非线性规划等.ppt

《非线性规划等.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性规划等.ppt（126页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、非线性规划等1现在学习的是第1页，共126页（两类问题）无约束极值问题与约束极值问题（两类问题）无约束极值问题与约束极值问题（一些基本定义）（一些基本定义）（一些基本定义）（一些基本定义）梯度梯度梯度梯度 HesseHesse矩阵矩阵矩阵矩阵 JaccobiJaccobi矩阵矩阵矩阵矩阵 2 2现在学习的是第2页，共126页 1.2 1.2 最优解分类最优解分类 （注：不一定存在）（注：不一定存在）定义定义定义定义1.2.1 1.2.1 整体（全局）最优解整体（全局）最优解 定义定义1.2.2 1.2.2 局部最优解局部最优解 （已有算法基本都是求局部最（已有算法基本都是求局部最优解的）优解的

2、）1.3 凸集与凸函数凸集与凸函数凸集与凸函数凸集与凸函数定义定义1.3.1 1.3.1 凸集凸集凸集凸集定义定义定义定义1.3.2 1.3.2（严格）凸函数（严格）凸函数 称定义在凸集称定义在凸集K上的实值函上的实值函上的实值函上的实值函数数数数f(x)为凸函数，若为凸函数，若为凸函数，若为凸函数，若 定义定义定义定义1.3.3 凹函数凹函数凹函数凹函数 3 3现在学习的是第3页，共126页定义定义定义定义1.3.4 1.3.4 凸规划凸规划凸规划凸规划（图集上凸函数的极小化问题）（图集上凸函数的极小化问题）定理定理定理定理1.3.11.3.1 设设 、均为凸集，均为凸集，则则则则 也是凸也

3、是凸也是凸也是凸集集集集 ，对任意实数对任意实数，是凸集是凸集是凸集是凸集。（证明）（推广）（证明）（推广）定理定理定理定理1.3.21.3.2 有限个凸集的交集必是凸集有限个凸集的交集必是凸集定理定理定理定理1.3.31.3.3 （分离定理）（分离定理）K K为闭凸集，为闭凸集，则则 定理定理定理定理1.3.4 1.3.4（支撑超平面定理）（支撑超平面定理）（支撑超平面定理）（支撑超平面定理）4 4现在学习的是第4页，共126页 定理定理定理定理1.3.5 1.3.5 若若若若 均为凸集均为凸集均为凸集均为凸集K K上的凸函数，则上的凸函数，则上的凸函数，则上的凸函数，则 也是也是也是也是K

4、 K上的凸函数。上的凸函数。上的凸函数。上的凸函数。（请证明）（请证明）（请证明）（请证明）定理定理定理定理1.3.61.3.6 设设设设f(x)f(x)是凸集是凸集是凸集是凸集K K上的凸函数，则上的凸函数，则上的凸函数，则上的凸函数，则 实数实数实数实数C C，水平集，水平集，水平集，水平集 必为凸集。必为凸集。必为凸集。必为凸集。（请证明）（请证明）（请证明）（请证明）定理定理定理定理1.3.7 1.3.7 若若若若f(x)f(x)在开集在开集在开集在开集K K 中可微，则中可微，则中可微，则中可微，则f f 是是是是K K上的（严格）凸函数当上的（严格）凸函数当上的（严格）凸函数当上的

5、（严格）凸函数当且仅当且仅当且仅当且仅当 5 5现在学习的是第5页，共126页证明证明（充分性）充分性）任取任取 ，记，记由条件，由条件，（必要性）（必要性）6 6现在学习的是第6页，共126页令令此即需证。此即需证。若若 f(x)f(x)两阶可微，则有以下的定理：两阶可微，则有以下的定理：定理定理1.3.8 1.3.8 设设f(x)f(x)在开凸集在开凸集K K中二阶连续可微，中二阶连续可微，f f 为凸函数的充要条为凸函数的充要条件为：件为：证明证明：（：（充分性）充分性）7 7现在学习的是第7页，共126页此处从而，(必要性)任取将 在 x 处展开 ：8 8现在学习的是第8页，共126页

6、令 得定理1.3.9 证明 9 9现在学习的是第9页，共126页此即说明此即说明f f 是严格凸函数。是严格凸函数。定理定理1.3.101.3.10证明证明 当当 充分小时充分小时 在在 的邻域中，从而导出矛盾，证的邻域中，从而导出矛盾，证毕毕 1010现在学习的是第10页，共126页1.4 最最优性条件性条件无约束极小化问题 （模型）（模型）minmin s.t s.t （1.4.1)1.4.1)定理定理1.4.1 1.4.1 （一阶必要条件）若（一阶必要条件）若 是可微函数，是可微函数，是问题（是问题（1.4.1)1.4.1)的一个局部最小点的必要条件为：的一个局部最小点的必要条件为：（无

