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1、概率及概率分布本讲稿第一页，共三十一页第一章要点提示第一章要点提示 本章择要讲授概率论的基本常识和随机变量最典型的三种概本章择要讲授概率论的基本常识和随机变量最典型的三种概率分布。学习时率分布。学习时应了解随机事件相互关系并熟悉概率运算的基应了解随机事件相互关系并熟悉概率运算的基本法则；本法则；掌握两种间断性变量的概率分布类型，即古典概型和掌握两种间断性变量的概率分布类型，即古典概型和贝努利概型；贝努利概型；牢固树立研究牢固树立研究误差误差的思想，重点掌握误差作为连的思想，重点掌握误差作为连续性变量的概率分布规律续性变量的概率分布规律正态分布，熟练地运用正态分布，熟练地运用在某些取值区间在某些

2、取值区间如左尾、右尾、双侧或中间概率的计算方法。如左尾、右尾、双侧或中间概率的计算方法。为下一章学习一类特殊的连为下一章学习一类特殊的连续性变量续性变量抽样误差的概率分布作准备。抽样误差的概率分布作准备。涉及教材内容：第一章第二、三节，第四章第一四节。涉及教材内容：第一章第二、三节，第四章第一四节。作业布置：作业布置：教材第二、三章内容（教材第二、三章内容（P12 P12 P33P33）自习）自习。本讲稿第二页，共三十一页第一节第一节 事件及其相互关系事件及其相互关系一、随机现象一、随机现象 在一定条件下，有多种可能的结果发生，但事先并不能在一定条件下，有多种可能的结果发生，但事先并不能100

3、%地肯定发生哪一种结果的现象。地肯定发生哪一种结果的现象。随机事件：泛指随机现象的任一种可能发生的结果，简称随机事件：泛指随机现象的任一种可能发生的结果，简称“事件事件”。用大写字母用大写字母 A、B、C或或A1、A2、A3表示。表示。随机现象有多少种可能发生的结果，就有多少个随机事件。随机现象有多少种可能发生的结果，就有多少个随机事件。基本事件：指不能再分割的随机事件，否则就是复合事件。基本事件：指不能再分割的随机事件，否则就是复合事件。概率论：研究随机现象统计规律性的学科。属于应用数学范围。概率论：研究随机现象统计规律性的学科。属于应用数学范围。本讲稿第三页，共三十一页 第一节第一节 事件

4、及其相互关系事件及其相互关系二、概率的三种定义二、概率的三种定义随机试验：对某随机现象进行的一次观察同时具备三条：随机试验：对某随机现象进行的一次观察同时具备三条：事先可以明确几种可能出现的结果；事先可以明确几种可能出现的结果；不能断言将出现哪一种结果；不能断言将出现哪一种结果；在相同条件下可以重复进行。在相同条件下可以重复进行。统计定义：统计定义：假定在相同或相似条件下，重复进行同一个假定在相同或相似条件下，重复进行同一个 试验（或观试验（或观察），某一事件察），某一事件A发生的次数发生的次数a与总与总 观察观察 次次 数数n之比值之比值 a/n 当当n时稳定接近的值时稳定接近的值 p 就叫

5、就叫A的统计概率。记为的统计概率。记为P（A）=p 或简述为或简述为“频率的极限值频率的极限值”、“频率的稳定值频率的稳定值”。此外还有概率的古典定义和几何定义。此外还有概率的古典定义和几何定义。本讲稿第四页，共三十一页第一节第一节 事件及其相互关系事件及其相互关系三、古典概型三、古典概型 即古典概率分布类型，是针对有以下两个特征的试验而言：即古典概率分布类型，是针对有以下两个特征的试验而言：只只有有限个不同的基本事件；有有限个不同的基本事件；各基本事件发生的概率均等。各基本事件发生的概率均等。例例1.1、从随机数字表中任一位点抽得一位数字是、从随机数字表中任一位点抽得一位数字是0、1、2、或

6、或9的概率是均等的，都为的概率是均等的，都为0.1。即。即 n=10个基本事件发生的可能个基本事件发生的可能性相等，若事件性相等，若事件A由其中的由其中的 m 个基本事件组成，则个基本事件组成，则 P（A）=m/n，这就是概率的古典定义。如定义这就是概率的古典定义。如定义A为为2y8，则，则P（A）=7/10=0.7。弄清楚古典概率能帮助我们正确使用随机数字表。如将弄清楚古典概率能帮助我们正确使用随机数字表。如将4个编号个编号进行随机排序时，按照取除以进行随机排序时，按照取除以4以后的余数规则，遇到以后的余数规则，遇到9、0就不要读；就不要读；再如将再如将12个编号进行随机排序时，按照取除以个

