指数函数与对数函数.pptx

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1、4.1 整数指数幂 1整数指数幂的概念当n为正整数时，n个相同因数a的相乘，记作：an，称为正整数指数幂，读作“a的n次方”，也可读作“a的n次幂”，其中，a称为底数，n称为指数；当n=0时，a0 称为零指数幂；任何不等于0的数的0次幂都等于1；即a0=1形如a-n 称为负整数指数幂；a-n是an的倒数正整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂合称为整数指数幂第1页/共71页4.1 整数指数幂 2整数指数幂运算法则 整数指数幂运算法则（，m，n为整数）：练习：小试牛刀：比一比，看谁算的快 第2页/共71页巩固知识 整数指数幂的概念 整数指数幂运算法则课后练习 练习册334.1 整数指数幂 第3页/共

2、71页1次根式的定义 如果x2=a（），则称x为a的平方根（二次方根），记作：x=a；如果x3=a，则称x为a的立方根（三次方根），记作：；如果xn=a（n是一个大于1的正整数），则称x为a的一个n方次根，记作：当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 当n为偶数时，对于每一个正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，分别用n a和-n a表示，可以合并写为“（a 0）”；4.2 有理指数幂 第4页/共71页而对于每一个负数a，它的偶次方根是没有意义的；零的n次方根是零，用n 0=0表示；我们把形如 （有意义时）的式子称为n次根式，其中n称为根指数，a称为被开方数；性质

3、根据n次方根的意义，可得 当为奇数时 当为偶数时 4.2 有理指数幂 第5页/共71页【例1】求下列各式的值：1 2 3 4解 4.2 有理指数幂 第6页/共71页2有理指数幂的定义正数的正分数指数幂的意义是：，m，且 ）正数的负分数指数幂：，m，且规定了分数指数幂的意义以后，指数从整数推广到了有理数，即分数指数幂是有理指数幂 4.2 有理指数幂 第7页/共71页【例2】求下列各式的值：1 2 3解 4.2 有理指数幂 小试牛刀1 第8页/共71页【例3】化简下列各式：1 2 3 4解 4.2 有理指数幂 第9页/共71页 小试牛刀2 第10页/共71页巩固知识 根式和分数指数幂的概念 有理指

4、数幂的定义 有理指数幂的运算 课后练习 练习册344.2 有理指数幂 第11页/共71页4.3幂函数 a （a0），a （a0，m，n N，且 为既约分数）.1 a n aaaa(n 个个 a 连乘连乘)an1a n （a 0，n N），），a 0 1（a 0），1nmnananmmn第12页/共71页2观察函数y x2，y x3，y x 及 y x1这些函数表达式的共同特征是什么？你还能举出类似的函数吗？第13页/共71页一般地，形如y x 的函数我们称为幂函数 一、幂函数一、幂函数判断下列函数是不是幂函数：35（1）y 2 x；（4）yx23（2）y2 x ；（3）y x ；784.3幂函

5、数 第14页/共71页二、幂函数应用二、幂函数应用（1）函数）函数 y x 3 的定义域为的定义域为 R；解：解：例1写出下列函数的定义域：（1）y x 3；（3）y x 2；（2）y x；12（4）y x 324.3幂函数 第15页/共71页解：解：例1写出下列函数的定义域：（1）y x 3；（3）y x 2；（2）y x；12（4）y x 32（2）函数 y x ，即 y ，定义域为 0，）；12二、幂函数应用二、幂函数应用4.3幂函数 第16页/共71页解：解：例1写出下列函数的定义域：（1）y x 3；（3）y x 2；（2）y x；12（4）y x 32（2）函数 y x ，即 y

6、，定义域为 0，）；12二、幂函数应用二、幂函数应用4.3幂函数 第17页/共71页（3）函数 y x2，即 y ，定义域为（，0）（0，）；x21解：解：例1写出下列函数的定义域：（1）y x 3；（3）y x 2；（2）y x；12（4）y x 32二、幂函数应用二、幂函数应用4.3幂函数 第18页/共71页解：解：例1写出下列函数的定义域：（1）y x 3；（3）y x 2；（2）y x；12（4）y x 32（4）函数 y x ，即 y ，其定义域为（0，）32二、幂函数应用二、幂函数应用4.3幂函数 第19页/共71页4.3幂函数 1幂函数的定义.3通过幂函数的图象分析幂函数的性质.