7、约束极小化问题求解）等价于（方程组求解）（无约束极小化问题求解）等价于（方程组求解）定理定理1.4.2 1.4.2 （二阶必要条件）设（二阶必要条件）设 为为 中的二阶连续可微函中的二阶连续可微函数，如果数，如果 是是 的一个局部极小点，则的一个局部极小点，则 1111现在学习的是第11页，共126页证明：由定理证明：由定理1.4.11.4.1，。对任意的。对任意的由于由于 是局部极小点，故对于充分小的是局部极小点，故对于充分小的 必有必有此式成立必须有此式成立必须有 ，证毕。，证毕。1212现在学习的是第12页，共126页定理定理1.4.3 1.4.3（二阶充分条件）设（二阶充分条件）设 两

8、阶可微，若两阶可微，若 满足满足则点则点 的一个严格局部极小点，这里的一个严格局部极小点，这里 是是 的两阶的两阶HesseHesse矩阵矩阵定理定理1.4.41.4.4（两阶充分条件）设（两阶充分条件）设 两阶连续可微，若两阶连续可微，若 满足满足 证明：任取证明：任取显然，显然，由假设，由假设，由，由 的任意的任意性，性，是是 1313现在学习的是第13页，共126页定理定理1.4.51.4.5证毕证毕 1414现在学习的是第14页，共126页具有等式与不等式约束的极小化问题具有等式与不等式约束的极小化问题 (NP)min (NP)min s.t s.t 定义定义 1.4.1 1.4.1

9、设设x x是满足是满足(NP)(NP)约束条件的点，记约束条件的点，记 称称I I 为为x x处不等式约束中的积极约束的下标集合处不等式约束中的积极约束的下标集合 定义定义1.4.2 1.4.2（积极约束）（积极约束）称约束称约束为为x x处的积极约束处的积极约束定义定义1.4.3 1.4.3（正则点）若向量组（正则点）若向量组线性无关，则称线性无关，则称x x为约束条件的一个正则点。为约束条件的一个正则点。1515现在学习的是第15页，共126页定理定理1.4.5 1.4.5（Kuhn-TuckerKuhn-Tucker条件）设条件）设 是是(NP)(NP)的局部极小点且的局部极小点且 其中

10、其中 1616现在学习的是第16页，共126页例例 求下面问题的求下面问题的 K-T K-T 点点 min min s.t s.t 解：本问题的解：本问题的 K-TK-T条件为条件为1717现在学习的是第17页，共126页（1 1）若若 （舍去）（舍去）若若 （舍去）（舍去）（2 2）（舍去）（舍去）（3 3）1818现在学习的是第18页，共126页故有 求得 1919现在学习的是第19页，共126页1.5 迭代算法及收迭代算法及收敛速度速度 迭代算法迭代算法 记满足要求的点集为记满足要求的点集为 （如（如 K-T K-T 点集，最优解集等）。算法一般采用迭代点集，最优解集等）。算法一般采用迭

11、代方法，即：任给一个初始点方法，即：任给一个初始点步步1 1步步2 2 定义定义1.5.1 1.5.1（全局收敛性）设（全局收敛性）设A A是求解问题的一个算法，若对任意初始点是求解问题的一个算法，若对任意初始点 在用在用算法算法A A进行迭代时，或能在有限步求得最优解，或求得一无穷点列进行迭代时，或能在有限步求得最优解，或求得一无穷点列 ，该点列的任意聚点均为需求的点。，该点列的任意聚点均为需求的点。2020现在学习的是第20页，共126页例例1 1 求解问题求解问题 minmin s.t s.t 算法算法 迭代点列迭代点列例例2 2 求解求解 minmin 算法算法 2121现在学习的是第

12、21页，共126页迭代点列迭代点列 若若 若若定义定义定义定义 1.5.11.5.1 （闭映射）设（闭映射）设X X何何Y Y分别是两个非空闭集，分别是两个非空闭集，A A是从是从X X到到Y Y的一个点到集的映射，的一个点到集的映射，即对任意即对任意 有有 。设。设 ，且且 若若 （例（例1 1种的映射是闭的，而例种的映射是闭的，而例2 2中的映射则是非闭的）中的映射则是非闭的）显然，例显然，例2 2的最优解为的最优解为 取取算法算法A A为为X X到到X X的一个映射：的一个映射：定理定理定理定理1.5.11.5.1 若对任意取定的若对任意取定的 ：（1 1）（2 2）存在）存在 ，（3

