自动控制原理课件1.pptx

《自动控制原理课件1.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制原理课件1.pptx（135页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、本章主要内容本章在阐述了离散控制系统相关基本概念后，学习了采样过程及采样定理、保持器的作用和数学模型、z变换的定义和求法、基本定理和z反变换的求法、线性差分方程的建立及其解法、脉冲传递函数的概念及求取方法等。本章重点学习本章，需要掌握离散系统的相关基本概念，特别是采样过程和采样定理、z变换和z反变换及其性质、差分方程和脉冲传递函数等概念。在此基础上了解利用脉冲传递函数求解离散系统的暂态响应，离散系统稳定性和稳态性能计算等内容。第1页/共135页概 述与连续系统显著不同的特点是，在离散系统中的一处或数处的信号不是连续的模拟信号，而是在时间上离散的脉冲序列，称为离散信号或采样信号。相应的离散系统也

2、称为采样系统。典型的采样系统如图8-0-1所示。第2页/共135页图8-0-1 采样系统第3页/共135页在上述系统中,采样误差信号是通过采样开关对连续误差信号采样后得到的,如图8-0-2.图8-0-2 模拟信号的采样第4页/共135页图8-0-2中，T称为采样周期，而 及 分别称为采样频率和采样角频率。由图可见，若采样频率太低，包含在输入信号中的大量信息通过采样就会损失掉。在采样系统中，当离散信号为数字量时，称为数字控制系统，最常见的时计算机控制系统。图8-0-3为一典型计算机控制系统的框图。第5页/共135页图8-0-3 计算机控制系统框图第6页/共135页在计算机控制系统中，通常时数字模

3、拟混合结构。因此需要设置数字量和模拟量相互转换的环节。图8-0-3中，模拟信号e(t)经模拟数字转换器（A/D转换器）转换成离散信号e*(t)，并把其值由十进制数转换成二进制数（编码），输入计算机进行运算处理；计算机输出二进制的控制脉冲序列u*c(t)经过数字模拟转换器（D/A转换器）转换成模拟信号uc(t)去控制对象。第7页/共135页8-1 采样过程及采样定理采样过程采样过程：按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列的过程称之为采样过程。用来实现采样过程的装置称为采样器或采样开关。采样器可以用一个按一定周期闭合的开关来表示，采样周期为T，每次闭合时间为。通常采

4、样持续时间远小于采样周期T，也远小于系统中连续部分的时间常数。因此，在分析采样控制系统时，可以近似认为0。第8页/共135页理想的采样器等效于一个理想的单位脉冲序列发生器，能产生单位脉冲序列T(t)，如图8-1-1所示。图8-1-1 单位脉冲序列第9页/共135页单位脉冲序列T(t)的数学表达式为（8-1-1）式中 T采样周期；n整数。脉冲调制器（采样器）的输出信号e*(t)可表示为（8-1-2）第10页/共135页在控制系统中，通常当t0时，e(t)0。因此上式可改写为（8-1-3）上式的拉普拉斯变换式为（8-1-4）综上所述，采样过程相当于一个脉冲调制过程，采样开关的输出信号e*(t)可表

5、示为两个函数的乘积，其中载波信号T(t)决定采样时间，而采样信号的幅值则由输入信号e(nT)决定，如图8-1-2所示。第11页/共135页图8-1-2 采样信号的调制过程第12页/共135页采样定理理想单位脉冲序列T(t)是一个以T为周期的函数，展开成傅立叶级数，复数形式为（8-1-5）式中 为傅立叶系数。对于T(t)，。将An代入式（8-1-5），得 第13页/共135页（8-1-6）将式（8-1-6）代入式（8-1-2），并考虑式（8-1-3），可得（8-1-7）由于e*(t)的拉普拉斯变换式为（8-1-8）第14页/共135页上式表明，E*是s的周期性函数。通常E*(s)的全部极点均位于

6、s平面的左半部，因此，可以用 代入上式，得到采样信号e*(t)的傅立叶变换（8-1-9）设采样器输入连续信号的频谱E(j)为有限带宽的图形，其最大频率为m,如图8-1-3所示。则采样后得到的离散信号的频谱如图8-1-4所示。第15页/共135页图8-1-3 连续信号频谱第16页/共135页图8-1-3 离散信号频谱第17页/共135页图8-1-4a对应于 的情况，而8-1-4b对应于 的情况。由图8-1-4可见，相邻两部分频谱不重叠的条件是（8-1-10）而2m,为连续信号的有限频率带宽。综上所述，只有在 的条件下，才能将采样后的离散信号无失真地恢复为原来的连续信号。这就是香农（Shannon

