯西审敛准则判断级数的敛散性。的敛散性。解解第23页/共107页所以由所以由柯西审敛准则知，级数柯西审敛准则知，级数收敛。收敛。第24页/共107页课课课课课课 外外外外外外 作作作作作作 业业业业业业 习题习题习题习题 8 18 1 2(3,4),4(2,3,4),5(3,5,7)第25页

8、/共107页2.2.2.2.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法1.1.1.1.定义：定义：定义：定义：许多级数敛散性的判断都可以归结许多级数敛散性的判断都可以归结为正项级数的敛散性的判断。为正项级数的敛散性的判断。第26页/共107页2.2.2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件 证：证：证：证：收敛数列必有界，收敛数列必有界，定理：定理：定理：定理：(C)证毕证毕证毕证毕第27页/共107页如：如：有界有界无界无界则其必发散。则其必发散。第28页/共107页3.3.3.3.审敛法（判别法）审敛法（

9、判别法）审敛法（判别法）审敛法（判别法）比较审敛法：比较审敛法：比较审敛法：比较审敛法：设有两个正项级数设有两个正项级数(C),(C).(1)(2)(D),(D).则则（大的收敛则小的也收敛）（大的收敛则小的也收敛）（大的收敛则小的也收敛）（大的收敛则小的也收敛）（小的发散则大的也发散）（小的发散则大的也发散）（小的发散则大的也发散）（小的发散则大的也发散）第29页/共107页 证证证证:(1)(2)第30页/共107页 推论推论推论推论.即正项级数若从某项后满足比较审即正项级数若从某项后满足比较审敛法的条件，敛法的条件，仍得同样结果。仍得同样结果。结论同样成立；结论同样成立；甚至上式只要在某

10、个自然数后开始成立甚至上式只要在某个自然数后开始成立即可。即可。第31页/共107页(重要级数重要级数)证：证：证：证：第32页/共107页即即 有界有界证毕证毕第33页/共107页 因为要与已知敛散的级数的一般项进行比较，因为要与已知敛散的级数的一般项进行比较，等比级数等比级数 P-级数级数所以必须掌握一些已知敛散的级数。常用：所以必须掌握一些已知敛散的级数。常用：调和级数调和级数(D)第34页/共107页 判别下列正项级数的敛散性：判别下列正项级数的敛散性：(1)解：解：解：解：例例例例1.1.1.1.第35页/共107页(2)解：解：解：解：第36页/共107页(3)解：解：解：解：或或

11、 第37页/共107页(4)解：解：解：解：第38页/共107页(4)解：解：解：解：所以由比较审敛法知，原正项级数是发散的。所以由比较审敛法知，原正项级数是发散的。第39页/共107页(5)(5)解：解：解：解：所以原正项级数发散所以原正项级数发散.第40页/共107页 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设正项级数设正项级数第41页/共107页证证:所以由极限定义所以由极限定义,由正项级数的比较审敛法知由正项级数的比较审敛法知同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散;(1)当当0 l +时时,第42页/共107页(3)当当 l=+时时,即即 若若发散发散,(2)当当 l=0 时时,收敛收

12、敛,若若由正项级数的比较审敛法知由正项级数的比较审敛法知,由正项级数的比较审敛法知由正项级数的比较审敛法知,证毕证毕第43页/共107页发散发散,故原级数发散故原级数发散.重解前面的题重解前面的题重解前面的题重解前面的题(5)(5)此解法远比前一解法简单此解法远比前一解法简单此解法远比前一解法简单此解法远比前一解法简单!第44页/共107页 判别前例中级数判别前例中级数(1),(2)的敛散性的敛散性：原级数收敛。原级数收敛。例例例例2 2 2 2：解：解：解：解：=1第45页/共107页 原级数发散。原级数发散。=1解：解：解：解：第46页/共107页例例例例3 3 3 3：解：解：解：解：判

13、别级数的敛散性：判别级数的敛散性：原级数发散。原级数发散。=1第47页/共107页 解：解：解：解：原级数收敛。原级数收敛。第48页/共107页例例例例4 4 4 4：判别级数判别级数 的敛散性：的敛散性：解：解：解：解：原级数收敛。原级数收敛。第49页/共107页例例例例5 5 5 5：并举例说明反之不成立。并举例说明反之不成立。证：证：证：证：由比较审敛法，由比较审敛法，得证得证。反例：反例：反例：反例：第50页/共107页课课课课课课 外外外外外外 作作作作作作 业业业业业业 习题习题习题习题 8 2(A)8 2(A)1(4,5,6)习题习题习题习题 8 2(B)8 2(B)3,5,6第

