张量分解学习.pptx

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1、基本概念及记号1第1页/共47页张量（tensor）多维数组基本概念及记号2一阶张量一阶张量（向量）（向量）二阶张量二阶张量（矩阵）（矩阵）三阶张量三阶张量第2页/共47页张量空间由若干个向量空间中的基底的外积张成的空间基本概念及记号3向量的外积和内积向量的外积和内积第3页/共47页阶（order/ways/modes/rank）张成所属张量空间的向量空间的个数一阶张量（向量）：二阶张量（矩阵）：三阶或更高阶张量：零阶张量（数量）：基本概念及记号4三阶张量：三阶张量：第4页/共47页纤维（fiber）基本概念及记号5mode-1 mode-1（列）（列）纤维：纤维：mode-2 mode-2（

2、行）（行）纤维：纤维：mode-3 mode-3（管）（管）纤维：纤维：第5页/共47页切片（slice）基本概念及记号6水平切片：水平切片：侧面切片：侧面切片：正面切片：正面切片：第6页/共47页内积和范数设内积：（Frobenius）范数：基本概念及记号7第7页/共47页秩一张量/可合张量N阶张量 是一个秩一张量，如果它能被写成N个向量的外积，即基本概念及记号8三阶秩一张量：三阶秩一张量：第8页/共47页（超）对称和（超）对角立方张量：各个mode的长度相等对称：一个立方张量是对称的，如果其元素在下标的任意排列下是常数。如一个三阶立方张量是超对称的，如果对角：仅当 时，基本概念及记号9张量

3、的（超）对角线张量的（超）对角线第9页/共47页展开（matricization/unfolding/flattening）将N阶张量 沿mode-n展开成一个矩阵基本概念及记号10三阶张量的三阶张量的mode-1mode-1展开展开第10页/共47页n-mode（矩阵）乘积一个张量 和一个矩阵 的n-mode乘积 ，其元素定义为这个定义可以写成沿mode-n展开的形式性质：基本概念及记号11第11页/共47页n-mode（向量）乘积一个张量 和一个向量 的n-mode乘积 ，其元素定义为性质：基本概念及记号12第12页/共47页矩阵的Kronecker乘积 ，则性质：基本概念及记号13第13

4、页/共47页矩阵的Kronecker乘积矩阵的Kronecker积还和张量和矩阵的n-mode乘积有如下关系基本概念及记号14第14页/共47页矩阵的Khatri-Rao乘积 ，则性质：基本概念及记号15第15页/共47页矩阵的Hadamard乘积 ，则性质：基本概念及记号16第16页/共47页CP分解17第17页/共47页CP分解的其他名字Polyadic Form of a Tensor,Hitchcock,1927PARAFAC(Parallel Factors),Harshman,1970CANDECOMP/CAND(Canonical decomposition),Carroll&C

5、hang,1970Topographic Components Model,Mcks,1988CP(CANDECOMP/PARAFAC),Kiers,2000CP分解18第18页/共47页CP分解的张量形式将一个张量表示成有限个秩一张量之和，比如一个三阶张量可以分解为CP分解19三阶张量的三阶张量的CPCP分解分解第19页/共47页CP分解的矩阵形式因子矩阵：秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式CP分解20第20页/共47页CP分解的切片形式三阶张量的CP分解有时按（正面）切片写成如下形式：其中CP分解21三阶张量三阶张量CPCP分解的正面切片

6、形式分解的正面切片形式第21页/共47页带权CP分解为了计算方便，通常假设因子矩阵的列是单位长度的，从而需要引入一个权重向量 ，使CP分解变为对于高阶张量，有其展开形式为CP分解22第22页/共47页张量的秩和秩分解张量 的秩定义为用秩一张量之和来精确表示 所需要的秩一张量的最少个数，记为秩分解：可见秩分解是一个特殊的CP分解，对应于矩阵的SVD目前还没有方法能够直接求解一个任意给定张量的秩，这被证明是一个NP-hard问题 CP分解23第23页/共47页张量的秩不同于矩阵的秩，高阶张量的秩在实数域和复数域上不一定相同。例如一个三阶张量在实数域内进行秩分解得到的因子矩阵为而在复数域内进行分解得

7、到的因子矩阵为CP分解24第24页/共47页张量的低秩近似相对于矩阵的SVD来说，高阶张量的秩分解唯一性不需要正交性条件保证，只需满足：这里 表示矩阵 的k-秩：任意k列都线性无关的最大的kCP分解25第25页/共47页张量的低秩近似然而在低秩近似方面，高阶张量的性质比矩阵SVD差Kolda给出了一个例子，一个立方张量的最佳秩-1近似并不包括在其最佳秩-2近似中，这说明张量的秩-k近似无法渐进地得到下面的例子说明，张量的“最佳”秩-k近似甚至不一定存在CP分解26第26页/共47页张量的低秩近似退化：如果一个张量能够被一系列的低秩张量任意逼近边缘秩（border rank）：能够任意逼近一个张