13、3）算法）算法 A A 在在 外是闭的外是闭的则算法则算法 A A 必定是全局收敛的。（证明从略）必定是全局收敛的。（证明从略）2222现在学习的是第22页，共126页收敛速度收敛速度定义定义1.5.2 1.5.2 设实数列设实数列 除有限个除有限个 外外 除有限个除有限个 外外 其他其他 被称为商收敛因子被称为商收敛因子定理定理1.5.2 1.5.2 仅有以下三种情况之一发生：仅有以下三种情况之一发生：（1 1）（2 2）（3 3），2323现在学习的是第23页，共126页定义定义1.5.3 1.5.3 设设 ，我们称，我们称 为为 收敛到收敛到 的阶。也称的阶。也称 阶收敛到阶收敛到 （对

14、情况对情况1 1，令，令 ，对情况，对情况2 2 ，令，令 ）显然，收敛的阶越大，收敛速度越快。当数列具有一阶收敛速度时显然，收敛的阶越大，收敛速度越快。当数列具有一阶收敛速度时 越小数列收敛得越快。越小数列收敛得越快。定义定义1.5.4 1.5.4 若若 则称数列则称数列 超线性收敛于超线性收敛于例例2 2 （1 1）（2 2）2424现在学习的是第24页，共126页第二章第二章 一维极值问题的最优化方法一维极值问题的最优化方法 在求解极值问题时我们经常会反复采用如下的一元函数求极值步骤：在求解极值问题时我们经常会反复采用如下的一元函数求极值步骤：先求出一个搜索方向先求出一个搜索方向 d d

15、，然后沿方向，然后沿方向 d d 作一维搜索。为此，我们先来介作一维搜索。为此，我们先来介绍一下一维搜索的一些技巧和方法。绍一下一维搜索的一些技巧和方法。问题：问题：min s.t本问题实际上是一个一元函数求极值的问题，为方便起见，以下我们讨论问本问题实际上是一个一元函数求极值的问题，为方便起见，以下我们讨论问题：题：min s.t这里这里 a a 可以是可以是 ，b b 可以是可以是 。2525现在学习的是第25页，共126页2.1 2.1 仅比比较函数函数值的最的最优化方法化方法定义定义定义定义2.12.1 （下单峰函数）（下单峰函数）定义定义定义定义2.22.2 （不定区间）包含下单峰函

16、数最小点的区间（不定区间）包含下单峰函数最小点的区间a,ba,b方法：按一定的方法在方法：按一定的方法在 a,b a,b 区间中取若干个点，比较这些点上的函数值，不断区间中取若干个点，比较这些点上的函数值，不断缩小不定区间。缩小不定区间。定义定义定义定义2.32.3 （最优搜索策略）总点数相同而能使不定区间缩得最小的搜索方法。（最优搜索策略）总点数相同而能使不定区间缩得最小的搜索方法。（FibonacciFibonacci 方法）方法）FibonacciFibonacci数数 1 1，1 1，2 2，3 3，5 5，8 8，1313，2121，3434，2626现在学习的是第26页，共126页

17、方法：设目前的不定区间为方法：设目前的不定区间为 a,b a,b，尚有，尚有 r r 个试验点。个试验点。令令比较比较（1 1）若）若（2 2）若）若（3 3）若）若最后，当只剩下还有一个试验点时，不定区间的中点最后，当只剩下还有一个试验点时，不定区间的中点 为一试验点，最后一为一试验点，最后一个试验点可取个试验点可取2727现在学习的是第27页，共126页定理定理定理定理2.12.1 利用利用FibonacciFibonacci法作一维搜索，经过法作一维搜索，经过 n n 次试验后，最后的不定区间长次试验后，最后的不定区间长度不超过度不超过步骤：先根据步骤：先根据FibonacciFibon

18、acci 法的近似方法法的近似方法0.6180.618法法 设初始不定区间为设初始不定区间为 a,b a,b，取，取2828现在学习的是第28页，共126页例（1）（2）（3）取从头开始。2.1 牛顿方法2929现在学习的是第29页，共126页2.22.2 牛顿方法牛顿方法迭代公式：步1若若 3030现在学习的是第30页，共126页定理定理定理定理2.22.2 设设 是是a,ba,b上的两阶连续可导函数，且上的两阶连续可导函数，且则任取则任取 ，由迭代公式，由迭代公式产生的点列产生的点列产生的点列产生的点列 收敛到收敛到收敛到收敛到（证明从略）（证明从略）（证明从略）（证明从略）3131现在学

