数学中考数学一轮复习专题八一元二次方程.pptx

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1、第1页/共54页第2页/共54页第3页/共54页 结合近几年中考试题分析结合近几年中考试题分析,一元二次方程的考查主要有一元二次方程的考查主要有以下特点：以下特点：1.1.命题方式为对一元二次方程的概念和基础知识的考查，命题方式为对一元二次方程的概念和基础知识的考查，多以填空题、选择题的形式出现，解答题多数考查一元二次多以填空题、选择题的形式出现，解答题多数考查一元二次方程的解法和方程知识的综合应用方程的解法和方程知识的综合应用.2.2.命题热点为配方法解决数学问题、一元二次方程的判命题热点为配方法解决数学问题、一元二次方程的判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系的应用别式的应用、一元二次方

2、程根与系数的关系的应用.第4页/共54页 1.1.一元二次方程的有关概念及解法是基础一元二次方程的有关概念及解法是基础,因此因此,在复习在复习本部分知识时本部分知识时,应首先弄清概念应首先弄清概念,掌握解法掌握解法.2.2.一元二次方程的判别式的应用、一元二次方程根与系一元二次方程的判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系的应用是中考的热点，应加强有关的题目训练，同数的关系的应用是中考的热点，应加强有关的题目训练，同时，要注重一元二次方程的判别式、根与系数的关系与其他时，要注重一元二次方程的判别式、根与系数的关系与其他知识综合考查的练习知识综合考查的练习.第5页/共54页 3.3.在复习本讲时

3、在复习本讲时,应注意转化思想的运用应注意转化思想的运用,还应注意配方还应注意配方法在解题中的作用法在解题中的作用,它是利用配方法解方程和推导求根公式它是利用配方法解方程和推导求根公式的基础的基础.第6页/共54页第7页/共54页第8页/共54页第9页/共54页第10页/共54页注意注意 十字相乘法十字相乘法 重要，常用重要，常用第11页/共54页第12页/共54页第13页/共54页第14页/共54页第15页/共54页一元二次方程的有关概念一元二次方程的有关概念1.1.一元二次方程有三个特点：一元二次方程有三个特点：(1)(1)只含有一个未知数；只含有一个未知数；(2)(2)未知数的最高次数是未

4、知数的最高次数是2 2；(3)(3)是整式方程是整式方程.2.2.要判断一个方程是否为一元二次方程要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式先看它是否为整式方程方程,若是若是,再对它进行整理再对它进行整理,如果能整理为如果能整理为axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的形式，则这个方程就为一元二次方程的形式，则这个方程就为一元二次方程.第16页/共54页3.3.判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项,应首先把一元二次方程化成一般形式应首先把一元二次方程化成一般形式axax2 2+bx+c=0(a0),+bx+

5、c=0(a0),但但一元二次方程的一般形式不是唯一的一元二次方程的一般形式不是唯一的.第17页/共54页【例例1 1】(2010(2010佛山中考佛山中考)教材或资料中会出现这样的题目：教材或资料中会出现这样的题目：把方程把方程 化为一元二次方程的一般形式，并写出它化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项的二次项系数、一次项系数和常数项.现把上面的题目改编为现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答下面的两个小题，请解答:(1)(1)下列式子中，有哪几个是方程下列式子中，有哪几个是方程 所化的一元二次所化的一元二次方程的一般形式？方程的一般形式？(答案只写序号答案只

6、写序号)_.)_.x x2 2-2x=4-2x=4；-x-x2 2+2x+4=0+2x+4=0；第18页/共54页(2)(2)方程方程 化为一元二次方程的一般形式后，它的二化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？【思路点拨思路点拨】(1)(1)先把一元二次方程化成二次项系数为先把一元二次方程化成二次项系数为1 1的一的一般形式，再与给出的般形式，再与给出的5 5个方程进行比较，从而得出结论个方程进行比较，从而得出结论.(2).(2)比比较较(1)(1)中几个方程的二次项系数、一次项系数、常数项，得中几个方程

7、的二次项系数、一次项系数、常数项，得出出一般结论一般结论.第19页/共54页【自主解答自主解答】(1)(1)(2)(2)若设它的二次项系数为若设它的二次项系数为a(a0)a(a0)，则一次项系数为，则一次项系数为-2a-2a、常数项为常数项为-4a.-4a.第20页/共54页1.(20101.(2010毕节中考毕节中考)已知方程已知方程x x2 2+bx+a=0+bx+a=0有一个根是有一个根是-a-a(a0)(a0)，则下列代数式的值恒为常数的是，则下列代数式的值恒为常数的是()()(A)ab (B)(C)a+b (D)a-b(A)ab (B)(C)a+b (D)a-b【解析解析】选选D.D

