中值定理与洛必达PPT讲稿.ppt

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1、中值定理与洛必达第1页，共74页，编辑于2022年，星期三本章重点本章重点：利用导数研究函数以及曲线的性态利用导数研究函数以及曲线的性态（如单调性、凹凸性、渐进线等）（如单调性、凹凸性、渐进线等）微分学中值定理微分学中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理）（罗尔定理、拉格朗日中值定理）洛必达法则洛必达法则 计算不定型极限计算不定型极限利用导数证明不等式利用导数证明不等式第2页，共74页，编辑于2022年，星期三1.中值定理中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理(Rolle16521719法国法国)第3页，共74页，编辑于2022年，星期三几何意义：几何意义：AB为为a,b上连续曲线，且除上连续曲线，且

2、除a,b 两点外都有切线存在，两端点纵标相等，两点外都有切线存在，两端点纵标相等，则在则在(a,b)中至少能找到一点，使这点对应中至少能找到一点，使这点对应曲线上的点处的曲线上的点处的切线平行于切线平行于x轴轴。ABxy08第4页，共74页，编辑于2022年，星期三证：证：f(x)在在闭区间闭区间a,b上连续，上连续，f(x)在在a,b必有最大值必有最大值M及最小值及最小值m,有两种情况有两种情况:(1)M=m;(2)Mm.(1)若若M=m，则则m=f(x)=M,f(x)为常数，即有为常数，即有那么那么(a,b)内任一点都可取作内任一点都可取作，M=m时，定理必成立。时，定理必成立。第5页，共

3、74页，编辑于2022年，星期三(2)若若Mm，f(a)=f(b),M,m中至少有一个不等于中至少有一个不等于f(a)或或f(b),不妨设不妨设Mf(a),(设设mf(a)同样可证）同样可证）又设又设有有f()=M,f(x)在在(a,b)可导，可导，第6页，共74页，编辑于2022年，星期三由极限的保号性：由极限的保号性：可见在函数取到最大值与最小值的点处，可见在函数取到最大值与最小值的点处，其导数等于其导数等于0。第7页，共74页，编辑于2022年，星期三例：例：说明：说明：1.罗尔定理的条件是充分的，但非必要的。罗尔定理的条件是充分的，但非必要的。yxO1 .。虽不满足条件虽不满足条件(1

4、)、(3)但仍存在但仍存在但若条件都不满足，则一但若条件都不满足，则一定找不到定理中的定找不到定理中的。第8页，共74页，编辑于2022年，星期三2.特别，当特别，当f(a)=f(b)=0时，时，Rolle定理定理可简述为：可简述为：若若f(x)在在a,b连续，在连续，在(a,b)可导，可导，则在函数的则在函数的两个零点两个零点之间，它的之间，它的一阶导数一阶导数至少有一个至少有一个零点零点（或一个（或一个根根）。）。第9页，共74页，编辑于2022年，星期三例题讨论例题讨论例例1：验证罗尔定理对函数验证罗尔定理对函数f(x)=sinx在在0，上的正确性，并求出上的正确性，并求出。证：证：满足

5、罗尔定理条件，满足罗尔定理条件，罗尔定理成立。罗尔定理成立。第10页，共74页，编辑于2022年，星期三例例 2：证：证：由由Rolle定理，定理，至少存在至少存在第11页，共74页，编辑于2022年，星期三例例3：证：证：由由Rolle定理，定理，至少存在至少存在第12页，共74页，编辑于2022年，星期三证：先证根的存在性：令证：先证根的存在性：令由零点定理，必有由零点定理，必有例例4：第13页，共74页，编辑于2022年，星期三再证唯一性：再证唯一性：有两个根有两个根x1与与x2,即即设设F(x)=0在在(0,1)又又F(x)在在0,1上连续，在上连续，在(0,1)内可导，内可导，由罗尔

6、定理，必存在由罗尔定理，必存在但已知但已知F(x)=0只有一个小于只有一个小于1的正根。的正根。矛盾矛盾!反证：反证：第14页，共74页，编辑于2022年，星期三由上述即知，由上述即知，则在则在x1,x2间有间有，使使则在则在x1,x2间有间有，使使以此类推。以此类推。第15页，共74页，编辑于2022年，星期三若若 f(x)在在0,1上有二阶导数，且上有二阶导数，且f(1)=0，设，设 F(x)=x2f(x)，试证在（，试证在（0,1）内至少存）内至少存在一点在一点，使，使例例5：证：证：F(x)在在0,1连续连续,在在(0,1)可导可导(由题意由题意),则由罗尔定理，则由罗尔定理，又由罗尔