19、习的是第31页，共126页第三章第三章第三章第三章 无约束极值问题的最优化方法无约束极值问题的最优化方法无约束极值问题的最优化方法无约束极值问题的最优化方法问题 min s.t3.1 最速下降法 步骤1 取初始点 ，令k=0 步骤2 计算 步骤3 若 停，输出 否则进入下一步 步骤4 求 使得 步骤5 令 3232现在学习的是第32页，共126页定理3.1 设 一阶连续可导，集合有界，则由上述算法求得的点列 有如下的性质（1）严格单调下降 （2）的任一极限点 处必有 令 定理3.2 设 是由最速下降法产生的点列，则对每一步 k，成立：其中A与a为Q的最大特征值与最小特征值 3333现在学习的是

20、第33页，共126页据此可知据此可知（1 1）若）若A=aA=a，即目标函数的等值面为园，即目标函数的等值面为园，则用最速下降法一步就可求得最优解。（则用最速下降法一步就可求得最优解。（2 2）A A与与a a的的差越小，则用最速下降法求得的点列收敛得越慢。差越小，则用最速下降法求得的点列收敛得越慢。3.2 3.2 牛顿法牛顿法先看二次严格凸函数先看二次严格凸函数 解得：解得：对一般的函数对一般的函数 有：有：3434现在学习的是第34页，共126页牛顿法迭代步骤牛顿法迭代步骤定理定理3.3 3.3 3535现在学习的是第35页，共126页3.3 3.3 共共轭轭方向法方向法定理定理3.4 3

21、.4 若若3636现在学习的是第36页，共126页（设计具有二次有限终止性的共轭方向法）（设计具有二次有限终止性的共轭方向法）仍取仍取取初始点取初始点定理定理3.5 3.5 则迭代可在至多则迭代可在至多n n步内终止并求得步内终止并求得 的极小点。的极小点。（共轭方向法的一种实现方法）（共轭方向法的一种实现方法）步步1 1 设已有设已有3737现在学习的是第37页，共126页步步2 2 若若 作一维搜索：作一维搜索：定理定理3.4 3.4 用上面方法构造出来的向量组用上面方法构造出来的向量组为为 共轭的。共轭的。（用于一般函数的共轭方向法）令（用于一般函数的共轭方向法）令Step 1.Step

22、 1.取初始点取初始点 ，允许误差，允许误差 2.2.检验是否满足检验是否满足 ，若满足，停；否则到下一步，若满足，停；否则到下一步 3.3.令令 3838现在学习的是第38页，共126页 4.4.5.5.6.6.检验检验 ，若满足，停；否则检查，若满足，停；否则检查若是，令若是，令 7.7.（算法完）（算法完）3939现在学习的是第39页，共126页定理3.5 设 是具有一阶连续偏导数的凸函数，是由上述算法产生的无穷点列，水平集 （1）为严格单调下降数列 （2）的任意聚点均为问题的最优解3.4 变尺度法 （略）3.5 直接法 （略）4040现在学习的是第40页，共126页第四章第四章 有约束

23、极值问题有约束极值问题问题 min s.t求解约束极值问题的主要途径：（1）可行下降法（无约束问题下降方向法的推广）（2）罚函数法或障碍函数法（将约束加入目标）（3）解一系列线性规划（4）直接法4141现在学习的是第41页，共126页4.1 zoutendijk可行方向法 问题 min s.t 定定义4.1（不等式约束中的积极约束的下标集合）设 为问题的可行解，称为不等式约束中的积极约束集合。定定义4.2（积极约束）此问题的积极约束有：4242现在学习的是第42页，共126页定定义4.3（可行方向）设 x 是 min s.t （4.1）的可行点，即 ，称方向 d 为 x 处的可行方向，若存在定

24、理定理4.1 设 x 是（4.1）的一个可行解，则 d 为 x 处的一个可行方向的充要条件为：（证明）4343现在学习的是第43页，共126页定义定义4.4（下降方向）设 x 是（4.1）的可行解，称非零向量 d 为 x 处的一个下降方向，若存在 定理定理4.2 设 则 d 为 x 处的一个下降方向的充要条件为：（证明）定义4.5（可行下降方向）既可行又下降的方向 4444现在学习的是第44页，共126页具体算法算法1 求解线性规划 min s.t （4.2)算法2 求解 min s.t （4.3）4545现在学习的是第45页，共126页算法3 min s.t (4.4)定理 4.3 设（证明

25、）4646现在学习的是第46页，共126页(zoutendijk(zoutendijk算法）算法）任取初始点任取初始点（2 2）求解对应）求解对应若若（3 3）令）令（4 4）求解）求解 4747现在学习的是第47页，共126页例4.1用Zoutendijk方法求解 min s.t（取初始点 迭代一次）s.t4848现在学习的是第48页，共126页4949现在学习的是第49页，共126页Zoutendijk方法不具有全局收敛性（例从略）4.2 带非线性约束的问题（问题）min s.t （4.5）定义4.4（积极约束的指标集）定理4.4 设 x 是（4.5）的可行解，I(x)是 x 处的积极约束

