概率论与数理统计随机过程.pptx

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1、1 随 机 过 程第1页/共128页2关键词：随机过程 状态和状态空间 样本函数 有限维分布函数 均值函数 方差函数 自相关函数自协方差函数 互相关函数互协方差函数 正态过程 独立增量过程 泊松过程 维纳过程第十章第十章 随机过程及其统计描述随机过程及其统计描述第2页/共128页31 1 随机过程的概念随机过程的概念 随机过程随机过程被认为是概率论的“动力学”部分，即它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。给定一随机试验E，其样本空间S=e，将样本空间中的每一元作如下对应，便得到一系列结果：第3页/共128页4 一维、二维或一般的多维随机变量的研

2、究是概率论的研究内容，而随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。第4页/共128页5 例1：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S=H,T，现定义：1234第5页/共128页6 第6页/共128页7 第7页/共128页8 第8页/共128页 例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：第9页/共128页10随机过程的分类：随机过程的分类：随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为四类，参数集T可分为离散集和连续集两种情况，任一时刻的状态分别为离散型随机变量和连续型随机变量两种：1.连续参数连续型的随机过程，如例2，例32.连续参数离

3、散型的随机过程，如例1，例43.离散参数离散型的随机过程，如例54.离散参数连续型的随机过程，第10页/共128页112 2 随机过程的统计描述随机过程的统计描述第11页/共128页12 例1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：第12页/共128页13 例1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：1234第13页/共128页14 第14页/共128页15(二二)随机过程的数字特征随机过程的数字特征第15页/共128页16第16页/共128页17 第17页/共128页18 第18页/共128页19 续续第19页/共128页20第20页/共128页21(三三)二维随机过程的分布函数和数字特征二维随

4、机过程的分布函数和数字特征第21页/共128页22第22页/共128页23 第23页/共128页243 3 泊松过程及维纳过程泊松过程及维纳过程第24页/共128页25 独立增量过程的性质：独立增量过程的性质：第25页/共128页26第26页/共128页27(一一)泊松分布泊松分布等间隔的不等间隔的第27页/共128页28第28页/共128页29续续第29页/共128页30证毕证毕第30页/共128页31第31页/共128页32第32页/共128页33第33页/共128页34第34页/共128页35第35页/共128页36 定理一：强度为的泊松流(泊松过程)的点间间距是相互独立的随 机变量，且

5、服从同一指数分布 定理二：如果任意相继出现的两个质点的点间间距是相互独立，且服从同一个指数分布：这两个定理刻画出了泊松过程的特征，定理二告诉我们，要确定一个计数过程是不是泊松过程，只要用统计方法检验点间间距是否独立，且服从同一个指数分布。则质点流构成强度为的泊松过程第36页/共128页37(二二)维纳过程维纳过程维纳过程维纳过程是布朗运动的数学模型 以W(t)表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t0的位移的横坐标，且设W(0)=0。由于微粒的运动是受到大量随机的、相互独立的分子碰撞的结果，于是:(1)粒子在时段(s,t上的位移可看作是许多微小位移的 和，根据中心极限定理，假设位移W(t)-W(s

6、)服从正 态分布是合理的。(2)由于粒子的运动完全由液体分子不规则碰撞而引起的，这样，在不相重叠的时间间隔内，碰撞的次数、大小和方向可假设相互独立，即W(t)具有独立增量，同时W(t)的增量具有平稳性。第37页/共128页38第38页/共128页39第39页/共128页40第40页/共128页41关键词：无后效性(马尔可夫性)齐次马尔可夫链 n步转移概率 n步转移概率矩阵 C-K方程 马氏链的有限维分布律 遍历性 极限分布(平稳分布)第十一章第十一章 马尔可夫链马尔可夫链第41页/共128页1 1 马尔可夫过程及其概率分布马尔可夫过程及其概率分布马尔可夫性(无后效性)过程(或系统)在时刻t0所