8、.把把x=-ax=-a代入方程代入方程x x2 2+bx+a=0+bx+a=0得得a a2 2-ab+a=0-ab+a=0，即，即a(a-b+1)=0a(a-b+1)=0，又因为，又因为a0a0，所以，所以a-b+1=0a-b+1=0，即，即a-b=-1.a-b=-1.第21页/共54页2.(20112.(2011滨州中考滨州中考)若若x=2x=2是关于是关于x x的方程的方程x x2 2-x-a-x-a2 2+5=0+5=0的一的一个根，则个根，则a a的值为的值为_._.【解析解析】将将x=2x=2代入方程，得代入方程，得4-2-a4-2-a2 2+5=0,+5=0,解得解得答案：答案：第

9、22页/共54页3.(20113.(2011株洲中考株洲中考)孔明同学在解一元二次方程孔明同学在解一元二次方程x x2 2-3x+c=0-3x+c=0时，正确解得时，正确解得x x1 1=1,x=1,x2 2=2,=2,则则c c的值为的值为_._.【解析解析】把把x=1x=1代入代入x x2 2-3x+c=0-3x+c=0中，得中，得1-3+c=0,1-3+c=0,所以所以c c2.2.答案：答案：2 2第23页/共54页一元二次方程的解法一元二次方程的解法1.1.一元二次方程主要有四种解法，任何一个有解的一元二次一元二次方程主要有四种解法，任何一个有解的一元二次方程都可以用配方法和公式法求

10、解，其中配方法较为复杂，方程都可以用配方法和公式法求解，其中配方法较为复杂，除指定外，一般不选用除指定外，一般不选用.2.2.选择适当的方法解一元二次方程可使运算简便选择适当的方法解一元二次方程可使运算简便.在四种解在四种解法中法中,选择顺序为选择顺序为:直接开平方法直接开平方法因式分解法因式分解法公式法公式法配配方法方法.第24页/共54页【例例2 2】(2011(2011南京中考南京中考)解方程：解方程：x x2 2-4x+1=0.-4x+1=0.【思路点拨思路点拨】此题可用配方法，也可用公式法，但不能用因此题可用配方法，也可用公式法，但不能用因式分解法，解题时要注意步骤式分解法，解题时要

11、注意步骤.【自主解答自主解答】方法一：配方法，移项，得方法一：配方法，移项，得x x2 2-4x=-1.-4x=-1.配方，得配方，得x x2 2-4x+4=-1+4,-4x+4=-1+4,(x-2)(x-2)2 2=3.=3.由此可得由此可得第25页/共54页方法二方法二:公式法，公式法，a=1,b=-4,c=1.a=1,b=-4,c=1.b b2 2-4ac=(-4)-4ac=(-4)2 2-411=120-411=120，第26页/共54页4.(20114.(2011南充中考南充中考)方程方程(x+1)(x-2)=x+1(x+1)(x-2)=x+1的解是的解是()()(A)2 (B)3

12、(C)-1(A)2 (B)3 (C)-1，2 (D)-12 (D)-1，3 3【解析解析】选选D.(x+1)(x-2)=x+1,D.(x+1)(x-2)=x+1,移项得，移项得，(x+1)(x-2)-(x+1)=0,(x+1)(x-2)-(x+1)=0,(x+1)(x-2-1)=0,(x+1)(x-2-1)=0,即即(x+1)(x-3)=0,(x+1)(x-3)=0,x+1=0 x+1=0或或x-3=0.xx-3=0.x1 1=-1,x=-1,x2 2=3.=3.第27页/共54页5.(20105.(2010烟台中考烟台中考)方程方程x x2 2-2x-1=0-2x-1=0的两个实数根分别为的

13、两个实数根分别为x x1 1，x x2 2，则，则 (x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)=_.-1)=_.【解析解析】由求根公式可得方程由求根公式可得方程x x2 2-2x-1=0-2x-1=0的两个实数根为的两个实数根为 所以所以答案：答案：-2-2第28页/共54页6.(20116.(2011无锡中考无锡中考)解方程：解方程：x x2 2+4x-2=0.+4x-2=0.【解析解析】a=1,b=4,c=-2,a=1,b=4,c=-2,bb2 2-4ac=16+8=240,-4ac=16+8=240,第29页/共54页 根的判别式及根与系数的关系根的判别式及根与系数的关系1.1.运用