26、集合，d是一个非零向量，称 d 为 x 处的一个可行下降方向，如果：5050现在学习的是第50页，共126页（Zoutendijk可行方向法）根据定理4.4，求 x 处的可行下降方向可求解 求解此式又等价于求解 min s.t为此求解 min s.t （4.6)5151现在学习的是第51页，共126页定理定理4.5 4.5 设设 x x 是问题（是问题（4.54.5）的可行解，）的可行解，I I(x)(x)是是x x处的积极约束的下处的积极约束的下标集，标集，注：当注：当算法综述：任取一初始可行解算法综述：任取一初始可行解步步1.1.记记 求解求解 minmin s.t s.t5252现在学习

27、的是第52页，共126页得最优解与线性情况一样，Zoutendijk算法不具有全局收敛性5353现在学习的是第53页，共126页Frank-Wolfe算法问题 min s.t （4.7）（算法思想）求解 min s.t (4.8)设解为 。因为可行域是凸集，是此凸集的一个极点，故又因为 ，必有 5454现在学习的是第54页，共126页Frank-Wolfe算法任取一初始基本可行解步1.求解线性规划 min s.t 得 ，若步2 5555现在学习的是第55页，共126页定理4.6 证明：5656现在学习的是第56页，共126页定理4.7 设对任意可行解 线性规划 均有解，则用Frank-Wolf

28、e算法或能在有限步内求得一个K-T点，或求得一个无穷点列 ，它的任一聚点均为问题的K-T点。证明：设 有聚点 ，不妨就设 ，设 5757现在学习的是第57页，共126页这与例 用Frank-Wolfe算法求解 min s.t解：5858现在学习的是第58页，共126页求解 min s.t解得5959现在学习的是第59页，共126页一般讲Frank-Wolfe方法的收敛速度是比较慢的，其优点是求解的线性规划的可行域均相同，若这些线性规划很以求节，则可用此方法求解。既约梯度法 问题 min s.t （4.9）其中6060现在学习的是第60页，共126页 是是n-mn-m维向量。维向量。6161现在

29、学习的是第61页，共126页定理4.8 注（4.9）的 6262现在学习的是第62页，共126页代入第1式得定理4.9定理4.10 6363现在学习的是第63页，共126页证明：6464现在学习的是第64页，共126页6565现在学习的是第65页，共126页6666现在学习的是第66页，共126页Rosen梯度投影法（1960）定义（投影矩阵）一个n阶方阵P被称为投影矩阵，若6767现在学习的是第67页，共126页问题 min s.t6868现在学习的是第68页，共126页6969现在学习的是第69页，共126页算法7070现在学习的是第70页，共126页例 min s.t7171现在学习的是

30、第71页，共126页5.序列无序列无约束极小化方法束极小化方法5.1惩罚函数法（问题问题）minmin s,t s,t（此（此问题问题的的K-TK-T条件条件为为 ）引入引入LagrangeLagrange乘子，构造无乘子，构造无约约束极束极值问题值问题 min min（惩罚惩罚函数法）函数法）问题问题 min min s.t s.t设设法构造一个函数法构造一个函数7272现在学习的是第72页，共126页其中例如，可取7373现在学习的是第73页，共126页对给定的 定义函数7474现在学习的是第74页，共126页引理5.1 7575现在学习的是第75页，共126页7676现在学习的是第76页

31、，共126页7777现在学习的是第77页，共126页7878现在学习的是第78页，共126页7979现在学习的是第79页，共126页例5.1用惩罚函数法求解 min s.t8080现在学习的是第80页，共126页8181现在学习的是第81页，共126页5.2 障碍函数法（问题）（问题）minmin s.t s.t8282现在学习的是第82页，共126页8383现在学习的是第83页，共126页8484现在学习的是第84页，共126页8585现在学习的是第85页，共126页例2 min s.t 8686现在学习的是第86页，共126页第六章第六章 附录附录（一）优化模型实例（一）优化模型实例库存问

32、题库存问题 库存管理在企业管理中占有很重要的地位。工厂定期购入原料，存入仓库以备生产之用；商店成批购入各种商品，放在货柜上以备零售；水库在雨季蓄水，以备旱季的灌溉和发电；但是，细心的读者会发现，这些情况下都有一个如何使库存量最优的问题，即库存量应取多大才最为合适？存储量过大，存储费太高；存储量过小，会导致一次性订购的费用增加，或不能及时满足需求而遭到损失。为了保证生产的连续性和均衡性，需要确定一个合理、经济的库存量，并定期订货加以补充，按需求发放，以达到压缩库存物资、加速资金周转的目的。8787现在学习的是第87页，共126页n n瞬时送货的确定型库存问题（不允许缺货瞬时送货的确定型库存问题（