7、负指数幂转化为分式负指数幂转化为分式分数指数幂转化为根式分数指数幂转化为根式2求幂函数的定义域第20页/共71页巩固知识 幂函数的定义 求幂函数的定义域 通过幂函数的图象分析幂函数的性质 课后练习 练习册334.3幂函数 第21页/共71页4.4 指数函数 数学是打开科学大门的钥匙,轻视数学必将造成对一切知识的损害，因为轻视数学的人不可能掌握其它学科和理解万物。弗培根第22页/共71页2=218=234=22第二次第二次第三次第三次第第 x 次次第一次第一次返回球菌分裂过程球菌分裂过程第23页/共71页.剩余长度剩余长度y 一一尺尺之之木木 日日取取其其半半第第1次后次后第第2次后次后第第3次

8、后次后第第4次后次后第第x次后次后第24页/共71页仔细观察两个关系式的底数和指数，仔细观察两个关系式的底数和指数，请问请问有什么发现有什么发现?第25页/共71页一般地，形如一般地，形如的函数叫做指数函数，的函数叫做指数函数，函数的定义域是函数的定义域是 R 其中其中是自变量是自变量定义定义第26页/共71页变式练习：请问同学们下面的式子是不是指数函数？第27页/共71页-2-1.5-1-0.500.511.520.35 0.25 0.71 4 22.83 11.41 0.5 011.图象图象第28页/共71页图象图象-2-1.5-1-0.500.511.5242.8321.4110.710

9、.50.350.25011.第29页/共71页 (0,1)指数函数指数函数 的图象和性质的图象和性质1.定义域定义域:2.值值 域域:3.过过 点点:4.单调性单调性:5.函数值的变化情况函数值的变化情况:当当 x 0时时,0 y 0时时,y 1.yx0第30页/共71页性质性质在R上是减函数在R上是增函数单调性过定点值 域定义域图象R (0,+)（0，1)第31页/共71页应用应用例例1、比较下列各题中两个值的大小、比较下列各题中两个值的大小:解解:可看作函数可看作函数 的两个函数值的两个函数值所以指数函数所以指数函数 在在 上是减函数上是减函数.所以所以因为因为由于底数由于底数第32页/共

10、71页应用应用解解:可看作函数可看作函数 在在x=2.5和和3时时的两个函数值的两个函数值由于底数由于底数所以指数函数所以指数函数 在在 上是增函数上是增函数.所以所以因为因为第33页/共71页比较下列各组值中各个值的大小：比较下列各组值中各个值的大小：试一试试一试：第34页/共71页小结小结：1.1.先观察底数并明确底数先观察底数并明确底数a 与与1 1的大小关系：的大小关系：2.如果底数比如果底数比1 1大，则指数大者数值大；相反，如果大，则指数大者数值大；相反，如果底数比底数比1 1小，则指数小者数值大。小，则指数小者数值大。第35页/共71页求下列函数的定义域求下列函数的定义域（1）解

11、：（1）要使已知函数有意义，必须 有意义,即x0,所以函数 的定义域是第36页/共71页解：要使已知函数有意义，必须 有意义，即x ,所以函数 的定义域是【1,+】（2）第37页/共71页3.会比较简单的同底数指数的大小，以及会求简单会比较简单的同底数指数的大小，以及会求简单指数函数的定义域。指数函数的定义域。2.研究函数的一般步骤研究函数的一般步骤:定义定义图象图象性质性质应用应用；1.数学知识点数学知识点:指数函数的概念、图象和性质指数函数的概念、图象和性质；4.4 指数函数 巩固知识巩固知识课后练习课后练习练习册练习册36第38页/共71页4.5对数的概念 对对数数的的创创始始人人是是苏

12、苏格格兰兰数数学学家家纳纳皮皮尔尔（Napier，1550年年1617年年）。他他发发明明了了供供天天文文计计算算作作参参考考的的对对数数，并并于于1614年年在在爱爱丁丁堡堡出出版版了了奇奇妙妙的的对对数数定定律律说说明明书书，公公布布了了他他的的发发明明。恩恩格格斯斯把把对对数数的的发发明明与与解解析析几几何何的的创创始始，微微积积分分的的建建立立并并称称为为17世纪数学的三大成就。世纪数学的三大成就。第39页/共71页1、指数式：ab=N，a是_,b是_,N是_,其中a,b,N什么范围？复习回顾复习回顾复习回顾复习回顾2、a0=_,a1=_.底数底数指数指数幂幂1a第40页/共71页折纸