8、量的最少的成分个数CP分解27秩秩2 2秩秩3 3一个秩为一个秩为2 2的张量序列收敛到一个秩的张量序列收敛到一个秩3 3张量张量第27页/共47页CP分解的计算分解成多少个秩一张量（成分）之和？通常的做法是从1开始尝试，知道碰到一个“好”的结果为止如果有较强的应用背景和先验信息，可以预先指定对于给定的成分数目，怎么求解CP分解？目前仍然没有一个完美的解决方案从效果来看，交替最小二乘（Alternating Least Square）是一类比较有效的算法CP分解28第28页/共47页CP分解的计算以一个三阶张量 为例，假定成分个数 已知，目标为作为ALS的一个子问题，固定 和 ，求解得 再通过

9、归一化分别求出 和CP分解29第29页/共47页CP分解的计算ALS算法并不能保证收敛到一个极小点，甚至不一定能收敛到稳定点，它只能找到一个目标函数不再下降的点算法的初始化可以是随机的，也可以将因子矩阵初始化为对应展开的奇异向量，如将 初始化为 的前 个左奇异向量CP分解30第30页/共47页CP分解的应用计量心理学语音分析化学计量学独立成分分析神经科学数据挖掘高维算子近似随即偏微分方程CP分解31第31页/共47页Tucker分解32第32页/共47页Tucker分解的其他名字Three-mode factor analysis(3MFA/Tucker3),Tucker,1966Three-

10、mode principal component analysis(3MPCA),Kroonenberg&De Leeuw,1980N-mode principal components analysis,Kapteyn et al.,1986Higher-order SVD(HOSVD),De Lathauwer et al.,2000N-mode SVD,Vasilescu and Terzopoulos,2002Tucker分解33第33页/共47页Tucker分解Tucker分解是一种高阶的主成分分析，它将一个张量表示成一个核心（core）张量沿每一个mode乘上一个矩阵。对于三阶张量

11、 来说，其Tucker分解为因子矩阵 通常是正交的，可以视为沿相应mode的主成分Tucker分解34第34页/共47页Tucker分解容易看出，CP分解是Tucker分解的一种特殊形式：如果核心张量 是对角的，且 ，则Tucker分解就退化成了CP分解Tucker分解35三阶张量的三阶张量的TuckerTucker分解分解第35页/共47页Tucker分解的矩阵形式三阶Tucker分解的展开形式为Tucker分解可以推广到高阶张量Tucker分解36第36页/共47页Tucker2和Tucker1对于三阶张量固定一个因子矩阵为单位阵，就得到Tucker分解一个重要的特例：Tucker2。例如

12、固定 ，则进一步，固定两个因子矩阵，就得到了Tucker1，例如令第二、三个因子矩阵为单位阵，则Tucker分解就退化成了普通的PCATucker分解37第37页/共47页张量的n-秩近似一个N阶张量 的n-秩定义为若设 ，则 叫做一个秩-张量如果 ，则很容易得到 的一个精确秩-Tucker 分解；然而如果至少有一个 使得 ，则通过Tucker分解得到的就是 的一个秩-近似Tucker分解38第38页/共47页张量的n-秩近似Tucker分解39截断的截断的TuckerTucker分解：秩分解：秩-近似近似第39页/共47页张量的n-秩近似对于固定的n-秩，Tucker分解的唯一性不能保证，所

13、以需要添加其他的约束通常要求核心张量是“简单”的，如各个mode的主成分之间尽量不发生相互作用（稀疏性），或者其他的“简单性”约束Tucker分解40第40页/共47页Tucker分解的计算HOSVD：利用SVD对每个mode做一次Tucker1分解（截断或者不截断）HOSVD不能保证得到一个较好的近似，但HOSVD的结果可以作为一个其他迭代算法（如HOOI）的很好的初始解Tucker分解41第41页/共47页Tucker分解的计算为了导出HOOI迭代算法，先考虑目标函数从而 应该满足Tucker分解42第42页/共47页Tucker分解的计算目标函数的平方变为Tucker分解43第43页/共47页Tucker分解的计算所以问题可以进行如下转化利用交替求解的思想，问题变为解如下子问题这个问题可以通过令 为 的前 个左奇异值向量来解决Tucker分解44第44页/共47页Tucker分解的应用化学分析计量心理学信号处理机器视觉（面部、动作）数据压缩纹理生成数据挖掘环境和网络建模Tucker分解45第45页/共47页欢迎大家提出宝贵建议46第46页/共47页47谢谢您的观看！第47页/共47页