7、）采样定理。第18页/共135页8-2 保持器零阶保持器 零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器。它将前一采样时刻nT的采样值e(nT)保持到下一采样时刻(n+1)T，其输入信号与输出信号的关系如图8-2-1所示。第19页/共135页图8-2-1 零阶保持器的输入和输出信号由图可见，零阶保持器的输出信号是阶梯形的，包含高次谐波，与要恢复的连续信号有区别的。第20页/共135页若将阶梯波输出信号的各中点连接起来，可以得到一条比连续信号滞后T/2的曲线，反映了零阶保持器的相位滞后特性。零阶保持器的单位脉冲响应如图8-2-2所示，它可以表示为上式的拉普拉斯变换式为（8-2-1）第21页/共135页图8

8、-2-2 零阶保持器的单位脉冲响应第22页/共135页单位脉冲响应的拉普拉斯变换，就是零阶保持器的频率特性（8-2-2）或（8-2-3）式中（8-2-4）第23页/共135页零阶保持器的幅频特性如图8-2-3所示。由图可见，它的幅值随角频率的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性。图8-2-3 零阶保持器的幅频特性第24页/共135页若将零阶保持器传递函数展开为下列级数形式（8-2-5）只取级数的前两项，可得（8-2-6）这就是说，零阶保持器可以近似地用RC网络实现。第25页/共135页若取级数的前三项，则 这可用图8-2-4所示的无源网络实现。图8-2-4 无源网络第26页/共135页8-3 差

9、分方程 设采样系统的框图如图8-3-1所示。在第k个采样时间间隔中，零阶保持器的输出为 考虑到积分环节的作用，在该周期内输出c(t)由下式决定 式中 第27页/共135页图8-3-1 采样控制系统由此可得 第28页/共135页或简写为（8-3-1）考虑到，上式可改写为（8-3-2）这就是图8-3-1所示采样系统的差分方程。根据式(8-3-2)可得 第29页/共135页（8-3-3）一般n阶线性常系数差分方程的形式为（8-3-4）第30页/共135页8-4 Z变换Z变换的定义连续函数f(t)的拉普拉斯变换式为设f(t)的采样信号为f*(t)（8-4-1）其拉普拉斯变换式为 第31页/共135页（

10、8-4-2）上式中 是s的超越函数，不便于直接运算，因此引入一个新的复变量（8-4-3）将上式代入式（8-4-2），得（8-4-4）第32页/共135页式（8-4-4）被定义为采样函数f*(t)的z变换。它和式（8-4-2）是互为补充的两种变换形式。前者表示z平面上的函数关系，后者表示s平面上的函数关系。第33页/共135页Z变换的方法1、级数求和法 将离散函数f*(t)展开如下（8-4-5）然后逐项进行拉普拉斯变换，得第34页/共135页（8-4-6）或上式即为离散函数的z变换的展开形式。第35页/共135页上式写成闭合形式，即例8-4-1 求单位阶跃函数1(t)的z变换。解 单位阶跃函数的

11、采样函数为(8-4-7)第36页/共135页例8-4-2 求 的z变换。解根据式(8-4-6)可得上两式相减，可以求得第37页/共135页(8-4-8)2、部分分式法设连续函数f(t)的拉普拉斯变换式为有理函数，可以展开为部分分式的形式，即(8-4-9)第38页/共135页(8-4-10)例8-4-3 设连续函数f(t)的拉普拉斯变换式为，试求其z变换。解 将F(s)展开为部分分式第39页/共135页由例8-4-1和例8-4-2可知例8-4-4 求 的z变换。解 将F(s)展开为部分分式第40页/共135页第41页/共135页3、留数计算法设连续函数f(t)的拉普拉斯变换式F(s)及其全部极点