7、编号进行随机排序时，按照取除以12以后的余数规则，遇以后的余数规则，遇到到97、98、99、00也不要读。也不要读。本讲稿第五页，共三十一页 第一节第一节 事件及其相互关系事件及其相互关系四、统计概型四、统计概型 实际应用中，仅研究基本事件是实际应用中，仅研究基本事件是不够的，还要了解复合事件及其相互不够的，还要了解复合事件及其相互关系。关系。事件间的相互关系有包含关系、事件间的相互关系有包含关系、和与积的关系、互斥及对立关系等。和与积的关系、互斥及对立关系等。这些关系可以用一个最简单的随这些关系可以用一个最简单的随机试验模型予以说明。如右边文本所机试验模型予以说明。如右边文本所示。示。观察甲

8、、乙两粒种子发芽情况，观察甲、乙两粒种子发芽情况，发芽记为发芽记为“1”，没有发芽记为，没有发芽记为“0”甲甲 乙乙1 1 1 A=A1A2 2 1 0 B A1A23 0 1 B A1A24 0 0 C=A1A2注：注：甲发芽记为甲发芽记为“A1”、不发芽记、不发芽记“A1”；乙发芽记为乙发芽记为“A2”、不发芽记、不发芽记“A2”。本讲稿第六页，共三十一页第二节第二节 概率计算法则概率计算法则一、加法定理一、加法定理P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）例例1.2 考察甲乙两人分别使用手考察甲乙两人分别使用手枪和步枪朝同一靶标射击的结果。定枪和步枪朝同一靶标射击的结果。定义义A为为“甲

9、击中甲击中”，B为为“乙击中乙击中”。假。假定统计次数定统计次数 n=100 得得P（A）=0.6，P（B）=0.8，P（AB）=0.48，求：，求：P（A+B）。）。解解 “A+B”意为意为“靶标至少被一人击中靶标至少被一人击中”P（A+B）=0.6+0.8 0.48=0.92 结果表明：结果表明：100次观察中只有次观察中只有8次次没有被击中，进一步分析如右。没有被击中，进一步分析如右。靶标被击中靶标被击中92次又分三种情况：次又分三种情况：两人同时击中：两人同时击中：nP（AB）=48 甲击中且乙未击中：甲击中且乙未击中：nP（A）nP（AB）=12乙击中且甲未击中：乙击中且甲未击中：n

10、P（B）nP（AB）=32 将将、的三个等式左右两的三个等式左右两边分别累加，得到公式：边分别累加，得到公式：nP（A）+nP（B）nP（AB）=92将该公式两边除以将该公式两边除以 n 就是加法法则。就是加法法则。本讲稿第七页，共三十一页第二节第二节 概率计算法则概率计算法则二、乘法定理二、乘法定理 P（AB）=P（A）P（B/A）=P（B）P（A/B）例例1.3 将将0.5 kg 辛夷花籽经水辛夷花籽经水 选分级，上浮部分选分级，上浮部分1000 粒，播种粒，播种 后发芽率仍有后发芽率仍有10%，下沉部分，下沉部分2500 粒，播种后的发芽率也只有粒，播种后的发芽率也只有80%，两两 向分

11、组小计如右。向分组小计如右。解解 定义从定义从3500粒种籽中随机抽取粒种籽中随机抽取的一粒是的一粒是“下沉籽下沉籽”为事件为事件A发生，发生，是是“发芽籽发芽籽”为事件为事件B发生，则有：发生，则有：P（AB）=5/70.8=0.620/21P（A）=25003500=5/7P（B）=21003500=0.6P（AB）=20003500=4/7P（B/A）=20002500=0.8P（A/B）=20002100=20/21水选分级水选分级发芽数发芽数未发芽数未发芽数上浮部分上浮部分 100 9001000下沉部分下沉部分 2000 5002500 2100 14003500本讲稿第八页，共三

