几种特殊的代数系统精选PPT.ppt

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1、关于几种特殊的代数系统1第1页，讲稿共109张，创作于星期日6.1 半群和独异点定义6.1.1半群 设V=是代数系统,为二元运算如果是可结合的,则称V为半群2第2页，讲稿共109张，创作于星期日例6.1是半群。,都是半群，其中+表示普通加法。是半群,其中表示矩阵乘法。是半群,其中表示集合的对称差运算是半群,其中Zn=0,1,n-1,表示模n加法。3第3页，讲稿共109张，创作于星期日因为半群V=中的运算是可结合的,可以定义运算的幂对任意的xS,规定xn是 x1=x,xn+1=xnx,n为正整数。易证x的幂遵从以下规律：xn xm=xn+m,(xn)m=xnm,n为正整数半群中运算的幂4第4页，

2、讲稿共109张，创作于星期日例5第5页，讲稿共109张，创作于星期日定理 6.1.1 定理6.1.1若V=是半群,S为有限集合，则S中必含有幂等元。证明：设=是半群,对任何aS,有a2,a3.S,.由于S为有限集合，所以必存在ji,使得ai aj。令p=j-i,便有 aiaj ap*ai 所以，am ap*am（mi)令m=kp,akp ap*akp ap*(ap*akp)=a2p*akp =akp*akp令b=akp,有b=b*b,即S中含有幂等元6第6页，讲稿共109张，创作于星期日定义6.1.2 可交换半群 如果半群V=中的二元运算*是可交换的,则称V为可交换半群.定义6.1.3 独异点

3、 如果半群V=中的二元运算含有幺元,则称V为含幺半群,也可叫做独异点.为了强调幺元的存在,有时将独异点记为。7第7页，讲稿共109张，创作于星期日例6.2是可交换半群。,都是可交换半群和独异点，其中+表示普通加法。幺元是0。,是半群和独异点,其中表示矩阵乘法。矩阵乘法的幺元是n阶单位矩阵E.是半群和独异点,其中表示集合的对称差运算对称差运算的幺元是.是半群和独异点,其中Zn=0,1,n-1,表示模n加法。模n加法的幺元是0.8第8页，讲稿共109张，创作于星期日在独异点V=中,如果规定x0=e(x是S中的任意元素),那么有关半群中幂的定义可以变成 x0=e xn+1=xn x n为非负整数而关

4、于幂的两个运算公式不变,只要其中的m和n是非负整数就可以了。独异点中运算的幂9第9页，讲稿共109张，创作于星期日在独异点V=中,如果规定x0=e(x是S中的任意元素),那么有关半群中幂的定义可以变成 x0=e xn+1=xn x n为非负整数而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的m和n是非负整数就可以了。独异点中运算的幂10第10页，讲稿共109张，创作于星期日注意：此定理对半群不成立。定理6.1.2 一个有限独异点 的运算表中不会有任何两行或两列元素相同。11第11页，讲稿共109张，创作于星期日独异点的子代数叫做子独异点.对独异点V=,构成V的子独异点，需要满足：u T是S的非空子集，v

5、 T要对V中的运算封闭，w eT，即可。子独异点12第12页，讲稿共109张，创作于星期日13第13页，讲稿共109张，创作于星期日半群同态定义6.3 设V1=,V2=为半群,:S T，且对任意x,yS有 (xy)=(x)*(y)则称为半群V1到V2的同态14第14页，讲稿共109张，创作于星期日例 半群V=,其中S=.是矩阵乘法。令:S S,那么有 =这说明 是半群V的自同态,但不是满自同态15第15页，讲稿共109张，创作于星期日V1=,V2=是独异点,设:S1 S2,如果对任意x,yS1都有 (xy)=(x)*(y)(e1)=e2,则称为独异点V1到V2的同态补充：独异点的同态16第16