12、为已知，则可用留数计算法求其z变换。(8-4-11)第42页/共135页(8-4-12)若f(s)具有q阶重复极点，则响应的留数为(8-4-13)例8-4-5 求 的z变换。解第43页/共135页由此可得(8-4-14)第44页/共135页例8-4-6 求f(t)=t的z变换(f(t)=0,t0)。解它在s=0处有两阶重极点，其留数为(8-4-15)第45页/共135页例8-4-7 求f(t)=t2的z变换(f(t)=0,t0)。解它在s=0处有三个重极点，其留数为(8-4-16)常见函数及其相应的拉普拉斯变换和z变换参见教材的表8-4-1。第46页/共135页Z变换的性质1、线性定理设函数为

13、则(8-4-17)第47页/共135页2、滞后定理(负偏移定理)设在t0时连续函数f(t)为零，其z变换为F(z)，则(8-4-18)证明根据z变换定义第48页/共135页图8-4-1 滞后定理第49页/共135页3、初值定理设函数f(t)的z变换为F(z)，并且(8-4-19)证明第50页/共135页4、终值定理证明 离散函数f(nT)的z变换为(8-4-20)而f(n+1)T的z变换为第51页/共135页上面两式相减可得第52页/共135页5、超前定理(正偏移定理)(8-4-21)(8-4-22)第53页/共135页证明 根据z变换定义可知第54页/共135页6、复数偏移定理设函数f(t)

14、的z变换为F(z)，则(8-4-23)证明 根据z变换定义可知第55页/共135页7、卷积和定理设(8-4-24)(8-4-25)第56页/共135页证明 根据z变换定义可知将式(8-4-24)代入上式，得由于kn时，g(k-n)T=0,上式可改写为第57页/共135页第58页/共135页和拉普拉斯反变换相类似，z反变换可表示为Z反变换（8-4-26）下面介绍三种比较常用的z反变换方法。1、长除法第59页/共135页（8-4-27）（8-4-28）上式的z反变换为第60页/共135页例8-4-8 解 用长除法可以求得上式的z反变换为第61页/共135页2、部分分式法例8-4-9 用部分分式法求

15、出上例中F(z)的反变换式。解根据表8-1可知，其对应的时间函数为第62页/共135页或3、留数计算法根据z变换的定义第63页/共135页由复变函数理论可知（8-4-29）（8-4-30）对于一阶极点的留数为第64页/共135页（8-4-31）对于q阶重极点的留数为（8-4-32）第65页/共135页例 8-4-10解 F(z)在z=1处有二重极点，因此由此可得第66页/共135页例 8-4-11解第67页/共135页由此可得式中 t=nT(n=0,1,2,).第68页/共135页8-5 脉冲传递函数基本概念传递函数：在线性连续系统理论中，把初始条件为零的情况下系统输出信号的拉普拉斯变换与输入

16、信号的拉普拉斯变换之比，定义为传递函数。脉冲传递函数：在线性采样系统理论中，把初始条件为零的情况下系统的离散输出信号的z变换与输入信号的z变换之比，定义为传递函数。第69页/共135页对于图8-5-1a 所示的采样系统，脉冲传递函数为(8-5-1)由上式可求采样系统的离散输出信号在实际上，许多采样系统的输出信号是连续信号，如图8-5-1b所示。在这种情况下，为了应用脉冲传递函数 的概念，可以在输出端虚设一个采样开关，并令其采样周期与输入端采样开关的相同。第70页/共135页8-5-1 采样系统第71页/共135页脉冲传递函数的推导由线性连续系统的理论已知，但线性部分的输入信号为单位脉冲信号 时

17、，其输出信号称为单位脉冲响应，以g(t)表示。当输入信号为如下的脉冲序列时根据叠加原理，输出信号为一系列脉冲响应之和，即第72页/共135页在t=kT时刻，输出的脉冲值为由于系统的单位脉冲响应是从t=0才开始出现的信号，当tk时，上式中的g(k-n)T=0。因此，上式可写成：根据卷积和定理，可得上式的z变换第73页/共135页由此可见，系统的脉冲传递函数即为系统的单位脉冲响应g(t)经过采样后离散信号 的z变换，可表示为(8-5-2)上式表明，系统的响应速度越快，即其单位脉冲响应g(t)衰减越快，则响应的脉冲传递函数G(z)的展开式中包含的项数越少。第74页/共135页开环系统脉冲传递函数串联