12、十一页第二节第二节 概率计算法则概率计算法则三、加法定理推论三、加法定理推论 互斥事件的加法法则：互斥事件的加法法则：P（A+B+C+N）=P（A）+P（B）+P（C）+P（N）对立事件的减法法则：对立事件的减法法则：P（A）=P（）P（A）=1 P（A）四、乘法定理推论四、乘法定理推论 事件独立的充分必要条件是：事件独立的充分必要条件是：P（A1A2A3An）=P（A1）P（A2）P（A3）P（An）在试验统计中用得多的往往在试验统计中用得多的往往 不是加法定理或乘法定理本身，不是加法定理或乘法定理本身，而是其推论。而是其推论。本讲稿第九页，共三十一页第二节第二节 概率的计算法则概率的计算法

13、则 例例1.4 已知一批饲用小麦种出已知一批饲用小麦种出苗率为苗率为0.8，现随机观察其中的两粒，现随机观察其中的两粒，问：两粒出苗（问：两粒出苗（A）、仅一粒出苗）、仅一粒出苗（B）和两粒都不出苗（）和两粒都不出苗（C）的概）的概率各为多少？率各为多少？解解 设籽甲出苗为设籽甲出苗为A1，不出苗为，不出苗为A1 籽乙出苗为籽乙出苗为A2，不出苗为，不出苗为A2 依题意，依题意，A1、A2相互独立，即：相互独立，即：P（A1）=0.8，P（A1）=0.2 P（A2）=0.8，P（A2）=0.2 P（A）=P（A1A2）=0.64 =P（A1）P（A2）P（B）=P（A1A2+A1A2）=P（A

14、1A2）+P（A1A2）=P（A1）P（A2）+P（A1）P（A2）=0.80.2+0.20.8=0.32P（C）=P（A1A2）=0.04 =P（A1）P（A2）“至少一粒出苗的概率至少一粒出苗的概率”有两种算法：有两种算法：P（A+B）=1 P（C）=0.96本讲稿第十页，共三十一页第三节第三节 贝努利概型贝努利概型一、一、随机变量及其性质随机变量及其性质 将随机事件数量化，建立起一一将随机事件数量化，建立起一一对应的实数值对应的实数值Yi，则称之为随机变量，则称之为随机变量，简称简称“变量变量”。用符号。用符号 y 表示。表示。再将随机变量再将随机变量 y 的任意一个取值的任意一个取值Y

15、i 称为称为“观察值观察值”。如例。如例1.4中的中的012 将随机变量将随机变量 y 取任意一个实数值取任意一个实数值Yi的概率称为概率函数。记号的概率称为概率函数。记号f（）。）。再将随机变量再将随机变量 y 取值小于或等于取值小于或等于某一个实数值某一个实数值Yi的概率称为累积概率的概率称为累积概率函数。记号函数。记号 F（）。）。如表述例如表述例1.4中中“A”指指“两粒籽发芽两粒籽发芽”的概率时就有三种方式：的概率时就有三种方式：P（A）=p 或或 P（A）=0.64 P（y=Yi）=p，P（y=2）=0.64 f（Yi）=p 或或 f（2）=0.64 再表述例再表述例1.4中中“少

16、于一粒籽发芽少于一粒籽发芽”的概率时也可有两种方式：的概率时也可有两种方式：P（yYi）=P（y1）=10.64F（Yi）=F（1）=f（0）+f（1）=0.36 按所取观察值变化特点的不同，按所取观察值变化特点的不同，变量分间断性变量和连续性变量变量分间断性变量和连续性变量本讲稿第十一页，共三十一页第第三三节节 贝贝努努利利概概型型二二、贝贝努努利利概概型型 贝贝努努利利试试验验（序序列列）是是独独立立试试验验序序列列中中最最简简单单的的类类型型。观观察察一一次次贝贝努努利利试试验验时时（仅仅有有两两种种可可能能的的结结果果），事事件件A发发生生的的概概率率与与其其对对立立事事件件发发生生的

17、的概概率率所所表表现现出出来来的的两两点点分分布布类类型型，叫叫做做贝贝努努利利分分布布。其其概概率率值值的的分分割割比比例例实实际际由由概概率率的的（统统计计）定定义义给给出出。多多次次贝贝努努利利试试验验中中事事件件A在在其其中中若若干干次次发发生生的的概概率率所所表表现现出出来来的的多多点点分分布布类类型型，叫叫做做二二项项分分布布。其其概概率率函函数数f（y）由由牛牛顿顿二二项项式式定定理理给给出出。本讲稿第十二页，共三十一页第四节第四节 数据整理数据整理一、误差的概念一、误差的概念 总体指研究对象全体，即具有相同总体指研究对象全体，即具有相同性质和特征的个体（可供抽样观察的基性质和特

