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1、概率统计课件讲义本讲稿第一页，共三十七页一、随机现象 确定性现象与随机现象 在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象 一类是在一定条件下必然出现的现象 称为确定性现象 另一类则是我们事先无法准确预知其结果的现象 称为随机现象 投掷一枚硬币 我们不能事先预知将出现正面还是反面 观察与思考 下述试验的性质有什么不同？本讲稿第二页，共三十七页二、随机现象的统计规律性 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出来的量的规律性称为随机现象的统计规律性 由于随机现象的结果事先不能预知 初看起来 随机现象毫无规律可言 然而人们发现同一随机现象在大量重复出现时 其每种可能的结果出现的频率却具有稳定性 从而表明随

2、机现象也有其固有的量的规律性 本讲稿第三页，共三十七页二、随机现象的统计规律性 随机试验 为了对随机现象的统计规律性进行研究 人们往往要对随机现象进行观察 我们把对随机现象的观察称为随机试验 简称为试验 一般地 一个随机试验要求满足下列特点 (1)可重复性 试验原则上可在相同条件下重复进行 (2)可观察性 试验结果是可观察的 所有可能的结果是明确的 (3)随机性 每次试验将要出现的结果是不确定的 事先无法准确预知 本讲稿第四页，共三十七页二、随机现象的统计规律性 随机试验 为了对随机现象的统计规律性进行研究 人们往往要对随机现象进行观察 我们把对随机现象的观察称为随机试验 简称为试验 随机试验

3、举例 某射手对固定目标进行射击 观察其是否射中 观察某地区夏季暴雨次数 观察某电话交换台每日收到的呼叫次数 本讲稿第五页，共三十七页二、随机现象的统计规律性 历史上投掷硬币试验的记录 投掷一枚均匀硬币时 事先无法准确预知将出现正面还是反面 但是 当人们重复投掷上千次时 却发现出现正面和反面的次数大致相等 即各自占总试验次数的比例(即频率)大致等于05 而且随着试验次数的增加 这一比例会更加稳定地靠近05 本讲稿第六页，共三十七页三、样本空间 样本空间 我们把随机试验的每一个可能结果称为一个样本点 而把所有样本点的全体称为样本空间 样本空间通常用表示 中的点 即样本点 用表示 例11 在投掷一枚

4、硬币观察其出现正面还是反面的试验中 有两个样本点 正面、反面 样本空间为 正面 反面 记1“正面”2“反面”则样本空间可表示为 1 2 样本空间举例 本讲稿第七页，共三十七页三、样本空间 样本空间 我们把随机试验的每一个可能结果称为一个样本点 而把所有样本点的全体称为样本空间 样本空间通常用表示 中的点 即样本点 用表示 样本空间举例 例12 在投掷一枚骰子 观察其出现的点数的试验中 有6个样本点 1点 2点 6点 样本空间为 1点 2点 6点 或干脆将样本点分别简记为1 2 6 相应地 样本空间记为 1 2 6 本讲稿第八页，共三十七页三、样本空间 样本空间 我们把随机试验的每一个可能结果称

5、为一个样本点 而把所有样本点的全体称为样本空间 样本空间通常用表示 中的点 即样本点 用表示 样本空间举例 例13 观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数 其样本点有可数无穷多个 i次 i0 1 2 样本空间为 0次 1次 2次 或简记为0 1 2 本讲稿第九页，共三十七页三、样本空间 样本空间 我们把随机试验的每一个可能结果称为一个样本点 而把所有样本点的全体称为样本空间 样本空间通常用表示 中的点 即样本点 用表示 样本空间举例 例14 观察一个新灯泡的寿命 其样本点也有无穷多个(且不可数!)t小时 0t 样本空间为 t小时|0t 或简记为 t|0t0)本讲稿第十页，共三十七页举例 四、随

6、机事件 在随机试验中 人们除了关心试验的结果本身外 往往还关心试验的结果是否具备某一指定的可观察的特征 概率论中将这一可观察的特征称为一个事件 如果一个事件在随机试验中可能发生也可能不发生 则这样的事件称为随机事件 随机事件 投掷一枚骰子“点数为偶数”就是一个事件 同样“点数小于7”也是一个事件 本讲稿第十一页，共三十七页举例 四、随机事件 如果一个事件在随机试验中可能发生也可能不发生 则这样的事件称为随机事件 随机事件 投掷一枚骰子“点数小于7”是必然事件“点数不小于7”是不可能事件必然事件与不可能事件 如果一个事件在随机试验中必然发生 则这样的事件称为必然事件 如果一个事件在随机试验中一定