6、页，讲稿共109张，创作于星期日例 独异点V=其中S=，.是矩阵乘法。令:S S,那么对任意x,yS都有 17第17页，讲稿共109张，创作于星期日但是而 不是独异点V的么元,因此,不是独异点V 的自同态。这就是说,如果把V看作半群,则是V的自同态;如果把V看作独异点,则就不是它的自同态了。18第18页，讲稿共109张，创作于星期日定理：设V1=,V2=为半群,f为 S 到 T的半群同态，则对半群同态有（1）同态象为一半群。（2）若为独异点，则 也为独异点19第19页，讲稿共109张，创作于星期日群定义 设G,。是代数系统,。为二元运算如果 。是可结合的,存在幺元eG,并且G中的任意元素x,都

7、有x-1G,则称G是群.20第20页，讲稿共109张，创作于星期日例 ,都是群;是群,其中表示集合的对称差运算元素的逆元是自身；是群,其中Zn=0,1,n-1,表示模n加法。0的逆元是0,非0元素的逆元是n-x.不是群;是群;21第21页，讲稿共109张，创作于星期日例 设Ge,a,b,c,。为G上的二元运算,它由以下运算表给出不难证明G是一个群.e e为为G G中的幺元中的幺元,。是可交换的是可交换的.任何任何G G中的元素与自己运中的元素与自己运算的结果都等于算的结果都等于e.e.在在a,b,ca,b,c三个元素中三个元素中,任何任何两个元素运算的结果都等两个元素运算的结果都等于另一个元素

8、于另一个元素.一般称这个群为一般称这个群为KleinKlein四元四元群群.22第22页，讲稿共109张，创作于星期日群的术语 若群G中的二元运算是可交换的,则称群G为交换群,也叫做阿贝尔(Abel)群l,都是群,也是阿贝尔(Abel)群;l 是群,也是阿贝尔(Abel)群;l是群,也是阿贝尔(Abel)群.lKlein四元群也是阿贝尔群23第23页，讲稿共109张，创作于星期日定理 设为一个群，为阿贝尔群的充分必要条件是对任意x,y G,有(x*y)*(x*y)=(x*x)(y*y)24第24页，讲稿共109张，创作于星期日无限群 有限群 若群G中有无限多个元素,则称G为无限群,否则称为有限

9、群.例如,都是无限群.是有限群.Klein四元群也是有限群.25第25页，讲稿共109张，创作于星期日群的阶 对于有限群G,G中的元素个数也叫做G的阶,记作|G|.是有限群,其阶是n.Klein四元群也是有限群,其阶是4.26第26页，讲稿共109张，创作于星期日在群G中,由于G中每个元素都有逆元，所以可以定义负的幂，对任意 xG,n为正整数,那么有关群中幂的定义可以变成 x0=e xn+1=xn*x n为非负整数 x-n=(x-1)n,n为正整数而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的m和n是任意整数就可以了。群中运算的幂27第27页，讲稿共109张，创作于星期日群的性质定理 设G为群,则G中

10、的幂运算满足 xG,(x-1)-1x x,yG,(x*y)-1y-1*x-1 x1,x2,xnG,(x1*x2*xn)-1xn-1x2-1x1-1 xG,xn*xmxn+m xG,(xn)mxnm.m,n是整数28第28页，讲稿共109张，创作于星期日定理6.1.6 设 为群，则（1）G有唯一的幺元，G的每个元素恰有一个逆元；（2）G为群,a,bG,方程a*xb和y*ab在G中有解,且有唯一解（3）当G不等于e时，G无零元29第29页，讲稿共109张，创作于星期日c=ec30第30页，讲稿共109张，创作于星期日例 设G=,其中为集合的对称差运算,求下列群方程a X=,Y a,b=b解 X=a

11、-1 =a =aY=b a,b-1=b a,b=a31第31页，讲稿共109张，创作于星期日消去律定理6.1.7 G为群,则G中适合消去律,即对任意a,b,cG有 (1)若a*ba*c,则bc.(2)若b*ac*a,则bc.32第32页，讲稿共109张，创作于星期日定理 设为有限独异点,适合消去律，证明为群。定理6.1.8 设为一群,则幺元是G的唯一的幂等元。33第33页，讲稿共109张，创作于星期日 设为群,用aG和Ga分别表示下列集合 Ga=g*a|g G aG=a*g|G则有定理6.1.9 设为一群,a为G中任意元素,那么 aG=G=Ga34第34页，讲稿共109张，创作于星期日通过运算