18、征的个体（可供抽样观察的基本单位）所组成的集团。本单位）所组成的集团。总体拥有的个体数目叫总体容量总体拥有的个体数目叫总体容量（N），统计学中的个体与生物个体不是，统计学中的个体与生物个体不是一个概念。一个概念。有时候总体有时候总体“由一切可能的观测结果由一切可能的观测结果组成组成”，此时的总体与个体只存在于特定，此时的总体与个体只存在于特定的时空，可以想象，但既的时空，可以想象，但既“看不见，又摸看不见，又摸不着不着”，如多次称量同一物体的质量。，如多次称量同一物体的质量。样本：随机从总体中抽出来用于研究样本：随机从总体中抽出来用于研究总体的那一部分个体（抽样单位）。总体的那一部分个体（抽样

19、单位）。样本拥有的个体数叫样本容量样本拥有的个体数叫样本容量（n）。误差的本义是指随机变量的任意误差的本义是指随机变量的任意一个观察值与其真值的差异，即一个观察值与其真值的差异，即Yi-。但统计学不是把误差当作常量来但统计学不是把误差当作常量来研究（因为实际工作中真值往往是未研究（因为实际工作中真值往往是未知数或无法计算其具体数值），而是知数或无法计算其具体数值），而是把它放在一定条件下作为随机变量来把它放在一定条件下作为随机变量来对待，即利用概率分布理论来描述误对待，即利用概率分布理论来描述误差在任一范围取值的可能性大小，所差在任一范围取值的可能性大小，所以误差实际被表述为以误差实际被表述为

20、“y”。由于误差的取值已不再局限于间由于误差的取值已不再局限于间断性数据，其概率分布研究必须从连断性数据，其概率分布研究必须从连续性变量的实例作为出发点。续性变量的实例作为出发点。本讲稿第十三页，共三十一页第四节第四节 数据整理数据整理 例例1.5 研究广西研究广西“霞烟鸡霞烟鸡”品种的母品种的母鸡所生鸡蛋的个头大小，将所得鸡所生鸡蛋的个头大小，将所得N=623个鸡蛋一个个地称重，再将得到的数据个鸡蛋一个个地称重，再将得到的数据进行分组归类并统计各组次数如右。进行分组归类并统计各组次数如右。利用次数分布表计算出反映果实利用次数分布表计算出反映果实平均大小和彼此悬殊程度（变异度）平均大小和彼此悬

21、殊程度（变异度）的指标，即总体平均数的指标，即总体平均数=43.5g和总和总体标准差体标准差=4.65g，它们也是，它们也是“单个鸡单个鸡蛋重蛋重”这一连续性变量的两个最重要的这一连续性变量的两个最重要的参数，实际决定其概率分布的特征。参数，实际决定其概率分布的特征。本讲稿第十四页，共三十一页第四节第四节 数据整理数据整理讨论：讨论：如果说用公式（如果说用公式（=Yi/N）计算总体真）计算总体真值值 来反映鸡蛋大小的平均水平很自然的话，来反映鸡蛋大小的平均水平很自然的话，用用2=（y ）2/N计算计算就显得非常特就显得非常特别，因为反映类似鸡蛋悬殊程度（简称变异别，因为反映类似鸡蛋悬殊程度（简

22、称变异度，反过来讲就是整齐度）时也有人用所谓度，反过来讲就是整齐度）时也有人用所谓的的“平均误差平均误差”来表示过，其算式（来表示过，其算式（|y|/N）虽然比计算标准差的公式还简单，但实）虽然比计算标准差的公式还简单，但实际研究中已不再有人用它，原因是总体标准际研究中已不再有人用它，原因是总体标准差不仅能从数值上显示差不仅能从数值上显示“变异度变异度”的大小，更的大小，更重要的重要的它还是用作描述误差概率分布的尺度它还是用作描述误差概率分布的尺度。例例1.5：=43.5g=4.65g本讲稿第十五页，共三十一页第四节第四节 数据整理数据整理二、次数分布及特征数二、次数分布及特征数 对样本（或总