7、定理，又由罗尔定理，第16页，共74页，编辑于2022年，星期三这这条条件件很很特特殊殊，若若取取消消这这条条件件，AB弦弦就就不不一一定定平行于平行于x轴，此时结论又如何？轴，此时结论又如何？三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理（Lagrange1736-1813法国）法国）罗尔定理中：罗尔定理中：第17页，共74页，编辑于2022年，星期三拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函数若函数f(x)（1）在）在a,b上连续，上连续，（2）在（）在（a,b）内可导，）内可导，则在（则在（a,b）内至少存在一点）内至少存在一点，使得：，使得：而右端正是而右端正是AB弦的斜率弦的斜率.xAByOa

8、b12几何意义：几何意义：式式可写成可写成:第18页，共74页，编辑于2022年，星期三ABxyOab12在在上上述述条条件件下下，曲曲线线AB上上至至少少有有一一点点，使使(,f()处的切线平行于处的切线平行于AB弦。弦。ABxyOab12显然，罗尔定理显然，罗尔定理是是L定理定理的特殊情况的特殊情况：弦弦AB 平行于平行于x轴。轴。第19页，共74页，编辑于2022年，星期三曲线曲线AB与弦与弦AB交于交于A、B点，此处它们的点，此处它们的（1）分析：）分析：这样就要使两端点函数值相等，为此引进这样就要使两端点函数值相等，为此引进希望能用罗尔定理来证，希望能用罗尔定理来证，辅助函数辅助函数

9、(x),且要满足且要满足注意，弦注意，弦AB的方程：的方程：f(x)为为曲线曲线AB上纵坐标，上纵坐标，y为为弦弦AB上的纵坐标。上的纵坐标。差即为差即为0，即，即证：证：第20页，共74页，编辑于2022年，星期三至少存在一点至少存在一点（2）证：）证：作辅助函数：作辅助函数：f(x)在在a,b连续，在（连续，在（a,b）可导，）可导，(x)在在a,b连续，在（连续，在（a,b）可导，）可导，则由罗尔定理，则由罗尔定理，第21页，共74页，编辑于2022年，星期三须须掌掌握握这这种种引引进进辅辅助助函函数数来来证证明明一些等式的方法。一些等式的方法。第22页，共74页，编辑于2022年，星期

10、三例：例：设设f(x)在在a,b连续，在（连续，在（a,b）可导，）可导，证明存在一点证明存在一点分析：分析：第23页，共74页，编辑于2022年，星期三由罗尔定理，存在由罗尔定理，存在证明：证明：由条件知由条件知F(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，且内可导，且第24页，共74页，编辑于2022年，星期三此此类类问问题题的的关关键键是是构构造造合合理理的的辅辅助助函函数数，可可采采用用反反向向演演绎绎的的思思维维方方式式，多多掌掌握握一一些些函函数数的的导导数数形式，如形式，如第25页，共74页，编辑于2022年，星期三1.说明：说明：又称为又称为拉格朗日中值公式拉格朗日中

11、值公式。若若ab,即在即在b,a中，中，L定理仍成立，定理仍成立，2.注意：此式并不是注意：此式并不是式的反向，式的反向，的范围不同。的范围不同。第26页，共74页，编辑于2022年，星期三Lagrange中值定理的另一些形式：中值定理的另一些形式：3.(1)则有则有第27页，共74页，编辑于2022年，星期三(2)设设x,x+x为（为（a,b）内任意两点）内任意两点,则则f(x)在在x,x+x或或x+x,x 上上仍满足仍满足L定理，定理，在在中令：中令：式即称为式即称为有限增量公式有限增量公式。由此。由此L定理也称定理也称为为有限增量定理有限增量定理，或，或微分中值定理微分中值定理。第28页