12、表判断哪些代数系统不是群设S是一个非空集合,从集合S到S的一个双射称为S的一个置换.例如:对于集合S=a,b,c,d,将a映射到b,b映射到d,c映射到a,d映射c是一个从S到S的一对一映射,这个置换可以表示为:a b c db d a c35第35页，讲稿共109张，创作于星期日定理 G为有限群,则G的运算表中的每一行(每一列)都是G中元素的一个置换,且不同的行(或列)的置换都不相同。或者说 G为有限群,则G的运算表中的每一行(每一列)都是G中元素的一个全排列判断方法36第36页，讲稿共109张，创作于星期日元素x的阶 设G是群,xG,使得xke成立的最小的正整数k叫做x的阶(或周期)如果不

13、存在正整数k,使xke,则称x是无限阶的.对有限阶的元素x,通常将它的阶记为|x|.在任何群G中幺元e的阶都是137第37页，讲稿共109张，创作于星期日例在Klein四元群中,|a|=?,|b|=?,|c|=?,|e|=?38第38页，讲稿共109张，创作于星期日39第39页，讲稿共109张，创作于星期日下面一些结论：定理定理6.1.10.6.1.10.设是有限群，|G|n，则G中每个元素的阶 n。定理定理6.1.11.6.1.11.设是群，aG，a的阶为r，即|a|r.若ane当且仅当 r整除n。定理定理6.1.12.6.1.12.设是群，gG，则g与g1有相同的阶。40第40页，讲稿共1

14、09张，创作于星期日例例.设是n阶有限群，证明 1)G中阶大于2的元素的个数一定是偶数。2)若n是偶数，则G中阶等于2的元素个数一定是奇数。41第41页，讲稿共109张，创作于星期日定理6.1.13 设为一个群，为阿贝尔群的充分必要条件是对任意x,y G,有(x*y)*(x*y)=(x*x)(y*y)42第42页，讲稿共109张，创作于星期日第6章 几个典型的代数系统6.1 半群与群6.2 子群6.3 循环群和置换群6.4 陪集与拉格朗日定理6.5 正规子群、商群和同态基本定理6.6 环与域43第43页，讲稿共109张，创作于星期日子群定义6.2.1 设群,H是G的非空子集如果H关于G中的运算

15、*构成群,则称为的子群,记作HG.例如,在群中,取 2Z2x|xZ则2Z关于加法构成的子群.同样,0也是的子群.44第44页，讲稿共109张，创作于星期日例在Klein四元群中,G=e,a,b,c中,有5个子群,它们是:e,e,a,e,b,e,c,G平凡子群是真子群是45第45页，讲稿共109张，创作于星期日判定定理定理 设为群,为的子群的 充要条件是 (1)G的幺元e H (2)若a,bH,则a*bH (3)若aH,则a-1H定理 设为群,H是G的非空有限子集，且H对*运算封闭，那么为 的子群。46第46页，讲稿共109张，创作于星期日子群的性质定理6.2.3 设为群,H是G的非空子集.那么

16、 是的子群的充分必要条件是对任意x,yH都有x*y-1H47第47页，讲稿共109张，创作于星期日例 设G为群,(1)对任何aG,令 Hak|kZ,即x的所有幂的集合不难判定H是G的子群因为任取H中的元素am,al,都有 am(al)-1ama-lam-lH.称这个子群是由元素x生成的子群,记作注意：由a生成的子群是包含a的最小子群。48第48页，讲稿共109张，创作于星期日例49第49页，讲稿共109张，创作于星期日群G的中心 设G为群,令C是与G中所有的元素都可交换的元素构成的集合,即Ca|aGxG(ax=xa),称C为群G的中心.50第50页，讲稿共109张，创作于星期日群G的应用群在计

17、算机科学中有十分重要的应用，下面以图书国际标准书号ISBN号的校验位为例，说明其应用。可以发现错误或顺序颠倒。例1：书ISBN号为7-5053-8708-1（中国-电子工业出版社-书编号-校验码），由10位数字组成。x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10,校验位通过下列余式计算 1x1+2 x2+3x3+4x4+5 x5+6 x6+7 x7+8 x8+9 x9 =x10（mod 11)221=x10（mod 11)1=x10（mod 11)现有错误书号7-5053-8705 计算 194=x10（mod 11)7=x10（mod 11)发现错误。例2：书号7-5062-0335-7和7-5