23、体）的全部观察值进行分组（归类）并统计各类次数的对样本（或总体）的全部观察值进行分组（归类）并统计各类次数的过程叫做数据整理，其结果通常都以次数分布表（或图）的形式体现出来。过程叫做数据整理，其结果通常都以次数分布表（或图）的形式体现出来。当样本（或总体）的观察值较多时，进行数据整理一方面可以更直观当样本（或总体）的观察值较多时，进行数据整理一方面可以更直观地描述变量取值的分布规律，另一方面便于用加权法计算数据的特征数。地描述变量取值的分布规律，另一方面便于用加权法计算数据的特征数。数据的特征数包括（总体或样本）平均数和（总体或样本）标准差，数据的特征数包括（总体或样本）平均数和（总体或样本）

24、标准差，还可以是标准误，标准差和标准误（平均数的标准差）都是反映数据变异还可以是标准误，标准差和标准误（平均数的标准差）都是反映数据变异性的数量指标，各自蕴藏着误差和抽样误差（如样本平均数和真值的差异）性的数量指标，各自蕴藏着误差和抽样误差（如样本平均数和真值的差异）变异幅度的信息，但它们决非（抽样）误差本身。变异幅度的信息，但它们决非（抽样）误差本身。间断性数据（含质量性状的指标）大多可依据其性状自然归组。间断性数据（含质量性状的指标）大多可依据其性状自然归组。连续性数据则需要人为地进行分组，方法是先根据观察值（也称原始连续性数据则需要人为地进行分组，方法是先根据观察值（也称原始数据）的个数

25、确定大致的组数，然后按数据的极差范围计算组距、调整组数据）的个数确定大致的组数，然后按数据的极差范围计算组距、调整组数，最后依最大的观察值和最小的观察值确定组限。数，最后依最大的观察值和最小的观察值确定组限。本讲稿第十六页，共三十一页第第四四节节 数数据据整整理理 继继续续按按贝贝努努利利概概型型分分析析五五粒粒以以上上种种子子发发芽芽的的统统计计概概率率分分布布，绘绘成成条条形形图图。可可以以看看出出，服服从从二二项项分分布布的的间间断断性性变变量量不不论论 p 是是否否等等于于 q，只只要要 n 足足够够大大，则则所所得得到到的的概概率率分分布布条条形形图图显显示示的的概概率率函函数数值值

26、总总是是以以其其中中间间的的某某一一、两两项项为为最最大大，而而后后往往两两边边依依次次递递减减，当当 n 越越来来越越大大时时，概概率率分分布布图图也也是是愈愈趋趋对对称称，和和上上一一节节连连续续性性变变量量表表现现出出来来的的频频率率（或或次次数数）分分布布规规律律殊殊途途同同归归，呈呈现现出出两两头头低低、中中间间高高的的变变化化模模式式。这这正正说说明明间间断断性性变变量量和和连连续续性性变变量量存存在在着着某某种种必必然然的的联联系系，正正态态分分布布本本身身及及其其发发现现和和重重新新发发现现的的过过程程就就是是这这种种联联系系的的最最好好证证明明。本讲稿第十七页，共三十一页第四

27、节第四节 数据整理数据整理本讲稿第十八页，共三十一页第五节第五节 正态分布正态分布fN(y)N（，2）-3 -2 -+2 +3-3 -2 -1 0 1 2 3y y-本讲稿第十九页，共三十一页第五节第五节 正态分布正态分布=0=1=2 标准差（标准差（=1）相同而平均数各不相相同而平均数各不相同的三种情形同的三种情形fN(y)y本讲稿第二十页，共三十一页第五节第五节 正态分布正态分布=1=1.5=2 平均数（平均数（=0）相同而标准差各不相相同而标准差各不相同的三种情形同的三种情形fN(y)y本讲稿第二十一页，共三十一页第五节第五节 正态分布正态分布一、正态分布的概率函数一、正态分布的概率函数