18、各环节之间有采样器的情况图8-5-2 两种串联结构第75页/共135页如图8-5-2a所示的开环系统(8-5-3)第76页/共135页串联各环节之间无采样器的情况图8-5-2 两种串联结构第77页/共135页注意式(8-5-3)和式(8-5-4)的区别：如图8-5-2a所示的系统，这时系统的开环脉冲传递函数为(8-5-4)采样开关分隔的两个环节串联时，其脉冲传函等于两个环节的脉冲传函之积；没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传函为这两个环节的传函相乘之积的Z变换。第78页/共135页例例8-5-1 8-5-1 设在图设在图8-5-28-5-2中中求系统的开环脉冲传递函数。解图8-5-2

19、a所示系统的开环脉冲传递函数为图8-5-2b所示系统的开环脉冲传递函数为第79页/共135页采样系统的闭环脉冲传递函数图 8-5-3 采样控制系统第80页/共135页由图8-5-3知求上式采样信号的拉普拉斯变换，得第81页/共135页写成z变换形式，即得闭环脉冲传递函数或考虑到输出信号采样后的拉普拉斯变换为(8-5-5)第82页/共135页以及脉冲传递函数对于单位反馈系统H(s)=1，则有(8-5-6)(8-5-7)(8-5-8)第83页/共135页采样系统中有数字控制器D(s)时，系统的框图如图8-5-4所示。图8-5-4 具有数字控制器的采样系统第84页/共135页由图8-5-4可见由此可

20、得Z变换得第85页/共135页或采样系统中有干扰信号时，系统的框图如图8-5-5所示。图中N(s)为干扰信号的拉普拉斯变换。第86页/共135页图8-5-5 有干扰信号的采样系统由图可见第87页/共135页由以上两式得或典型采样系统的框图及其输出离散信号的z变换参见教材表8-5-1。第88页/共135页8-6 采样控制系统的时域分析 采样控制系统的稳定条件1、s平面与z平面的映射关系复变量z与s的关系为式中 T采样周期第89页/共135页由以上分析可知，s平面的虚轴在z平面上的映射曲线是以坐标原点为圆心的单位圆(参见图8-6-1)。第90页/共135页图8-6-1 s平面上虚轴在z平面上的映象

21、第91页/共135页由此可见，s平面虚轴左半部在z平面上的映象为以原点为圆心的单位圆的内部区域。第92页/共135页2、线性采样系统稳定的充要条件讨论图8-5-3所示闭环采样系统的稳定性，此系统之闭环脉冲传递函数已由式(8-5-5)给出，即相应的特征方程式为第93页/共135页根据以上的分析可知，闭环采样系统稳定的充分和必要条件是，系统特征方程的所有根均位于z平面上以原点为圆心的单位圆之内。劳斯稳定判据对于线性采样系统，不能直接应用劳斯稳定判据，因为劳斯判据只能判断系统特征方程式的根是否在s平面虚轴的左半部。因此，必须采用一种变换方法，使z平面上的单位圆，映射为新坐标系的虚轴。这种坐标变换称为

22、双线性变换，又称w变换。第94页/共135页根据复变函数的双线性变换方法，设上式中z和w均为复变量，可以用下式表示：（8-6-1）则（8-6-2）将上两式代入（8-6-2），得第95页/共135页对于w平面上的虚轴，实部u=0，即上式即为z平面上以坐标原点为圆心的单位圆的方程。第96页/共135页图8-6-2 z平面与w平面的映射关系第97页/共135页综上所述，令 代入闭环采样系统的特征方程，进行w变换之后，即可应用劳斯判据。例8-6-1 设采样系统的框图如图8-6-3。其中采样周期T=0.25s，求能使系统稳定的k1值范围。图8-6-3 采样系统第98页/共135页解 系统的开环脉冲传递函

23、数为第99页/共135页和特征方程根据上式可求系统的闭环脉冲传递函数第100页/共135页根据上式列出劳斯表为了使此系统稳定工作，必须使劳斯表中的第一列各项均大于零。这就要求第101页/共135页稳态误差终值的计算由此可见，为使系统稳定，增益k1 应在017.3之间取值。设图8-6-3所示的单位反馈采样控制系统的开环脉冲传递函数为G(z)，由式(8-5-8)可得第102页/共135页设闭环系统稳定，根据z变换的终值定理可以求出在输入信号作用下采样系统的稳态误差终值（8-6-3）上式表明，采样系统的稳态误差决定于系统的脉冲传递函数G(z)和输入信号的形式。第103页/共135页下面讨论三种典型输