12、，共74页，编辑于2022年，星期三曾知曾知从从L定理可得以下推论：定理可得以下推论：只是只是y的近似式，的近似式，是是y的精确表达式，的精确表达式，它明确表达了函数增量与函数在某点它明确表达了函数增量与函数在某点导数的关系。导数的关系。第29页，共74页，编辑于2022年，星期三定理：定理：(原已知常数的的导数为原已知常数的的导数为0，现逆命题也成立，现逆命题也成立)证：证：由由L定理：定理：由由x1,x2的任意性，的任意性，（P.129）第30页，共74页，编辑于2022年，星期三（说说明明若若两两个个函函数数在在某某一一区区间间内内具具有有相相同同的的导导数，则这两个函数仅差一个常数）数

13、，则这两个函数仅差一个常数）推论推论：若若f(x),g(x)在在(a,b)内成立内成立则在则在(a,b)内内证证：由定理由定理:F(x)=C,第31页，共74页，编辑于2022年，星期三例题讨论例题讨论证：证：例例1：验证拉格朗日中值定理对验证拉格朗日中值定理对满足满足L定理定理的条件，的条件，第32页，共74页，编辑于2022年，星期三利用利用L定理证明一些不等式：定理证明一些不等式：例例2：证明不等式证明不等式证：证：则则f(u)在在x,y连续，在连续，在(x,y)可导，可导，由由L定理：定理：第33页，共74页，编辑于2022年，星期三同理，同理，xy,第34页，共74页，编辑于2022

14、年，星期三例例3：证明：证明：分析：分析：出现函数出现函数arctan x 在在a,b上的增量上的增量,用用L定理定理。由由L定理：定理：令令证证：第35页，共74页，编辑于2022年，星期三第36页，共74页，编辑于2022年，星期三例例4:则则 f(x)在在x0 处右导数存在处右导数存在,且且（即导函数在左端点处的右极限值（即导函数在左端点处的右极限值该点右导数值）该点右导数值）第37页，共74页，编辑于2022年，星期三证：证：要证：要证：得证。得证。=第38页，共74页，编辑于2022年，星期三课外作业课外作业习题习题3-1（A）1,2,4,6,8,10习题习题3-1（B）2,3,5,

15、6,9,10,12第39页，共74页，编辑于2022年，星期三ABCYXf(b)f(a)g(a)g(b)g()四、柯西中值定理四、柯西中值定理(Cauchy1789-1857法国法国)若曲线若曲线AB:Y=f(X)用参数方程表示：用参数方程表示：第40页，共74页，编辑于2022年，星期三与这一事实相应的就是与这一事实相应的就是柯西中值定理柯西中值定理：ABCYXf(b)f(a)g(a)g(b)g()第41页，共74页，编辑于2022年，星期三第42页，共74页，编辑于2022年，星期三注注意意：柯柯西西中中值值定定理理并并不不是是分分子子分分母母分分别别利利用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理

16、理而而得得，如如这这样样，则则不不会会是是一一个个，但柯西中值定理中的，但柯西中值定理中的是同一个是同一个。说明：说明：(1)当当ba时定理同样成立，并仍有时定理同样成立，并仍有(2)柯西中值定理主要用于证明计算极限的柯西中值定理主要用于证明计算极限的一个非常重要的法则一个非常重要的法则洛必达法则洛必达法则。此时即为此时即为Lagrange 中值定理。中值定理。第43页，共74页，编辑于2022年，星期三2.洛必达法则洛必达法则 定理：定理：第44页，共74页，编辑于2022年，星期三 证：证：则则x 0至多是至多是f(x),g(x)的可去间断点的可去间断点设设f(x0)=0,g(x0)=0,

17、那么那么f(x),g(x)在在x0的某个邻域内连续的某个邻域内连续,且且除除x0外外f(x),g(x)可导，可导，由柯西中值定理由柯西中值定理.x0.x.x0.(或连续点或连续点)，第45页，共74页，编辑于2022年，星期三说明：说明：第46页，共74页，编辑于2022年，星期三同理同理,第47页，共74页，编辑于2022年，星期三例题讨论例题讨论求下列极限:第48页，共74页，编辑于2022年，星期三=第49页，共74页，编辑于2022年，星期三=0.第50页，共74页，编辑于2022年，星期三由例由例5、6可见，三个函数可见，三个函数a x,x,loga x当当x+时都是时都是无穷大量无