28、二、正态分布概率函数曲线的特性二、正态分布概率函数曲线的特性 对称性：绝对值相等的正负误差出现的机会（概率）均等。对称性：绝对值相等的正负误差出现的机会（概率）均等。讨论：讨论：这里提到误差取某个这里提到误差取某个“值值”的概率问题，也就是连续性变量取某个的概率问题，也就是连续性变量取某个观察值的概率究竟有没有意义？观察值的概率究竟有没有意义？高等数学论及连续性变量取某一个实数的概率时，都认定是在概率函数高等数学论及连续性变量取某一个实数的概率时，都认定是在概率函数图中用某个点上的垂线求面积，无疑应该等于图中用某个点上的垂线求面积，无疑应该等于“0”。但应用中获得的观察值不能简单地理解为但应用

29、中获得的观察值不能简单地理解为“一个一个”实数，而应当视为在实数，而应当视为在精度有限的条件下，由最后一位有效数字按四舍五入规则决定的虽然小却精度有限的条件下，由最后一位有效数字按四舍五入规则决定的虽然小却确实存在的区间。确实存在的区间。本讲稿第二十二页，共三十一页第五节第五节 正态分布正态分布 钟形：简称钟形：简称“两头低，中间高两头低，中间高”，即，即 从从+和和-两个远端朝接近两个远端朝接近的方的方向递增（并在向递增（并在“拐点拐点”处曲线由处曲线由“凹凹”转转“凸凸”），），表明绝对值小的误差出现的表明绝对值小的误差出现的 概率大，绝对概率大，绝对值大的误差出现的值大的误差出现的 概率

30、小。概率小。非负性：非负性：0，即曲线总在，即曲线总在横坐标轴上方，两尾以横轴为渐进线，和横坐标轴上方，两尾以横轴为渐进线，和横轴围成的总面积就是横轴围成的总面积就是P（）=1。特异性：随机变量的两个参数特异性：随机变量的两个参数和和分别决定分别决定 曲线的位置和形状，表曲线的位置和形状，表明正态分布是一组曲线系统。明正态分布是一组曲线系统。N（，2）fN(y-)-3-2 0 2 3 y-本讲稿第二十三页，共三十一页第五节第五节 正态分布正态分布0.50000.1586 -2 -+2 y -2 -0 2 y-(u)fN(y-)fN(y)-2 -1 0 1 2 u本讲稿第二十四页，共三十一页第五

31、节第五节 正态分布正态分布0.68270.13590.02270.1586 fN(y)（=0 =1）N（0，1）(u)u本讲稿第二十五页，共三十一页第五节第五节 正态分布正态分布三、标准分布的累积函数三、标准分布的累积函数 例例1.6 假定假定 y N（，2），），=30.26，2=5.1 2，试计算：，试计算：P（y21.64）、）、P（y32.98）、）、P（21.64y32.98）和）和 P（y32.98）。）。解：根据附表解：根据附表1查得的查得的（u）即标准分布曲线的左尾面积（概率）即标准分布曲线的左尾面积（概率）P（y21.64）=(21.64)=（21.64 30.26）5.1

32、=（-1.69）=0.04551P（y32.98）=(32.98)=（32.98 30.26）5.1 =（0.53）=0.7019 P（21.64 y 32.98）=(32.98)(21.64)=0.6564 P（y 32.98）=1 (32.98)=1 0.7019=0.2981 由此例可得到正确使用附表由此例可得到正确使用附表1的口诀：小于某数直接查，大于的口诀：小于某数直接查，大于某数某数 1 减它；区间概率大减小，两边临界一反查。减它；区间概率大减小，两边临界一反查。例例1.7 给定中间概率为给定中间概率为0.90或或0.95时，时，u 值应等于多少？值应等于多少？本讲稿第二十六页，共

33、三十一页第五节第五节 正态分布正态分布0.045510.65640.2981yfN(y)21.6432.98本讲稿第二十七页，共三十一页第五节第五节 正态分布正态分布0.900.0250.0250.05 fN(y)（=0 =1）N（0，1）(u)u本讲稿第二十八页，共三十一页第五节第五节 正态分布正态分布 到此为止，本章内容的讲授已顺着变量到此为止，本章内容的讲授已顺着变量连续性变量连续性变量误差的路径完成误差的路径完成了知识结构由概率论（正概率）了知识结构由概率论（正概率）统计学（逆概率）的转变，其内容也统计学（逆概率）的转变，其内容也由由“描述变量的概率分布描述变量的概率分布”“推断误差变