18、062-0353-7。前一个错，因为141=7（mod 11)9=7（mod 11)；后一个139=7（mod 11)，7=7（mod 11)正确。说明有组数据顺序错了。51第51页，讲稿共109张，创作于星期日第6章 几个典型的代数系统6.1 半群与群6.2 子群6.3 循环群和置换群6.4 陪集与拉格朗日定理6.5 正规子群、商群和同态基本定理6.6 环与域52第52页，讲稿共109张，创作于星期日循环群定义6.3.1 在群G中如果存在aG使得 G=ak|kZ而称G为循环群,记作G=,称a为G的生成元.（约定a0=e)所谓循环群，就是群中的每个元素都可表示成某个固定元素a的整数次幂。53第

19、53页，讲稿共109张，创作于星期日54第54页，讲稿共109张，创作于星期日 是循环群,1或-1为生成元;是循环群,其中2为生成元；是循环群,其中1,3为生成元；55第55页，讲稿共109张，创作于星期日 在循环群G=中,生成元a的阶与群G的阶是一样的.如果a是有限阶元,|a|n,则称G为n阶循环群.如果a是无限阶元,则称G为无限阶循环群.n阶循环群56第56页，讲稿共109张，创作于星期日定理定理6.3.26.3.2 设是由a生成的有限群，则有 G=e,a1,a2 an-1,其中n=|G|,也是a 的阶。n阶循环群必同构于证明：设a的阶为k，则H=e,a1,a2 ak-1为G的子群，H G

20、。现证明G H。任取amG,如果不属于H，则m=kt+r rkam=akt+r=akt*ar=ar H 矛盾。设有映射：Zn，任意f(ai）=i 证明该映射是同构映射。57第57页，讲稿共109张，创作于星期日定理定理6.3.3.6.3.3.设为无限循环群，且G=,则G 只有两个生成元a和a-1。且同构 于证明：（1）证明a-1 是生成元（2）证只有这两个。假设还有一个b,aG,有a=bt,又因bG,b=ak,a=bt=akt akt-1=e kt=1,t=1或t=-1 设有映射：，任意f(ai）=i 证明该映射是同构映射。58第58页，讲稿共109张，创作于星期日 例1：在 群中取1 I,由

21、于010,n=1n,-n=(-1)n=1-n 故I中的每个元素都可表示成1的整数次幂。由循环群的定义知是循环群，1是循环群的生成元。例2：1,-1,i,-i,是循环群，生成元为i和-i。59第59页，讲稿共109张，创作于星期日例3：生成元为c,d结论：结论：循环群的循环群的生成元可生成元可以不唯一以不唯一60第60页，讲稿共109张，创作于星期日定理：任何一个循环群必定是阿贝尔群。61第61页，讲稿共109张，创作于星期日62第62页，讲稿共109张，创作于星期日定理定理6.3.46.3.4 循环群的子群都是循环群。定理定理6.3.5 6.3.5 设为a生成的循环群，（1）若G是无限循环群，

22、则G有无限多个子群，它们分别由e,a1,a2 an-1生成。（2）若G是有限循环群，阶为n，则G的子群 的阶都是n的因子。对于n的正因子d，在G 中只有一个d阶子群，就是由an/d生成的 子群。63第63页，讲稿共109张，创作于星期日置换群定义6.3.3 置换 有限集有限集上的双射函数称为置换64第64页，讲稿共109张，创作于星期日置换群定义6.3.3 设S1,2,n,S上的任何双射函数:SS构成了S上n个元素的置换,称为n元置换.例如，S=1,2,3，令:SS，且有:(1)=2,(2)=3,(3)=1,65第65页，讲稿共109张，创作于星期日则将1,2,3分别置换成2,3,1,此置换常