7、不发生 则这样的事件称为不可能事件 本讲稿第十二页，共三十七页说明 虽然必然事件与不可能事件是完全对立的 但它们有一个共同的特点 那就是在试验之前我们能够准确预知其是否发生 因而均不是随机事件 通常称之为确定性事件 概率论研究的是随机事件 但为方便起见常常将必然事件和不可能事件视为随机事件的极端情形 并将随机事件简称为事件 通常记作A B 四、随机事件 如果一个事件在随机试验中可能发生也可能不发生 则这样的事件称为随机事件 随机事件 本讲稿第十三页，共三十七页 例15 在投掷一枚骰子的试验中 分别记 “点数是6”为A “点数小于5”为B “点数小于5的偶数”为C 则A B C均为事件 其中事件

8、A为基本事件 事件B和C均不是基本事件 它们分别可以由一些基本事件复合而成 比如事件C可由“点数为2”和“点数为4”两个基本事件复合而成 本讲稿第十四页，共三十七页提示五、事件的集合表示 样本空间是样本点的全体 因而样本空间实际上是所有样本点构成的集合 相应的每一样本点是该集合中的元素 一个事件是由具有该事件所要求的特征的那些可能结果所构成 所以一个事件对应于中具有相应特征的样本点(元素)构成的集合 它是的一个子集 任何一个事件 可以用样本空间的某一子集来表示 通常用符号A B 来记 某事件发生 就是属于该集合的某一样本点在试验中出现 事件的集合表示 本讲稿第十五页，共三十七页五、事件的集合表

9、示 例16 在例1 5中 样本空间为1 2 3 4 5 6 事件B和C则可分别表示为 B1 2 3 4 C2 4 任何一个事件 可以用样本空间的某一子集来表示 通常用符号A B 来记 某事件发生 就是属于该集合的某一样本点在试验中出现 事件的集合表示 本讲稿第十六页，共三十七页五、事件的集合表示 说明 由于样本空间包含所有可能结果 试验结果必是其中之一 所以样本空间作为一个事件是必然发生的 即为必然事件 今后用表示必然事件 空集作为的子集不含有任何样本点 不管试验的结果是什么 作为一个事件总不会发生 因而是不可能事件 今后用来表示不可能事件 任何一个事件 可以用样本空间的某一子集来表示 通常用

10、符号A B 来记 某事件发生 就是属于该集合的某一样本点在试验中出现 事件的集合表示 本讲稿第十七页，共三十七页说明 六、事件间的关系与运算 1 事件的包含 如果事件A发生必然导致B发生 则称事件B包含事件A 或称事件A包含于事件B 或称A是B的子事件 记作 BA或AB AB属于A的每一个样本点一定也属于B 对任意事件A 易知A 本讲稿第十八页，共三十七页说明 六、事件间的关系与运算 2 事件的相等 如果事件A包含事件B 事件B也包含事件A 则称事件A与B相等(或等价)记作AB 相等的两个事件总是同时发生或同时不发生 AB A与B所含的样本点完全相同 1 事件的包含 如果事件A发生必然导致B发

11、生 则称事件B包含事件A 或称事件A包含于事件B 或称A是B的子事件 记作 BA或AB 本讲稿第十九页，共三十七页3 事件的并(或和)“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事件A与B的并(或和)记作AB或AB六、事件间的关系与运算 说明 事件AB是由A和B的样本点共同构成的事件 例17 在投掷一枚骰子的试验中 记 A“点数为奇数”B“点数小于5”则 AB1 2 3 4 5 本讲稿第二十页，共三十七页3 事件的并(或和)“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事件A与B的并(或和)记作AB或AB六、事件间的关系与运算 说明 4 事件的交(或积)“事件A和B都发生”这一事件称为事件A与B的交(或

12、积)记作AB(或AB)AB实际上是由A和B的公共样本点所构成 本讲稿第二十一页，共三十七页3 事件的并(或和)“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事件A与B的并(或和)记作AB或AB六、事件间的关系与运算 说明 4 事件的交(或积)“事件A和B都发生”这一事件称为事件A与B的交(或积)记作AB(或AB)两个事件的并与交可以推广到有限个或可数个事件的并与交 本讲稿第二十二页，共三十七页举例 六、事件间的关系与运算 在投掷一枚骰子的试验中 记 A“点数为奇数”B“点数小于5”则 AB1 3 3 事件的并(或和)“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事件A与B的并(或和)记作AB或AB4 事件