7、处的状态为已知的条件下，过程在时刻tt0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前所处的状态无关。通俗地说，通俗地说，就是在已经知道过程“现在”的条件下，其“将来”不依赖于“过去”。第42页/共128页43 证毕！证毕！第43页/共128页44由上例知，泊松过程泊松过程是时间连续状态离散的马氏过程，维纳过程维纳过程是时间状态都连续的马氏过程。时间和状态都离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链马尔可夫链，简称马氏链，记为：Xn=X(n),n=0,1,2,参数集T=0,1,2,，记链的状态空间为：第44页/共128页45 第45页/共128页46的状态XmXm+1的状态第46页/共128页47 例2：(0-

8、1传输系统)如图所示，只传输数字0和1的串联系统中，设每一级的传真率为p，误码率为q=1-p。并设一个单位时间传输一级，X0是第一级的输入，Xn是第n级的输出(n1)，那么Xn,n=0,1,2是一随机过程，状态空间I=0,1，而且当Xn=i为已知时，Xn+1所处的状态的概率分布只与Xn=i有关，而与时刻n以前所处的状态无关，所以它是一个马氏链，而且还是齐次的，它的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为：n21X0X1X2XnXn-1第47页/共128页48 例3：一维随机游动一维随机游动。设一醉汉Q(或看作一随机游动的 质点)在直线上的点集I=1,2,3,4,5作随机游动，且仅在1秒、2秒等时刻

9、发生游动，游动的概率规则 是：如果Q现在位于点i(1i0)表示经n次交换 后甲盒中的红球数.(1)求此马氏链的初始分布;(2)求一步转移概率矩阵;(3)计算 ;(4)判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。第73页/共128页74第74页/共128页75第75页/共128页76关键词：(宽)平稳过程 时间均值 时间相关函数 各态历经性 谱密度第十二章第十二章 平稳随机过程平稳随机过程第76页/共128页771 1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念第77页/共128页78第78页/共128页79第79页/共128页80第80页/共128页81 第81页/共128页82 第82页/共128

10、页83 第83页/共128页84 第84页/共128页85续续第85页/共128页86第86页/共128页872 2 各态历经性各态历经性 如何根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数呢？按照数学期望和自相关函数的定义，需要时，一个平稳过程重复进行大量观察，获得一族样本函数用统计实验方法，均值和自相关函数近似地为：第87页/共128页88 平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，根据这一特点，能否通过在一个很长时间内观察得到的一个样本曲线来估计平稳过程的数字特征呢？本节给出的各态历经定理证实，只要满足某些条件，那么均值和自相关函数实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来代替。第88页

11、/共128页89第89页/共128页90第90页/共128页91第91页/共128页92 第92页/共128页93第93页/共128页94第94页/共128页95 第95页/共128页96 第96页/共128页97第97页/共128页98第98页/共128页99续续第99页/共128页100证毕！证毕！第100页/共128页101第101页/共128页102 见下页第102页/共128页103第103页/共128页104 各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证：一个平稳过程X(t)，若0t+，只要它满足各态历经性条件，便可以根据“以概率1成立”的含义，从一次试验所得到的样本函数x(

12、t)来确定该过程的均值和自相关函数。第104页/共128页1053 3 相关函数的性质相关函数的性质 见下页第105页/共128页106 见下页第106页/共128页107第107页/共128页108证毕证毕柯西施瓦兹不等式第108页/共128页109 应用：应用：第109页/共128页110 第110页/共128页4 4 平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度(一一)平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度第111页/共128页第112页/共128页113第113页/共128页114第114页/共128页115第115页/共128页116第116页/共128页117(二二)谱密度的性质谱密度的性质第117页/共128页118第118页/共128页1 12 23 34 45 56 67 7表 12.1第119页/共128页120 第120页/共128页121 第121页/共128页122第122页/共128页123 第123页/共128页124第124页/共128页125(三三)互谱密度及其性质互谱密度及其性质第125页/共128页126第126页/共128页2023/3/25课件结束!第127页/共128页128感谢您的观看！第128页/共128页