23、被记为 =采用这种记法,一般的n元置换可记为66第66页，讲稿共109张，创作于星期日n个不同元素有多少种排列的方法?n!种排列的方法,所以,S上有n!个置换.例如,上有3!=6种不同的置换,即 67第67页，讲稿共109张，创作于星期日对于n元置换也可以用不交的轮换之积来表示.=(a1a2am),mn那么的映射关系是a1a2,a2a3,am-1am,ama1,而其他的元素都有aa.称为m次轮换.任何n元置换都可表成不交的轮换之积.68第68页，讲稿共109张，创作于星期日例如,是1,2,6上的置换,且 =那么的映射关系是1 6,25,33,44,52,61.去掉3和4这两个保持不变的元素,可

24、得 1 6,61,25,52 所以=(1 6)(2 5)(3)(4)69第69页，讲稿共109张，创作于星期日又如,也是1,2,6上的置换,且 =则有 =(1 4 3 2 5)(6)为使表达式简洁,可以去掉1次轮换那么有 =(1 6)(2 5)=(1 4 3 2 5)70第70页，讲稿共109张，创作于星期日根据这种表法,1,2,3 上的置换可记为：1=(1),2=(12),3=(13),4=(23),5=(123),6=(132)71第71页，讲稿共109张，创作于星期日设S=1,2,n,S上的n!个置换构成集合S,其中恒等置换Is=(1)Sn在Sn上规定二元运算,对于任意n元置换,Sn,表

25、示与的复合.显然也是S上的n元置换,所以,Sn对运算是封闭的,且是可结合的.任取Sn中的置换,有 Is=Is=n元对称群、n元置换群72第72页，讲稿共109张，创作于星期日所以,恒等置换Is=(1)是Sn中的幺元且的逆置换 -1=就是的逆元。即:Sn关于置换的复合构成一个群,称之为S上的n元对称群.Sn的任何子群称为S上的n元置换群.73第73页，讲稿共109张，创作于星期日定义6.3.4 置换群 将n个元素的集合A上的置换全体记为Sn,那么称群 Sn,*为n次对称群，它的子群又称为n次置换群。74第74页，讲稿共109张，创作于星期日例如S3=(1),(12),(13),(23),(123

26、),(132),S3的运算表如表6.1所示75第75页，讲稿共109张，创作于星期日从表6.1可以看到 (13)。(12)(12)。(13)所以,S3不是阿贝尔群,在 S3中,(12),(13)和(23)都是2阶元,而(123)和(132)是3阶元.76第76页，讲稿共109张，创作于星期日S3有6个子群,即 =(1),=(1),(12),=(1),(13),=(1),(23),=(1),(123),(132),所以,S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132).其中(1)和S3是平凡的,除S3自己以外,都是S3的真子群77第77页，讲稿共109张，创作于星期日上面讲了由

27、有限集合上面讲了由有限集合上面讲了由有限集合上面讲了由有限集合X X到到到到X X的双射即置换，以及置换群；下面不再的双射即置换，以及置换群；下面不再的双射即置换，以及置换群；下面不再的双射即置换，以及置换群；下面不再限于限于限于限于X X是有限集，换言之，它可以是个无穷集。这时从集合是有限集，换言之，它可以是个无穷集。这时从集合是有限集，换言之，它可以是个无穷集。这时从集合是有限集，换言之，它可以是个无穷集。这时从集合X X到到到到X X的双射，称之为一一变换或变换。的双射，称之为一一变换或变换。的双射，称之为一一变换或变换。的双射，称之为一一变换或变换。因而，可证构成群，在代数中称为变换群

28、，显然，置换群是变换群的特例。请注意，由TX中的一些变换与运算o构成的群，都称为变换群，而只不过是个特殊情形而已。78第78页，讲稿共109张，创作于星期日第6章 几个典型的代数系统6.1 半群与群6.2 子群6.3 循环群和置换群6.4 陪集与拉格朗日定理6.5 正规子群、商群和同态基本定理6.6 环与域79第79页，讲稿共109张，创作于星期日定义6.4.1 设为群，A,B G,，且A,B非空，AB=a*b|a A,b B,称为A,B的乘积。性质(1)（AB)C=A(BC)(2)eA=Ae=A80第80页，讲稿共109张，创作于星期日定义6.4.2 设为的子群，那么对任一g G,称gH为H