14、51页/共107页比值审敛法（达朗贝尔判别法）比值审敛法（达朗贝尔判别法）设正项级数设正项级数 ，若，若则当则当敛散性不定敛散性不定第52页/共107页证证:收敛收敛,由比较审敛法可知由比较审敛法可知(1)(公比为公比为 r 的等比级数的等比级数)第53页/共107页因此因此所以级数发散所以级数发散.(2)从而从而请同学们完成请同学们完成.第54页/共107页(3)级数敛散性不定级数敛散性不定.例如例如,p 级数级数但但级数收敛级数收敛;级数发散级数发散.第55页/共107页更一般的情况：更一般的情况：更一般的情况：更一般的情况：对正项级数对正项级数只要只要级数就收敛。级数就收敛。当当级数就发

15、散。级数就发散。第56页/共107页 例例例例1 1.解：解：解：解：原级数收敛。原级数收敛。判别下列正项级数的敛散性：判别下列正项级数的敛散性：1第68页/共107页解：解：解：解：所以原级数收敛。所以原级数收敛。r第69页/共107页6.证：证：证：证：第70页/共107页 比值审敛法与根值审敛法相比，后者应用范围更广，比值审敛法与根值审敛法相比，后者应用范围更广，这是因为，这是因为，反之则未必。反之则未必。所以，凡是能用比值审敛法判定收敛或发散的正项级所以，凡是能用比值审敛法判定收敛或发散的正项级数，用根值审敛法也能够判定收敛或发散；而有些正项级数，用根值审敛法也能够判定收敛或发散；而有

16、些正项级数用比值审敛法得不到结果，但是用根值审敛法可以得到数用比值审敛法得不到结果，但是用根值审敛法可以得到结果。结果。不过在多数的应用中，比值审敛法比根值审敛法要方不过在多数的应用中，比值审敛法比根值审敛法要方便一些，因为一般情况，前者极限（如果存在的话）的计便一些，因为一般情况，前者极限（如果存在的话）的计算要比后者极限的计算容易一些。算要比后者极限的计算容易一些。第71页/共107页积分审敛法：积分审敛法：第72页/共107页例：利用例：利用积分审敛法讨论积分审敛法讨论积分审敛法讨论积分审敛法讨论 p p-级数级数级数级数 的敛散性。的敛散性。解解所以所以 p p-级数发散；级数发散；续

17、、非负且单调减少的，续、非负且单调减少的，且由第五章第五节且由第五章第五节例例1(教材第教材第49页页)的讨论知，的讨论知，第73页/共107页例：利用例：利用积分审敛法讨论积分审敛法讨论积分审敛法讨论积分审敛法讨论 p p-级数级数级数级数 的敛散性。的敛散性。解解则由则由积分审敛法知，积分审敛法知，综合上述讨论，有综合上述讨论，有 p-级数级数 第74页/共107页 前面介绍的判别正项级数敛前面介绍的判别正项级数敛散性的几个审敛方法，它们都是散性的几个审敛方法，它们都是充分条件。如果用它们无法判断充分条件。如果用它们无法判断该正项级数敛散性，那么就要尝该正项级数敛散性，那么就要尝试用级数收

18、敛的定义、收敛级数试用级数收敛的定义、收敛级数的性质等去判别。的性质等去判别。第75页/共107页课课课课课课 外外外外外外 作作作作作作 业业业业业业 习题习题习题习题 8 2(A)8 2(A)2(2,3),4(双双),5(3,5)习题习题习题习题 8 2(B)8 2(B)1(双双),2(3)第76页/共107页3.3.3.3.交错级数和任意项级数及其审敛交错级数和任意项级数及其审敛交错级数和任意项级数及其审敛交错级数和任意项级数及其审敛法法法法 各项正负交错的级数称为各项正负交错的级数称为交错级数交错级数交错级数交错级数。定义：定义：定义：定义：如：如：其中其中一、一、交错级数及其审敛法交

19、错级数及其审敛法 第77页/共107页交错级数审敛法（莱布尼兹定理交错级数审敛法（莱布尼兹定理）若交错级数若交错级数满足条件：满足条件：则此级数则此级数收敛收敛收敛收敛，第78页/共107页证：证：证：证：第79页/共107页由数列收敛性质，由数列收敛性质，注意：此收敛法的条件是充分而非必要的。注意：此收敛法的条件是充分而非必要的。第80页/共107页判别下列级数的敛散性：判别下列级数的敛散性：判别下列级数的敛散性：判别下列级数的敛散性：(1)解：解：解：解：例：例：例：例：莱布尼兹级数莱布尼兹级数莱布尼兹级数莱布尼兹级数莱布尼兹级数莱布尼兹级数第81页/共107页(2)解：解：解：解：第82