24、入信号的情况1、输入信号为单位阶跃信号这时将R(z)代入式(8-6-3)，得（8-6-4）第104页/共135页2、输入信号为单位斜坡信号这时将R(z)代入式(8-6-3)，得（8-6-5）第105页/共135页3、输入信号为单位抛物线信号这时将R(z)代入式(8-6-3)，得（8-6-6）第106页/共135页表8-6-1 不同类型系统的稳态误差终值表8-6-1中列出了以上三种输入信号作用下之稳态误差终值。第107页/共135页采样系统的暂态响应与脉冲传递函数极点、零点分布的关系设闭环采样系统的脉冲传递函数为（8-6-7）式中 N(z)、M(z)分子、分母多项式。第108页/共135页设闭环

25、脉冲传递函数的极点为假设没有相重的极点。（8-6-8）第109页/共135页对上式进行z变换，可以求出某一采样时刻的输出值（8-6-9）上式中第一项为系统输出采样信号的稳态分量，第二项为输出采样信号的暂态分量。由此可见，极点第110页/共135页第111页/共135页图8-6-4 各种闭环极点对应的暂态分量第112页/共135页第113页/共135页（8-6-10）这时第114页/共135页闭环极点在z平面不同位置时对应的暂态响应分量如图8-6-4所示。综上所述，闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的位置决定相应暂态分量的性质与特点。当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态分量是衰减的。极点距z平面

26、坐标原点愈近，则衰减速度愈快。若极点位于单位圆内的正实轴上，则对应的暂态分量按指数函数衰减。单位圆内一对共轭复数第115页/共135页极点所对应的暂态分量为衰减的振荡函数，其角频率为 。若闭环极点位于单位圆内的负实轴上，其对应的暂态分量也为衰减振荡函数，其振荡角频率为了使采样控制系统具有比较满意的暂态响应性能，闭环脉冲传递函数的极点最好分布在单位圆内的右半部，并尽量靠近z平面的坐标原点。若闭环脉冲传递函数的极点位于单位圆外，则其对应的暂态分量是发散的。这意味着闭环采样系统是不稳定的。第116页/共135页小结v为能无失真地恢复连续信号，采样频率的选定应符合香农采样定理。v理想滤波器能将采样后的

27、离散信号无失真地恢复为连续信号。但实际上不存在理想滤波器，常用的是零阶保持器。v离散信号的拉普拉斯变换式包含有超越函数，采用z z变换能将其有理化。第117页/共135页v在零初始条件下，采样系统的离散输出信号的z z变换与离散输入信号z z变换之比是脉冲传递函数。v计算线性连续稳态误差的方法可以推广用于进行z变换之后的采样控制系统。v在采样系统中常使用数字PID控制器。第118页/共135页习题习题8-1求下列拉普拉斯变换式所对应的z变换。第119页/共135页习题8-2求下列各式所的z反变换。第120页/共135页图8-1 题8-3图习题8-3请列出图8-1所示采样控制系统的差分方程。第1

28、21页/共135页设图8-1所示系统的采样周期T=1s，试求出此系统稳定的临界增益K值。习题8-4第122页/共135页习题8-5采样系统如图8-2所示，其中采样周期T=0.4。试求使系统稳定的K 值范围。图8-2 采样系统解 系统开环传递函数为第123页/共135页开环脉冲传递函数为第124页/共135页代入 T=0.4得闭环脉冲传递函数为闭环特征方程为第125页/共135页列劳斯表或者直接由w域特征方程，可得使系统稳定的K值应满足如下不等式：因此，使系统稳定K值范围为 第126页/共135页习题8-6已知采样系统如图8-3，采样周期T=1。试求闭环系统的脉冲传递函数C(z)/R(z)，并计算系统在r(t)=2(t)时的稳态误差图8-3 采样系统第127页/共135页解 开环脉冲传递函数为第128页/共135页闭环脉冲传递函数为闭环特征方程及其解如下：第129页/共135页第130页/共135页习题8-7已知采样系统结构如图8-4，采样周期T=1。当输入r(t)=1(t)时，试求输出图8-4 采样系统第131页/共135页解 开环传递函数为对上式进行z变换，并考虑T=1，可得开环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数为第132页/共135页输入z变换故输出z变换第133页/共135页因而第134页/共135页感谢您的观看！第135页/共135页