平面曲线积分与路径无关的条件课件.pptx
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1、定理定理11.2 设设D 是是单连通域单连通域,在在D 内具有内具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,(i)沿沿D 中任意按段光滑闭曲线中任意按段光滑闭曲线 L,有有(ii)对对D 中任一按段光滑曲线中任一按段光滑曲线 L,曲线积分曲线积分(iii)(iv)在在 D 内处处成立内处处成立与路径无关与路径无关,只与只与 L 的起点及终点有关的起点及终点有关.函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:是是 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 第1页/共17页证明证明(i)(ii)设设为为D 内任意两条由内任意两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线,则则(根据条件根据
2、条件(i)所以所以第2页/共17页证明证明(ii)(iii)在在D内取定点内取定点因曲线积分因曲线积分则则同理可证同理可证因此有因此有和任一点和任一点B(x,y),与路径无关与路径无关,有函数有函数 第3页/共17页证明证明(iii)(iv)设存在函数设存在函数 u(x,y)使得使得 则则P,Q 在在 D 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,所以所以从而在从而在D内每一点都有内每一点都有第4页/共17页证明证明(iv)(i)设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,利用格林公式利用格林公式,得得所围区域为所围区域为证毕证毕由条件由条件(iv),在在 D 上处处成立上处处成立第5页
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- 关 键 词:
- 平面 曲线 积分 路径 无关 条件 课件
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