13、的交(或积)“事件A和B都发生”这一事件称为事件A与B的交(或积)记作AB(或AB)本讲稿第二十三页，共三十七页六、事件间的关系与运算 5 事件的差 “事件A发生而B不发生”这一事件称为事件A与B的差 记作AB 举例 在投掷一枚骰子的试验中 记 A“点数为奇数”B“点数小于5”则 AB5 本讲稿第二十四页，共三十七页六、事件间的关系与运算 5 事件的差 “事件A发生而B不发生”这一事件称为事件A与B的差 记作AB 6 互不相容事件 若事件A与B不可能同时发生 也就是说 AB是不可能事件 即AB 则称事件A与B是互不相容事件 本讲稿第二十五页，共三十七页六、事件间的关系与运算 5 事件的差 “事

14、件A发生而B不发生”这一事件称为事件A与B的差 记作AB 6 互不相容事件 若事件A与B不可能同时发生 也就是说 AB是不可能事件 即AB 则称事件A与B是互不相容事件 7 对立事件 “事件A不发生”这一事件称为事件A的对立事件 记作A 本讲稿第二十六页，共三十七页六、事件间的关系与运算 5 事件的差 “事件A发生而B不发生”这一事件称为事件A与B的差 记作AB 举例 6 互不相容事件 若事件A与B不可能同时发生 也就是说 AB是不可能事件 即AB 则称事件A与B是互不相容事件 在投掷一枚骰子的试验中“点数小于3”和“点数大于4”这两个事件是互不相容事件 7 对立事件 “事件A不发生”这一事件

15、称为事件A的对立事件 记作A 本讲稿第二十七页，共三十七页说明 六、事件间的关系与运算 5 事件的差 “事件A发生而B不发生”这一事件称为事件A与B的差 记作AB 6 互不相容事件 若事件A与B不可能同时发生 也就是说 AB是不可能事件 即AB 则称事件A与B是互不相容事件 7 对立事件 “事件A不发生”这一事件称为事件A的对立事件 记作A 在一次试验中 如果A发生 则A一定不发生 如果A不发生 则A一定发生 因而有AA AA 本讲稿第二十八页，共三十七页举例 在投掷一枚骰子的试验中记A为事件“点数为偶数”则A 为事件“点数为奇数”六、事件间的关系与运算 5 事件的差 “事件A发生而B不发生”

16、这一事件称为事件A与B的差 记作AB 6 互不相容事件 若事件A与B不可能同时发生 也就是说 AB是不可能事件 即AB 则称事件A与B是互不相容事件 7 对立事件 “事件A不发生”这一事件称为事件A的对立事件 记作A 本讲稿第二十九页，共三十七页六、事件间的关系与运算 8 有限个或可数个事件的并与交 设有n个事件A1 A2 An 则称“A1 A2 An至少有一个发生”这一事件为事件A1 A2 An的并 记作称“A1 A2 An都发生”这一事件为事件A1 A2 An的交 记作本讲稿第三十页，共三十七页六、事件间的关系与运算 8 有限个或可数个事件的并与交 本讲稿第三十一页，共三十七页六、事件间的

17、关系与运算 9 完备事件组 举例 显然 A与A构成一个完备事件组 设A1 A2 An 是有限或可数个事件 如果其满足 (1)AiAj ij i j1 2 则称A1 A2 An 是一个完备事件组 本讲稿第三十二页，共三十七页 例18 考察某一位同学在一次数学考试中的成绩 分别用A B C D P F表示下列各事件(括号中表示成绩所处的范围)A优秀(90 100)D及格(60 70)B良好(80 90)P通过(60 100)C中等(70 80)F未通过(0 60)则 A B C D F是两两不相容事件 P与F是互为对立的事件 即有PF A B C D均为P的子事件 且有PABCD 本讲稿第三十三页

18、，共三十七页 例19 甲、乙、丙三人各射一次靶 记A“甲中靶”B“乙中靶”C“丙中靶”则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件 本讲稿第三十四页，共三十七页 例19 甲、乙、丙三人各射一次靶 记A“甲中靶”B“乙中靶”C“丙中靶”则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件 本讲稿第三十五页，共三十七页七、随机事件的运算律 1 关于求和运算 (1)ABBA(交换律)(2)(AB)CA(BC)ABC(结合律)2 关于求交运算 (1)ABBA(交换律)(2)(AB)CA(BC)ABC(结合律)3 关于求和与求交运算的混合 (1)A(BC)(AB)(AC)(第一分配律)(2)A(BC)(AB)(AC)(第二分配律)本讲稿第三十六页，共三十七页七、随机事件的运算律 4 关于求对立事件的运算 5 关于和及交事件的对立事件 本讲稿第三十七页，共三十七页