33、不允许缺货的情况）的情况）首先考虑最简单的库存问题。假设某工厂生产需求速率稳定，库存下降到零时，再定购进货，一次采购量为，定购点的提前时间为零（即进货有保障、有规律，可根据需求提前订货），在保证不缺货的条件下，试确定最经济的采购量，使库存费用最小。此时库存费用为 8888现在学习的是第88页，共126页在本模型中，平均库存量在本模型中，平均库存量 为常量，所以问题归结为求解如下的优化问题为常量，所以问题归结为求解如下的优化问题这是一个一元函数求极小值的问题，可用微积分方法求其最优解，这是一个一元函数求极小值的问题，可用微积分方法求其最优解，求得的解为求得的解为 这就是所要求的经济采购量和最小费

34、用的库存量，这就是所要求的经济采购量和最小费用的库存量，经济学上称这两个公式为平方根公式。经济学上称这两个公式为平方根公式。8989现在学习的是第89页，共126页n n瞬时送货的确定型库存问题（允许缺货的情况）瞬时送货的确定型库存问题（允许缺货的情况）前一模型不允许缺货，若允许缺货，则需要支付一定的缺货损失费用 。我们假设 为缺货量，单位缺货在单位时间内产生的缺货损失费用为 （元），单位物资在单位时间内的保管费为 （元），为单位时间内物资的需求量，问每次采购量、缺货量取为何值时，才能使库存费用和缺货损失费用之和最小？我们不妨设总费用为 则9090现在学习的是第90页，共126页 其中 为采购

35、费，为每次的采购费。为保管费，为平均库存量，这里，为单位物资在计划期内的 保管费，为一个采购周期内物资的存储时间。所以保管费为9191现在学习的是第91页，共126页注意到 ，上式可改写为注意到 ，则上式可改写为因此上述库存问题归结为求解9292现在学习的是第92页，共126页 这是一个求二元函数 的极小值的问题，仍可用微积分方法求解得到 容易证明它们即为使总费用 取得最小值的经济采购量 和最经济的缺货量 ，而最小费用为 。9393现在学习的是第93页，共126页 最佳捕鱼方案最佳捕鱼方案 秘鲁是一个捕鱼业非常发达的国家，随着人们对鱼粉需求量的增长，秘鲁是一个捕鱼业非常发达的国家，随着人们对鱼

36、粉需求量的增长，秘鲁的捕鱼量不断增加。到秘鲁的捕鱼量不断增加。到19601960，秘鲁已成为世界上捕鱼量最，秘鲁已成为世界上捕鱼量最大的国家，年捕鱼量达到大的国家，年捕鱼量达到10001000万吨，约占全球捕鱼总量的万吨，约占全球捕鱼总量的15%15%。捕鱼量的稳定增长使海洋生物学家越来越感到不安，。捕鱼量的稳定增长使海洋生物学家越来越感到不安，19721972年，年，生物学家们认为，秘鲁捕鱼量已达到了能维持鱼群正常生长情况生物学家们认为，秘鲁捕鱼量已达到了能维持鱼群正常生长情况下的最大捕获量的两倍，政府如再不加以控制，采取措施制止几下的最大捕获量的两倍，政府如再不加以控制，采取措施制止几近疯

37、狂的捕捞，秘鲁的渔业资源将趋于枯竭，渔业生产会陷入完近疯狂的捕捞，秘鲁的渔业资源将趋于枯竭，渔业生产会陷入完全崩溃的境地（全崩溃的境地（Paulik,1971Paulik,1971）。秘鲁政府部门对生物学家的忠）。秘鲁政府部门对生物学家的忠告未予理睬，对渔民们的过度捕捞听之任之。到告未予理睬，对渔民们的过度捕捞听之任之。到19731973年，生年，生物学家们的担忧开始显现。当年，秘鲁沿海的鱼量猛减，渔民物学家们的担忧开始显现。当年，秘鲁沿海的鱼量猛减，渔民几乎无鱼可捕，出现了所谓几乎无鱼可捕，出现了所谓“鳀鱼危机鳀鱼危机”（IdyllIdyll，19731973年），并年），并引起了全世界范围

38、内粮食价格的上涨。下表是秘鲁海洋学院引起了全世界范围内粮食价格的上涨。下表是秘鲁海洋学院19741974年年提供的秘鲁渔业的历史统计数据：提供的秘鲁渔业的历史统计数据：9494现在学习的是第94页，共126页 1959 1959 1960 1960 1961 1961 1962 1962 1963 1963 1964 1964 1965 1965 1966 1966 1967 1967 1968 1968 1969 1969 1970 1970 1971 1971 1972 1972 1973 1973 9595现在学习的是第95页，共126页 如何制定最优捕鱼方案，在不破坏鱼类生态平衡的前提