29、的左陪集，称Hg为H的右陪集，这里 gH=g*h|h H Hg=h*g|h H81第81页，讲稿共109张，创作于星期日定理6.4.1 设为的子群，那么（1）对任意g G,|gH|=|H|（|Hg|=|H|）（2）当g H 时，gH（Hg）82第82页，讲稿共109张，创作于星期日（1）证明：令f：HaH 即f(h)=a*h,其中hH则f是双射。满射是显然的，下面再证它是单射。若a*h1=a*h2，h1,h2H，则根据群的可约律知h1=h2，即f(h1)=f(h2)导出h1=h2。所以|gH|=|H|(2)含义，若为群的子群，则H为中的左陪集。因为若e是的幺元，则e*H=e*h|hH|=H。8

30、3第83页，讲稿共109张，创作于星期日定理定理6.4.设为的子群，有（1）H（2）若H，则 H证明:(1)因为eH，故a=a*eaH。(2)若H,b=ah,bH=(ah)H=a(hH)=aH84第84页，讲稿共109张，创作于星期日定理定理6.3 6.若 是 群 的 子 群，则 或 者aHbH=或者aH=bH。定理定理6.4.4 若是群的子群，对任意a,b G,则a,b属于H的同一左陪集b-1*aH 即aH=bHb-1*aH85第85页，讲稿共109张，创作于星期日推论 左陪集aH中的任何元素a1均可决定该陪集，或者说，陪集中的每个元素都可作为陪集的代表。因为若a1aH，则存在h1H，使得a

31、1=a*h1，于是a-1*a1=h1H。再根据定理6.4.4 知，a1H=aH。86第86页，讲稿共109张，创作于星期日由于G中每个元素a必在H的左陪集aH中，从定理6.4.3又知道，G中每个元素恰好能属于H的某个左陪集中。因此H的左陪集簇构成G的划分，而且划分中每个块与H具有相同的元素个数。因此可得下面结论。若是群的子群，则中的H的左陪集簇构成G的一种划分。并且称它为G的对于H的左陪集划分。87第87页，讲稿共109张，创作于星期日假若群为有限群，其子群是，且|G|=n，|H|=m，则G的 对 于 H的 左 陪 集 划 分 可 表 为G=a1Ha2HakH，其中k为不同的左陪集个数，称为H

32、在G中的指标，由于每个左陪集皆有m个元素，故G具有km个元素，即n=mk，这便得到著名拉格朗日(J.L.Lagrange)定理：88第88页，讲稿共109张，创作于星期日定理6.4.6 若是有限群的子群，那么|H|G|(H的阶整除G的阶）。即：任何有限群的阶均可被其子群的阶所整除。89第89页，讲稿共109张，创作于星期日推论1:有限群中任何元素的阶均为G的阶因子。推论2:质数阶的群没有非平凡子群。推论3：4阶群同构于4阶循环群或 Klein四元群90第90页，讲稿共109张，创作于星期日定理6.4.5 若是群的子群，则R=|a,b H，a-1*bH是G上的一个等价关系，且aR=aR,称R为群

33、G上H的左陪集等价关系。91第91页，讲稿共109张，创作于星期日6.6 环与域定义6.6.1 环 设是代数系统,R为集合,+,为二元运算,如果 (1)为阿贝尔群（加群）,(2)为半群,(3)乘法对加法+适合分配律,则称是环约定：定义中的约定：定义中的+,表示一般二元运算，称为环中表示一般二元运算，称为环中的加法和乘法运算，不一定是数乘和数加的加法和乘法运算，不一定是数乘和数加92第92页，讲稿共109张，创作于星期日 例 如,和都是环,+和表示普通加法和乘法.是环,其中Mn(R)是n阶实矩阵的集合,+,分别是矩阵加法和乘法.是模n的整数环,其中Zn0,1,n1,和分别表示模n的加法和乘法.是

34、环，其中Mnn 是 nn阶实矩阵的全体，与是矩阵的加法和乘法.93第93页，讲稿共109张，创作于星期日定理6.6.1 设是环,0为加法幺元,-a为a的逆元，那么对 (1)aR,a00a0.(2)a,bR,(-a)ba(-b)-(ab).(3)a,bR,(-a)(-b)ab.(4)a,b,cR,a(b-c)=abac,(b-c)abaca.94第94页，讲稿共109张，创作于星期日(1)aR,a00a0.证明 a0a(0+0)a0+a0,由加法消去律得 0a0.同理可证 0a0.(2)a,bR,(-a)ba(-b)-(ab).证明(-a)b+ab=(-a+a)b0.b0类似地有 ab+(-a)