13、次数折纸次数x x层数层数N N折纸次数和层数的关系：情境导航情境导航如果如果已经知道一共有如果如果已经知道一共有64层，层，你能计算折了多少次吗？你能计算折了多少次吗？这个问题可以转化为：已知这个问题可以转化为：已知 ,求求x.1 2 3 4 2 4 8 16 第41页/共71页1、在23=8中，8=_,2=_,3=?2、在52=25中，25=_,5=_,2=?3、在ab=N中，N=_,a=_,b=?回答下面问题,引入对数。计算：(1)求N.23=N.(2)求a.a2=25.(a0)2352ab第42页/共71页在ab=N中，b叫以a为底N的对数.3叫以2为底8的对数，0叫以1/2为底1的对

14、数，-1叫以5为底1/5的对数，b叫以a为底N的对数，记作b=logaN.记作3=log28.记作2=log39.记作0=log1/21.记作-1=log51/5.第43页/共71页定义：一般地，如果 的b次幂等于N,就是 ,那么数 b叫做 a为底 N的对数，记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数。第44页/共71页比较指数式、根式、对数式的关系比较指数式、根式、对数式的关系此对应始终保持底数不变，转化的实质是b、N位置的变化.表达形表达形式式abN对应的运算对应的运算ab=N=alogaN=b底数底数方根方根底数底数指数指数根指数根指数对数对数幂幂被开方数被开方数真数真数乘方，乘方，由由a，b

15、求求N开方，开方，由由N，b求求a对数，对数，由由a，N求求b第45页/共71页对数概念对数概念 小试牛刀小试牛刀(1)(2010年年)若若 （），则有（），则有（）。）。A.B.C.D.(2)在对数式在对数式 中，实数中，实数 的取值范围是的取值范围是()。A.B.C.D.(3)当底数是当底数是81时，时，27的对数等于（的对数等于（）。）。A.B.C.D.第46页/共71页折纸次数折纸次数x x层数层数N N折纸次数和层数的关系：如果如果已经知道一共有如果如果已经知道一共有64层，层，你能计算折了多少次吗？你能计算折了多少次吗？这个问题可以转化为：已知这个问题可以转化为：已知 ,求求x.1

16、 2 3 4 2 4 8 16 第47页/共71页1常用对数：以10作底 记作 2自然对数：以 e作底 e为无理数，e=2.71828 记作 子任务子任务3：认识常用对数和自然对数：认识常用对数和自然对数试试：分别说说试试：分别说说lg5、lg3.5、ln10、ln3的意义的意义.第48页/共71页指数式与对数式的互化指数式与对数式的互化例例例例1 1 把下列把下列指数式指数式改写成改写成对数式对数式,对数式对数式改写成改写成指数式指数式（2）（1）变式练习变式练习：把下列把下列指数式指数式改写成改写成对数式对数式,对数式对数式改写成改写成指数式指数式（1）（2）（3）（4）第49页/共71页

17、例例例例2 2求下列式子中求下列式子中 的值：的值：（2）（1）变式练习变式练习：求下列式子中求下列式子中 的值：的值：第50页/共71页小练习：求下列对数值第一组：猜想loga1=0 证明：，即1的对数为0.第二组：猜想logaa=1 证明：，即底数的对数为1.第51页/共71页第三组：猜想 证明：口答下列式子的值：第52页/共71页对数的基本性质1.负数负数和和零零没有对数没有对数；2.“1”的对数等于的对数等于零零,即即loga1=03.底数的对数等于底数的对数等于“1”,即即logaa=14.对数恒等式：对数恒等式：对数恒等式：对数恒等式：第53页/共71页对数性质的应用对数性质的应用

18、例例3（1）求）求x的值：的值：（2）化简求值：）化简求值：变式练习变式练习：（2）化简求值：）化简求值：（1）求）求x的值：的值：第54页/共71页2、对数的性质：、对数的性质：3、常用对数、常用对数 和自然对数和自然对数 4、体会、体会“归纳猜想证明归纳猜想证明”的研究方法。的研究方法。(1)(1).负数负数和和零零没有对数没有对数；(2).“1”的对数等于的对数等于零零,即即loga1=0(3).底数的对数等于底数的对数等于“1”,即即logaa=1(4)(4)对数恒等式：对数恒等式：对数恒等式：对数恒等式：v巩固知识v课后练习 练习册38第55页/共71页4.6对数的运算 数学来自生活

