常见重要不等式.pptx

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1、一、不等式的基本性质常见的几个重要不等式六、小结五、一些有用的不等式四、柯西不等式的证明与应用三、白努力不等式的证明与应用二、平均数不等式的证明与应用第2页/共21页不等式的基本性质设u=，v=(),21nxxxgL(),21nxxxfL是两个取值为实数的函数.若u-v是正数，就说u大于v,记成uv，也说v小于u,记成v”,“”，或连结两个这样的函数所组成的式子叫作不等式.形如：(),21nxxxfL(),21nxxxgL(),21nxxxfL(),21nxxxgLabba222+xxx01211223b,bc,则ac 2.在ab,ab,则a+c b+c 4.不等式的不等号两边移项时符号反号

2、5.若ab,cd,则a+c b+d 6.若a b,c b-d 不等式的基本性质7.若ab,则当c0时,acbc;当c0时,acbc当c=0时,ac=bc第4页/共21页ax则-ax0,若则xa或x11.若ab0,整数 n1,则nnba 10.若ab0,整数 n1,则 9.若ab0,0c b/d 8.若ab0,cd0,则 acbd不等式的基本性质第5页/共21页完全平方公式引出的不等式:由任何数的平方不小于0，则有：结论：任意两个数的平方和不小于两个数 积的两倍平均数不等式的证明与应用第6页/共21页定义：几何平均数调和平均数算术平均数平均数不等式的证明与应用则若第7页/共21页由于令假定定理1

3、在n=k(k1)时成立，当n=k+1时证明：时成立.中等号当且仅当定理1平均数不等式的证明与应用其，则若,知当=2时，由()0221-aa时等号成立。其中等号当且仅当21aa=(1)要证0)()(-=yxkyyxxkkk()111+-+=+xykxkykkk)()()(111-+-+-=-yxyyxyyxyxkkkkkL)(11-+-=-+kyxyyxxyxkkkkL()11121121+-+aaaakaaaakkkkkkkLL()11121121+-+=+aaaakaaaakkkkkLL至此，证明了定理1对任何整数n1都成立.所以,(1)成立当时，显然（1）取等号.反过来,当不全相等时，若中

4、 中至少有两个不等，按归纳假定，（2）不取若则,而（3）不取等号.等号；第8页/共21页时成立.等号当且仅当定理1 由定理1还可以得出几个推论：（即：个正整数的调和平均数不大于它们的+21nnxxxL其中等号当且仅当121=nxxxL时成立推论2当且仅当21=nxxxL时成立想一想：定理1的这两个推论应该怎么证明？平均数不等式的证明与应用其中,则若推论1,1,2,1,021=nixxxnixLL则若,2,1,0=inixL则,其中等号若几何平均数）第9页/共21页定理1及其推论在证明不等式和求最值等方例1.已知 Nn,求证证明：即得证平均数不等式的证明与应用面有广泛的应用 Nn,由定理1有：对

5、任意1111+=nnn1111+=nn11)+111(1*1111+=+nnnnnnnn_第10页/共21页例2.求周长为定值的一类四边形的面积的最如图,则ba设四边形的面积为S，两个内对角为a，babcd平均数不等式的证明与应用大值.解：2max2=pS4424=-+-+-+-pdpcpbpap)(21+=dcbap)()()(-=dpcpbpap222222222)(21)(41-+-+dcbadcbaS2222222222)cos(224+-+=-+abcddcbadcbaSbasinsin2+=cdabSba(1)2222coscos)(21-=-+cdabdcbaba(2)，得：）（

6、）（2221+-=-=-=-dpcpbpap=+pba因此，,且时，第11页/共21页定理2其中等号成立的充要条件为x=0证明：其中等号恰在1+x=1,即x=0时成立白努力不等式的证明与应用xxnma+=+=11nmnxm-+1*)()1(nmNnmnma=),(于是xxnmnma+=+-1*11）（）（2）当a1时，xxaa+11）（1）当 0a-1,则aann=limaxxrr+=+1*1a()axx+11a()nxaxnan=+,2,1,11L若a是小于1的正无理数,取aaan,21LL由刚才证明的结果,有()()()axxaxxnnann+=+=+11lim1lim1a于是x 0当x=

7、0时,显然上式取等号.现在证明:当时,r 10ar 1a取有理数r,使.这里就有ra()()xrxxrr+=+111aa于是即1）得证其中每一个都是小于1的正有理数,并使第12页/共21页白努力不等式的证明与应用定理2其中等号成立的充要条件为x=02）当a1时，xxaa+11）（1）当 0a-1,则证明：根据,1101）,得由a01+ax11*11)1(+=+aaaaxxx于是1)1(+aaxx.显然的时,等号成立的条件是或当0a11112-=+-aaanxnxnx当aaxn1*11)1(+=+aaaaxxnnnxxna1)1(-+-axnxn10-+-aaxx又由于a111)1(1)1(+-

8、=+=+-aaanxxnxxnn从而有第13页/共21页证明：依定理2的1），有于是由上面两个不等式，即得证白努力不等式的证明与应用()()llllaaa111+-+()()llllaaa111+llaa11111-+llaa11111+1,-1l0,求证()()lllllllaaaaa11111111+-+由第14页/共21页定理3.证明一：两边同时平方，即得柯西不等式柯西不等式的证明与应用于是21121211=niiniiniiiniiibababa令21122112=niiiiniiiibbyaax121221=niiniiniiibaba并取得n个不等式，一起相加，,3,2,1=niL

9、中()2221+iiiiyxyx在已知不等式2112121=niiniiniiibaba有证明二：设实变量x的二次函数即=nkknkknkkkbaba121221于是=-nkknkknkkkbaba121221044=+-=nkknkkknkkbbaxax1211222()=-=nkkkbxa21f(x)对任意实数x，总有 0f(x)的系数是正数,又第15页/共21页例4.证明三角形不等式：证明：按定理3有两式相加得柯西不等式的证明与应用即()212112122112+=niiniiniiibaba()()21211212211212+=niiniiniiiniiibababa()()2112

10、121+=niiniiiniiiibbabba1()()212121+=niiniiiniiiiabaaba()()()1112+=+=niiiiniiiiniiibbaababa()212112122112+=niiniiniiibaba第16页/共21页例5.设三角形的三边为a，b，c，面积为S.证明：柯西不等式的证明与应用()cbacba2222222+()()cabcabcbacba22222+=+由海伦公式cpbpappS),)()(2-=求证：Scba34222+3 pcpbpapp)()(3-由定理1,有()cbap2+=其中SSpcba3433*34342222=+Sp332于

11、是,由定理3第17页/共21页一些有用的不等式nnnnnbbbnaaanbababa21212211*+LLLniiniiniiiyxyx121212)(+=明可夫斯基不等式:设iiniyx),2,1(,=L则knikiknikiknikiiyxyx111111)(+=推广:nnbbbaaa2121,LL锲贝晓夫不等式:当时zyxcbaczbyax3*33+变型:例5所证的不等式为魏琴伯克不等式第18页/共21页小 结时成立.中等号当且仅当定理1其，则若定理3.121221=niiniiniiibaba定理2其中等号成立的充要条件为x=02）当a1时，xxaa+11）（1）当 0a-1,则+21nnxxxL其中等号当且仅当121=nxxxL时成立推论2当且仅当21=nxxxL时成立推论1,1,2,1,021=nixxxnixLL则若,2,1,0=inixL则,其中等号若第19页/共21页第20页/共21页感谢您的观看！第21页/共21页