14、根的判别式判断含有字母系数的一元二次方程根的情运用根的判别式判断含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是况的一般步骤是:(1):(1)把方程化为一般形式把方程化为一般形式,确定确定a a、b b、c c的值的值,计算计算;(2);(2)用配方法等将用配方法等将变形变形,使之符号明朗化后使之符号明朗化后,判断判断的符号的符号;(3);(3)写出结论写出结论.第30页/共54页2.2.利用一元二次方程根与系数的关系可解决以下几类问题利用一元二次方程根与系数的关系可解决以下几类问题:(1)(1)已知一元二次方程的一个根已知一元二次方程的一个根,可求另一个根可求另一个根.(2)(2)已知两根，可

15、写出这个一元二次方程已知两根，可写出这个一元二次方程.(3)(3)与根的判别式结合起来，可求解方程、判断两根的性质与根的判别式结合起来，可求解方程、判断两根的性质和正负号和正负号.注意注意:在运用根与系数的关系时在运用根与系数的关系时,应先简化为一元二次方程应先简化为一元二次方程x x2 2+px+q=0+px+q=0的形式的形式,并牢记一元二次方程并牢记一元二次方程x x2 2+px+q=0+px+q=0的两根之的两根之和是一次项系数的相反数而不是一次项系数本身和是一次项系数的相反数而不是一次项系数本身.第31页/共54页【例例3 3】(2011(2011德州中考德州中考)若若x x1 1,

16、x,x2 2是方程是方程x x2 2+x-1=0+x-1=0的两个根，的两个根，则则x x1 12 2+x+x2 22 2=_.=_.【思路点拨思路点拨】先由根与系数的关系求出先由根与系数的关系求出x x1 1+x+x2 2、x x1 1x x2 2的值，的值，再把再把x x1 12 2+x+x2 22 2配方求出配方求出x x1 12 2+x+x2 22 2的值的值.【自主解答自主解答】由一元二次方程根与系数的关系可得由一元二次方程根与系数的关系可得x x1 1+x+x2 2=-1,x-1,x1 1x x2 2=-1,x=-1,x1 12 2+x+x2 22 2=(x=(x1 1+x+x2

17、2)2 2-2x-2x1 1x x2 2=(-1)=(-1)2 2-2(-1)=3.-2(-1)=3.答案：答案：3 3第32页/共54页7.(20117.(2011泉州中考泉州中考)已知一元二次方程已知一元二次方程x x2 2-4x+3=0-4x+3=0两根为两根为x x1 1、x x2 2,则则x x1 1xx2 2=()=()(A)4 (B)3 (C)-4 (D)-3(A)4 (B)3 (C)-4 (D)-3【解析解析】选选B.BB.B正确正确.第33页/共54页8.(20118.(2011威海中考威海中考)关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+(m-2)x+m+1=0

18、+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根，则m m的值是的值是()()(A)0 (B)8 (C)(D)0(A)0 (B)8 (C)(D)0或或8 8【解析解析】选选D.D.一元二次方程有两个相等的实数根，即一元二次方程有两个相等的实数根，即=0=0，(m-2)(m-2)2 2-4(m+1)=0,-4(m+1)=0,解得：解得：m m1 1=0;m=0;m2 2=8.=8.故选故选D.D.第34页/共54页9.(20109.(2010兰州中考兰州中考)已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程(m-(m-1)x1)x2 2+x+1=0+x+1=0有实数根有实数根

19、.则则m m的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】根据题意得根据题意得1 12 2-4(m-1)10-4(m-1)10且且m-10m-10，解得，解得 且且m1.m1.答案：答案：且且m1m1第35页/共54页10.(201110.(2011广东中考广东中考)已知一元二次方程已知一元二次方程x x2 2-2x+m=0.-2x+m=0.(1)(1)若方程有两个实数根，求若方程有两个实数根，求m m的范围；的范围；(2)(2)若方程的两个实数根为若方程的两个实数根为x x1 1,x,x2 2,且且x x1 1+3x+3x2 2=3,=3,求求m m的值的值.【解析解析】(1)(1)由题意得由

20、题意得=4-4m0,=4-4m0,解得解得m1.m1.(2)(2)由题意得由题意得x x1 1+x+x2 2=2,=2,因为因为x x1 1+3x+3x2 2=3,=3,所以所以 ,所以所以 ,解得解得第36页/共54页第37页/共54页配配 方方 法法1.1.配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十它的应用十分广泛分广泛,在代数式求值、求最大在代数式求值、求最大(小小)值、因式分解、化简根值、因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的解析式等方面都式、解方程、证明等式和不等式、求函数的解析式等方面都经常用到它经常用到它.2.2.配方