18、穷大量,但它们趋于无穷大的但它们趋于无穷大的快慢程度不同。快慢程度不同。以以指数函数指数函数a x的速度最快，的速度最快，幂函数幂函数x 次之，次之，对数函数对数函数loga x最慢。最慢。第51页，共74页，编辑于2022年，星期三可见一味用洛必达法则，则永远无结果。可见一味用洛必达法则，则永远无结果。洛必达法则并不是万能的，一旦做不下去必洛必达法则并不是万能的，一旦做不下去必须改用其它方法。须改用其它方法。=0，若用若用消去无穷因子消去无穷因子法：法：第52页，共74页，编辑于2022年，星期三原定理只说原定理只说存在等于存在等于A或或，则，则显然极限不存在，显然极限不存在，用洛必达法则无

19、意义。用洛必达法则无意义。问问题题：答：答：否否 ！第53页，共74页，编辑于2022年，星期三0 0极限不存在时只能说明洛必达法则极限不存在时只能说明洛必达法则失效失效，应改用以前学的方法求极限。，应改用以前学的方法求极限。=1.第54页，共74页，编辑于2022年，星期三=0.第55页，共74页，编辑于2022年，星期三先适当先适当利用利用无穷小代换无穷小代换整理整理第56页，共74页，编辑于2022年，星期三问题：问题：下列计算是否正确？应如何计算？下列计算是否正确？应如何计算？错错数列极限不能直接使用洛必达法则，数列极限不能直接使用洛必达法则，非连续变量非连续变量不可求导不可求导！第5

20、7页，共74页，编辑于2022年，星期三每次使用洛必达法则前，应把函数尽量化每次使用洛必达法则前，应把函数尽量化简或进行整理：简或进行整理：（1）恒等式化简）恒等式化简（2）约去零）约去零(无穷无穷)因子因子（3）提出非零因子（）提出非零因子（4）等价无穷小代换）等价无穷小代换随时检验极限的类型，直至求出极限值。随时检验极限的类型，直至求出极限值。注意注意：1.2.第58页，共74页，编辑于2022年，星期三课外作业课外作业习题习题3-2（A）1,2第59页，共74页，编辑于2022年，星期三然后利用洛必达法则然后利用洛必达法则第60页，共74页，编辑于2022年，星期三例例1：一般，把求导后

21、函数形式简单的因子放分一般，把求导后函数形式简单的因子放分母上。母上。第61页，共74页，编辑于2022年，星期三例例2：第62页，共74页，编辑于2022年，星期三例例3：第63页，共74页，编辑于2022年，星期三第64页，共74页，编辑于2022年，星期三例例4：第65页，共74页，编辑于2022年，星期三第66页，共74页，编辑于2022年，星期三例例5：第67页，共74页，编辑于2022年，星期三例例6：第68页，共74页，编辑于2022年，星期三第69页，共74页，编辑于2022年，星期三例例7：第70页，共74页，编辑于2022年，星期三从以上各例可看出，洛必达法则是计从以上各例

22、可看出，洛必达法则是计算不定型极限的有利工具，但它并不算不定型极限的有利工具，但它并不是计算所有不定型极限的万能工具，是计算所有不定型极限的万能工具，若使用得不恰当，它不一定比通常方若使用得不恰当，它不一定比通常方法更简单。要随时注意应用洛必达法法更简单。要随时注意应用洛必达法则的条件，并辅以其它方法来补充不则的条件，并辅以其它方法来补充不足。足。第71页，共74页，编辑于2022年，星期三每次使用洛必达法则前，应把函数尽量每次使用洛必达法则前，应把函数尽量化简或进行整理：化简或进行整理：（1）恒等式化简）恒等式化简（2）约去零）约去零(无穷无穷)因子因子（3）提出非零因子（）提出非零因子（4）等价无穷小代换）等价无穷小代换随时检验极限的类型，直至求出极限值。随时检验极限的类型，直至求出极限值。注意注意：1.2.第72页，共74页，编辑于2022年，星期三)(xf设设例例 =)(xxg)(xg具有二阶导数具有二阶导数其中其中0 x 0)0(,0)0()0(aggg且且=0 x=,解：解：第73页，共74页，编辑于2022年，星期三课外作业课外作业习题习题3-2（B）1（单（单),5,6第74页，共74页，编辑于2022年，星期三