19、，又应用于生活和生产实践而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法如刚刚学过的指数、对数函数内容在实际生活中就有着广泛的应用今天我们就一起来探讨几个应用问题 第56页/共71页例例 12008 年我国人口总数是年我国人口总数是 13.28 亿，如果人口的亿，如果人口的自然年增长率控制在自然年增长率控制在 5%，问哪一年我国人口总数将，问哪一年我国人口总数将超过超过 15 亿亿？解 设 x 年后人口总数为 15 亿，由题意，得13.28(1 0.05)x 15 1513.28 (1 0.05)x 即两边取对数，得 x lg 1.005 lg 15 lg 13.28，所以 x 24.4 所

20、以 25 年后，即 2003 年我国人口总数将达到 15 亿第57页/共71页主要步骤：（1）阅读理解；（2）建立目标函数；（3）按要求解决数学问题第58页/共71页例例 2 设在离海平面设在离海平面 x m 处的大气压强是处的大气压强是 y kPa，y 与与 x 之间的函数关系式是之间的函数关系式是 y C e k x，这里，这里 C，k 都是常量都是常量已已知知某某地地某某天天在在海海平平面面与与 1 000 m 高高空空的的大大气气压压分分为为 101 kPa 及及 90 kPa，求求 600 m 高高空空的的大大气气压压强强，又又求求大大气气压压强强是是 96 kPa 处处的的高高度度

21、(结结果果都都保保留留 2 位位有有效数字效数字).第59页/共71页所以 y 与 x 的函数关系是y101 e1.153104 x 解 已知 y C e k x，其中 C，k 是待定的常数 由已知条件，当 x 0 时，y 101；当 x 1 000 时，y 90，即 1 000 kln 0.891 1；1 000 k0.115 3；所以 k1.153104由得 C 101，代入得 e k 1 000 0.891 1，90 101 得方程组 101 C e k 0 90 C e k 1 000 第60页/共71页因此，在高 600 m 处，大气压强为 94.3 kPa；在高 440 m 处，大

22、气压强为 96 kPa当 x 600 时，得 y 101 e1.153104600 94；1.153104 x ln，90 101 当 y 96 时，得96 101 e1.153104 x ，1.153104 x 0.051，所以 x 0.051 440 104 1.153 第61页/共71页已知某细菌的生长过程满足函数关系式Q(t)Q0 e k t，其中 t 为时间单位为分钟，Q 为细菌的数量如果一开始的细菌数量为 1 000 只，而在 20 分钟后变为 3 000 只，求一小时后细菌的数量 第62页/共71页 解决实际问题的步骤：实际问题（读懂问题、抽象概括）建立数学模型（演算、推理）数学

23、模型的解（还原说明）实际问题的解第63页/共71页巩固知识对数的运算法则：常用对数和自然对数换底公式 或 课后练习 练习册344.6对数的运算 第64页/共71页 一般地,函数 y=loga x(a0,且a 1)叫做对数函数.其中 x是自变量,函数的定义域是（函数的定义域是（0,+0,+）.对数函数的定义：对数函数的定义：注意:1):1)对数函数定义的严格形式;2)对数函数对底数的限制条件：对数函数对底数的限制条件：，且第65页/共71页在在同一坐标系同一坐标系中用描点法画出对数函数中用描点法画出对数函数 的图象。的图象。步骤：列表 描点 连线对数函数:y=loga x(a0,且a 1)图象与

24、性质第66页/共71页X1/41/2124y=log2x-2-1012描描点点连连线线列列表表作y=log2x图象y=logy=logy=logy=loga a a a x(ax(ax(ax(a0,0,0,0,且且a 1)a 1)a 1)a 1)图像图像21-1-21240yx3第67页/共71页y=logy=logy=logy=loga a a a x(ax(ax(ax(a0,0,0,0,且且a 1)a 1)a 1)a 1)图像图像这两个函数的图象有什么关系呢？关于关于X轴对称轴对称21-1-21240yx3x1/41/2124 2 1 0 -1 -2 -2 -1 0 1 2 第68页/共71页4.7 对数函数课堂练习小试牛刀课后练习练习册第69页/共71页谢谢 谢谢 指指 导导第70页/共71页感谢您的观看。第71页/共71页