20、页/共107页(3)解：解：解：解：即前例即前例第83页/共107页二、二、任意项级数及其审敛法任意项级数及其审敛法 任意项级数的敛散情况有下列三种：任意项级数的敛散情况有下列三种：对任意项级数，一般有无穷多正项，对任意项级数，一般有无穷多正项，无穷多负项，无穷多负项，但其各项的绝对值但其各项的绝对值组成了正项级数组成了正项级数:1.绝对收敛；绝对收敛；2.条件收敛；条件收敛；3.发散。发散。第84页/共107页定义：定义：(A.CA.C)(C.CC.C)第85页/共107页定理：定理：绝对收敛的级数必收敛。绝对收敛的级数必收敛。第86页/共107页证：证：证：证：第87页/共107页说明：说

21、明：绝对收敛级数都是收敛级数，反之绝对收敛级数都是收敛级数，反之绝对收敛级数都是收敛级数，反之绝对收敛级数都是收敛级数，反之不成立，即收敛级数未必是绝对收敛级不成立，即收敛级数未必是绝对收敛级不成立，即收敛级数未必是绝对收敛级不成立，即收敛级数未必是绝对收敛级数数数数。例：例：第88页/共107页注意：注意：第89页/共107页例：例：例：例：第90页/共107页(2)第91页/共107页 判别下列级数的敛散性，若收敛则说明是判别下列级数的敛散性，若收敛则说明是绝对收敛还是条件收敛：绝对收敛还是条件收敛：(1)例：例：例：例：第92页/共107页(2)解：解：解：解：用比值法用比值法第93页/

22、共107页(3)解：解：解：解：第94页/共107页(4)解：解：解：解：不满足级数收敛的必要条件，不满足级数收敛的必要条件，第95页/共107页(5)解：解：解：解：第96页/共107页(6)解：解：解：解：交错级数。交错级数。(若用比值法若用比值法，极限极限=1)第97页/共107页?第98页/共107页 为什么要讨论级数的绝对收敛与条件收敛？为什么要讨论级数的绝对收敛与条件收敛？绝对收敛级数可以任意交换项的位置而不绝对收敛级数可以任意交换项的位置而不因为有很多性质是绝对收敛级数所具备的，因为有很多性质是绝对收敛级数所具备的，而条件收敛的级数不具备。如：而条件收敛的级数不具备。如：性质性质

23、性质性质1.1.1.1.改变它的收敛性及和数。改变它的收敛性及和数。注：条件收敛的级数不具有这一性质。注：条件收敛的级数不具有这一性质。如：如：条件收敛，条件收敛，其和记为其和记为 S。可以证明重新排序后的级数可以证明重新排序后的级数收敛于收敛于第99页/共107页条件收敛，条件收敛，其和记为其和记为 S。证明重新排序后的级数证明重新排序后的级数收敛于收敛于它收敛于它收敛于再将它与原级数逐项相加，得重新排序后的级数再将它与原级数逐项相加，得重新排序后的级数显然收敛于显然收敛于第100页/共107页 黎曼于黎曼于1854年证明了：可以把任何一个年证明了：可以把任何一个条件收敛的级数的项适当重排，

24、使新级数收条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何事先指定的数敛于任何事先指定的数;也可以使重排后的也可以使重排后的级数发散于正无穷大或负无穷大。级数发散于正无穷大或负无穷大。第101页/共107页直角乘积直角乘积第102页/共107页柯西乘积柯西乘积第103页/共107页 两个绝对收敛级数的乘积两个绝对收敛级数的乘积(柯西乘积柯西乘积)性质性质性质性质2.2.2.2.所成的级数也绝对收敛。所成的级数也绝对收敛。实际上实际上,任意方式的乘积都有此结论任意方式的乘积都有此结论.第104页/共107页交错级数判断敛散性的步骤：交错级数判断敛散性的步骤：交错级数判断敛散性的步骤：交错级数判断敛散性的步骤：交错级数判断敛散性的步骤：交错级数判断敛散性的步骤：是是第105页/共107页课课课课课课 外外外外外外 作作作作作作 业业业业业业 习题习题习题习题 8 3(A)8 3(A)(2),(4),(6)习题习题习题习题 8 3(B)8 3(B)1(4,5,6),3第106页/共107页感谢您的观看！第107页/共107页