35、b0,所以(-a)b是ab的加法逆元,即-(ab).同理可证 a(-b)=-(ab)95第95页，讲稿共109张，创作于星期日(3)a,bR,(-a)(-b)ab.证明:(-a)(-b)-(a(b)-(-(ab)ab,(4)a,b,cR,a(b-c)=ab-ac,(b-c)abaca.证明:a(b-c)=a(b+(-c)=ab+a(-c)=ab-ac 同理有 (b-c)a=ba-ca96第96页，讲稿共109张，创作于星期日定义6.6.2：交换环、含幺环 在环中,如果乘法适合交换律,则称R是交换环.如果对于乘法有幺元,则称R是含幺环.为了区别含幺环中加法幺元和乘法幺元,通常把加法幺元记作0,乘

36、法幺元记作1.可以证明加法幺元0恰好是乘法的零元.97第97页，讲稿共109张，创作于星期日定义6.6.3:零因子环在环中,如果存在a,bR,a0,b0,但ab0,则称a,b为R的零因子，并称R为零因子环，否则称R为无零因子环.98第98页，讲稿共109张，创作于星期日 ,和都是无零因子环,不一定是无零因子环.例:中有230,但2和3都不是0.不是无零因子环,是无零因子环.99第99页，讲稿共109张，创作于星期日定理6.6.2 设是环，那么R中无零因子当且仅当R中乘法运算满足消去率。100第100页，讲稿共109张，创作于星期日整环、域定义6.6.4:整环:若环是交换、含幺和无零因子的,则称

37、R为整环.定义6.6.5:子环 设设是环，如果有集合是环，如果有集合S S满足满足 1.1.为为的子群；的子群；2.2.为为的子半群；的子半群；则称则称 为为 的的子环。101第101页，讲稿共109张，创作于星期日 定义定义 设设是一个代数系统，若满足是一个代数系统，若满足 1.1.是阿贝尔群；是阿贝尔群；2.2.是阿贝尔群；是阿贝尔群；3.3.运算运算对运算对运算+是可分配的是可分配的 则称则称是域。是域。域（域（FieldField）102第102页，讲稿共109张，创作于星期日例6.5 设S为下列集合,+和.为普通加法和乘法.(1)Sxx2nnZ.(2)Sxx2n+1nZ.(3)Sxx

38、Zx0N,(4)Sxxa+b ,a,bQ.问S和+,能否构成域？为什么？103第103页，讲稿共109张，创作于星期日解(1)不是域,因为乘法幺元是1,1S.(2)也不是域,因为S不是环,普通加法的幺元是0,0S,(3)S不是环,因为除0以外任何正整数x的加法逆元是-x,而-xS当然也不是域.104第104页，讲稿共109张，创作于星期日(4)S是域.对任意x1,x2S有x1a1+b1 ,x2=a2+b2 ,x1+x2=a1+a2+(b1+b2)S.x1x2=(a1a2+3b1b2)+(a1b2+a2b1)S105第105页，讲稿共109张，创作于星期日S对+和.是封闭的.又乘法么元1S,易证

39、是整环,xS,x0,x=a+b 有所以是域.106第106页，讲稿共109张，创作于星期日 域都是整环域都是整环定理6.6.3 有限整环都是域。定理6.6.4 设是域,那么F中的非零元素在中有相同的阶。107第107页，讲稿共109张，创作于星期日定义6.6.5:子域 设设是域，是域，为为F F的子环，且的子环，且 S,+,为一域，则称为一域，则称 为为 的的子域。定理6.6.5:设设是域，是域，FF是是F F的子集，且的子集，且FF中至少有两个元中至少有两个元素，那么素，那么为为的子域当且仅当的子域当且仅当FF满足满足 (1)(1)为为的子群；的子群；(2)(2)为为 的子群；的子群；108第108页，讲稿共109张，创作于星期日6.1.1 半群感感谢谢大大家家观观看看第109页，讲稿共109张，创作于星期日