39、下获得最大的捕鱼量呢？鱼类学家M.Schaefer于1975年在Logistic模型的基础上建立了捕鱼问题的优化模型，提出了一个最优捕鱼方案的建议。以下，让我们来看看他所建立的模型。用 记t时刻海洋中鱼的数量，r为鱼的净增长率，K为环境所能供养的饱和鱼量。假设假设 在无捕捞情况下，鱼类按Logistic模型增长，即鱼的数量满足Logistic模型：9696现在学习的是第96页，共126页 (1)考虑捕鱼对鱼类生长的影响。令h为捕捞率，此时，鱼类增长满足的微分方程为：(2)正如第三章中Logistic模型所指出的，微分方程(1)有一个平衡解 x=K，当时，随着t趋于无穷，将有 。对于微分方程（2

40、），平衡点的位置发生了改变，它被移到了方程 的根 处9797现在学习的是第97页，共126页 满足满足 即即 易见，易见，为二次曲线为二次曲线 与直线与直线 交点交点 ，即，即 （3 3）令令捕鱼必须控制在捕鱼必须控制在 即即 现在我们将进一步分析，在此前提下，又应如何捕鱼，才能使每年的捕获总量现在我们将进一步分析，在此前提下，又应如何捕鱼，才能使每年的捕获总量最大。最大。9898现在学习的是第98页，共126页将（3）代入捕鱼量公式得到在平衡条件下的捕鱼量：为求捕鱼量最大，令 ，求得 ，代入上式可得：最大捕获量为：此时9999现在学习的是第99页，共126页 通常情况下，渔民考虑的主要还是经

41、济利益的最大化，此时，模型通常情况下，渔民考虑的主要还是经济利益的最大化，此时，模型将变得复杂一些。设鱼的单价为将变得复杂一些。设鱼的单价为p p，单位时间的捕捞成本为，单位时间的捕捞成本为CECE，则由时刻则由时刻a a到时刻到时刻b b这段时间内渔民捕鱼的收益最大，约束条件为这段时间内渔民捕鱼的收益最大，约束条件为（2 2）式成立，即此时要求解的问题为）式成立，即此时要求解的问题为 上式是一个泛函极值问题，可用欧拉方程求解，因本书不准备介绍上式是一个泛函极值问题，可用欧拉方程求解，因本书不准备介绍求解泛函极值的变分方法，我们只建立了此问题的数学模型，而不求解泛函极值的变分方法，我们只建立了

42、此问题的数学模型，而不讨论其求解，有兴趣的读者可参考杨启帆、边馥萍编著的数学模型讨论其求解，有兴趣的读者可参考杨启帆、边馥萍编著的数学模型 100100现在学习的是第100页，共126页光学中的折射定理光学中的折射定理 光在由一种介质进入另一种介质时，在界面处会发生折射现象。光在由一种介质进入另一种介质时，在界面处会发生折射现象。人们发现，折射现象人们发现，折射现象 造成的结果是所谓造成的结果是所谓“最短时间最短时间”效应，即光线会走最快的路径。效应，即光线会走最快的路径。设光在介质设光在介质1 1中的传播速度为中的传播速度为 而在介质而在介质2 2中的传播中的传播速度为速度为 。在同一种介质

43、中，光的传播速度是常数，因而，。在同一种介质中，光的传播速度是常数，因而，在同种介质中它将沿着直线方向传播。现取两种介质的分界在同种介质中它将沿着直线方向传播。现取两种介质的分界面上的一条直线为面上的一条直线为x x轴，设一束光线由介质轴，设一束光线由介质1 1中的中的A A（0 0，a a）点经）点经x x轴上的轴上的P(x,0)P(x,0)点，进入介质点，进入介质2 2，并沿某直线方向行进到，并沿某直线方向行进到B B（d d，b b）点。设直线段）点。设直线段APAP与与x x轴的法线的夹角为轴的法线的夹角为 ，直线段直线段PBPB与与x x轴的法线的夹角为轴的法线的夹角为 ，下面，我们

44、将根据最短时间效应来推，下面，我们将根据最短时间效应来推导出光学中的折射定理。光线由导出光学中的折射定理。光线由A A传到传到B B所需的时间为所需的时间为101101现在学习的是第101页，共126页公式 故光线由A传播到B的总时间为最短时间效应对应的优化问题为 （0，d）102102现在学习的是第102页，共126页令令得得注意到注意到 和和（5.195.19）时又可写成）时又可写成此即光学中的折射定理。此即光学中的折射定理。103103现在学习的是第103页，共126页身体结构的优化身体结构的优化 在长期的生物进化过程中，动物体内的结构已趋于某种程度的最在长期的生物进化过程中，动物体内的