34、量（任一区间）取值的概率推断误差变量（任一区间）取值的概率”。在学习下一章内容之前，请一定先记牢三个要点：在学习下一章内容之前，请一定先记牢三个要点：将前三节树立的研究随机变量的思路深化到研究连续性变量的层次，且不论用将前三节树立的研究随机变量的思路深化到研究连续性变量的层次，且不论用 y(教材教材)还还是用是用 x(电算器电算器)表示单个变量，都不可看成未知常数；表示单个变量，都不可看成未知常数；描述连续性变量的概率分布的侧重点与间断性变量的方式不一样，后者描述连续性变量的概率分布的侧重点与间断性变量的方式不一样，后者 可用贝努利概型按牛顿二项展开式的第可用贝努利概型按牛顿二项展开式的第 y

35、+1 项计算其任一取值的概率，项计算其任一取值的概率，而前者实际需要了解的是其取值在某些连续的实数区间的概率；而前者实际需要了解的是其取值在某些连续的实数区间的概率；参数参数和和已分别用作总体平均数和总体标准差的通用符号，也可以称之为变量的平均数和变量的标准差，已分别用作总体平均数和总体标准差的通用符号，也可以称之为变量的平均数和变量的标准差，还可称之为分布的平均数和分布的标准差。用正态分布描述误差的概率分布时可以不知道还可称之为分布的平均数和分布的标准差。用正态分布描述误差的概率分布时可以不知道的数值，但必的数值，但必 须知道须知道的准确值，因为的准确值，因为 S 本身不能用作描述误差概率分

36、布的尺度。本身不能用作描述误差概率分布的尺度。本讲稿第二十九页，共三十一页第一章内容小结第一章内容小结由研究随机现象引出随机事件、随机试验及概率的三种定义，其中以概率的统计定义最为由研究随机现象引出随机事件、随机试验及概率的三种定义，其中以概率的统计定义最为重要；重要；借助于完全事件系中各互斥事件分割概率借助于完全事件系中各互斥事件分割概率“1”的非数学语言引出概率分布，包括古典概型和的非数学语言引出概率分布，包括古典概型和介绍事件关系时列举的介绍事件关系时列举的“统计概型统计概型”；通过概率运算的加法法则和乘法法则的讲授，同时借助独立性假定引出间断性变量最重要的概率通过概率运算的加法法则和乘

37、法法则的讲授，同时借助独立性假定引出间断性变量最重要的概率分布类型分布类型贝努利概型；贝努利概型；一组数据就相当与研究某一随机变量时从总体中抽得的部分个体组成的样本观察值，叫试验数据，一组数据就相当与研究某一随机变量时从总体中抽得的部分个体组成的样本观察值，叫试验数据，也叫原始数据；也叫原始数据；连续性数据的整理结果反映了连续性变量取值的概率分布特征，即连续性数据的整理结果反映了连续性变量取值的概率分布特征，即“两头两头 低，中间高低，中间高”，进一步的研究发现，这是一个带有普遍性的规律，叫正态分布。其中的参数，进一步的研究发现，这是一个带有普遍性的规律，叫正态分布。其中的参数和和完完整地描述

38、了这类变量的数字特征；整地描述了这类变量的数字特征；连续性变量的正态分布规律可以通过两个途径获得，即二项分布求极限和误差的概率分布研究。连续性变量的正态分布规律可以通过两个途径获得，即二项分布求极限和误差的概率分布研究。本讲稿第三十页，共三十一页摘要幻灯片摘要幻灯片第一章第一章 概率及概率分布概率及概率分布 概率概率 概率分布概率分布 概率分布图概率分布图 随机现象随机现象 随机事件随机事件 随机试随机试验验 基本事件基本事件 复合事件复合事件 完全事件系完全事件系 必然事件必然事件 互斥事件互斥事件 独立事件独立事件 和事件和事件 积事件积事件 不可能事件不可能事件 小概率小概率事件事件 古典概型古典概型 贝努利概型贝努利概型 条件概率条件概率 独立试验序列独立试验序列 二项分布二项分布 随机变量随机变量 观察值（原始数据）观察值（原始数据）间断性间断性变量变量 概率函数概率函数 累积概率函数累积概率函数 连续性变量连续性变量 作为本课程与高等数学相联系的过渡单元，本章内容可归作为本课程与高等数学相联系的过渡单元，本章内容可归纳为：纳为：三种概率定义、三种概率分布类型、两种随机变量三种概率定义、三种概率分布类型、两种随机变量 本讲稿第三十一页，共三十一页