45、结构已趋于某种程度的最优化状态，本节将举两个实例来加以说明。本节采用的方法不同于优化状态，本节将举两个实例来加以说明。本节采用的方法不同于一般的优化问题的研究，在一般优化问题中，我们研究的问题是为一般的优化问题的研究，在一般优化问题中，我们研究的问题是为了达到某种意义下的最优化，人们应当如何去做。而本节要研究的了达到某种意义下的最优化，人们应当如何去做。而本节要研究的却是：假设生物的结构在进化过程中不断优化，适者生存，逐步达却是：假设生物的结构在进化过程中不断优化，适者生存，逐步达到了某种意义下的最优化，那么，生物的结构应当具有哪些特征？到了某种意义下的最优化，那么，生物的结构应当具有哪些特征

46、？例例例例1 1（血管的分支）（血管的分支）假设假设假设假设 动物的血管系统经长期进化，几何形状已经达到了使能量动物的血管系统经长期进化，几何形状已经达到了使能量消耗大到最低的优化标准。消耗大到最低的优化标准。104104现在学习的是第104页，共126页 血液在动物的血管中不停地循环流动着，在此过程中消耗的总能量显然与血管系统的几何形状有关。我们不可能讨论整个血管系统的几何形状，那样的话会涉及到太多的生理知识，对此我们甚至尚未完全搞清楚。在本节中，我们只研究血管分支处粗细血管半径的比例和分岔角度，我们希望知道，它们在消耗能量最小的原则下应取何值。为研究这一问题，我们先做如下假设：假设：（1）

47、一条粗血管在分支处只分成两条较细的血管，在分支点附近三条血管位于同一平面，并且有一对称轴。如若不然，血管长度增加必然导致能量消耗的增加，不符合优化原则，我们称此假设为几何假设。105105现在学习的是第105页，共126页 （2）在考察血液流动受到的阻力时，将这种流动视为粘性液体在刚性管道内的运动，即将血管近似看成刚体，这是一种近似。事实上血管是有弹性的，这种近似对结果的影响很小，我们称之为物理假设。（3）血液对血管提供的营养随着管壁内表面 积和管壁的厚度的增加而增加。管壁厚度和 血管半径成正比，我们称之为生理假设。根据几何假设，我们作血管分支图5-4如下：设一条粗血管在C处分叉为两条细血管并

48、形成对称的几何图形。粗细血管的半径分别为 ，分岔处角度为 。106106现在学习的是第106页，共126页 考察长度为 l 的一段粗血管AC和长度为 的细血管CB和 ，ACB（）的水平和垂直距离为L和H，另外血液在粗细血管中单位时间内的流量分别为q和 ，显然 。由假设2，根据流体力学定律：粘性物质在刚性管道内流动所受到的阻力与流速的平方成正比，与管道半径的四次方成反比。从而血液在粗细血管内受到阻力分别为 ，和其中 k 为比率系数。107107现在学习的是第107页，共126页n n 由假设3，在单位长度的血管内，血液为管壁提供营养所消耗的能量为 ，其中 b为比率系数。根据上述假设及对假设的进一

49、步分析，我们可以得到血液从粗血管A点流动到细血管B点，用于克服阻力及给管壁提供营养所消耗的能量为此外易得：108108现在学习的是第108页，共126页将上式代入前一式中并注意到 ，得要使总能量 消耗达到最小，应求解此多元函数最小值问题，根据必要条件，应有：，即109109现在学习的是第109页，共126页 解得：故110110现在学习的是第110页，共126页以上公式给出的就是我们要找的血管分岔的最优解以上公式给出的就是我们要找的血管分岔的最优解 ，由于，由于 ，可以算出可以算出 和和 的大致范围分别为的大致范围分别为 上述结果和生物学家经验观察吻合得相当好。我们甚至上述结果和生物学家经验观

50、察吻合得相当好。我们甚至还可以估计出血管分支次数和毛细血管的总数。通过解剖实还可以估计出血管分支次数和毛细血管的总数。通过解剖实验，可以测出最粗的大动脉血管半径和最细的毛细血管半径。验，可以测出最粗的大动脉血管半径和最细的毛细血管半径。例如，狗的大动脉血管半径例如，狗的大动脉血管半径 与毛细血管半径与毛细血管半径 之比大之比大约为约为10001000。设血管总共分支了。设血管总共分支了n n次，将由粗到细各级血管的次，将由粗到细各级血管的半径记为半径记为 111111现在学习的是第111页，共126页由于 易得即狗大约有 根毛细血管。112112现在学习的是第112页，共126页人是怎样咳嗽的