21、法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的一种重要手段一种重要手段,在配方时在配方时,要善于要善于“拆拆”和和“添添”,将代数式将代数式重新组合得到完全平方式重新组合得到完全平方式.第38页/共54页【例例】(2010(2010河北中考河北中考)已知已知x=1x=1是一元二次方程是一元二次方程x x2 2+mx+n=0+mx+n=0的一个根的一个根,则则m m2 2+2mn+n+2mn+n2 2的值为的值为_._.【思路点拨思路点拨】把把x=1x=1代入一元二次方程代入一元二次方程x x2 2+mx+n=0+mx+n=0得到得到m+nm+n

22、的值，把的值，把m m2 2+2mn+n+2mn+n2 2配方后得配方后得m m2 2+2mn+n+2mn+n2 2的值的值.第39页/共54页【自主解答自主解答】x=1x=1是一元二次方程是一元二次方程x x2 2+mx+n=0+mx+n=0的一个根的一个根,1+m+n=0,m+n=-1.,1+m+n=0,m+n=-1.当当m+n=-1m+n=-1时，时，m m2 2+2mn+n+2mn+n2 2=(m+n)=(m+n)2 2=(-1)=(-1)2 2=1.=1.答案：答案：1 1第40页/共54页1.(20101.(2010包头中考包头中考)关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x

23、2 2-mx+2m-1=0-mx+2m-1=0的的两个实数根分别是两个实数根分别是x x1 1、x x2 2，且，且x x1 12 2+x+x2 22 2=7=7，则，则(x(x1 1-x-x2 2)2 2的值是的值是()(A)1 (B)12 (C)13 (D)25(A)1 (B)12 (C)13 (D)25第41页/共54页【解析解析】选选C.C.由根与系数的关系得由根与系数的关系得x x1 1+x+x2 2=m,x=m,x1 1x x2 2=2m-1,x=2m-1,x1 12 2+x+x2 22 2=7,=7,7=(x7=(x1 1+x+x2 2)2 2-2x-2x1 1x x2 2=m=

24、m2 2-2(2m-1)=m-2(2m-1)=m2 2-4m+2,m-4m+2,m1 1=-1,m=-1,m2 2=5,=5,又又m=5m=5时，时，=25-36=25-360,0,m=-1.(xm=-1.(x1 1-x-x2 2)2 2=(x=(x1 1+x+x2 2)2 2-4x-4x1 1x x2 2=m=m2 2-4(2m-1)=m-4(2m-1)=m2 2-8m+4-8m+4=1+8+4=13.=1+8+4=13.第42页/共54页2.(20102.(2010綦江中考綦江中考)用配方法解方程：用配方法解方程：x x2 22x2x1 10.0.【解析解析】移项，得移项，得x x2 22

25、x2x1 1，配方，得，配方，得x x2 2-2x+1=2-2x+1=2，即即(x-1)(x-1)2 2=2=2，第43页/共54页1.(20101.(2010河南中考河南中考)方程方程x x2 2-3=0-3=0的根是的根是()()(A)x=3 (B)x(A)x=3 (B)x1 1=3,x=3,x2 2=-3=-3(C)(D)(C)(D)【解析解析】选选D.D.把选项中给出的数值代入原方程，使方程左右把选项中给出的数值代入原方程，使方程左右两边的值相等的数值，就是原方程的解或者解原方程得两边的值相等的数值，就是原方程的解或者解原方程得 ,所以所以 ,故选故选D.D.第44页/共54页2.(2

26、0102.(2010日照中考日照中考)如果关于如果关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+px+q=0+px+q=0的的两根分别为两根分别为x x1 1=2=2，x x2 2=1=1，那么，那么p p，q q的值分别是的值分别是()()(A)-3(A)-3，2 (B)32 (B)3，-2 (C)2-2 (C)2，-3 (D)2-3 (D)2，3 3【解析解析】选选A.A.根据根与系数的关系得：根据根与系数的关系得：第45页/共54页3.(20103.(2010上海中考上海中考)已知一元二次方程已知一元二次方程 x x2 2+x-1=0+x-1=0，下列判，下列判断正确的是断正确的是

27、()()(A)(A)该方程有两个相等的实数根该方程有两个相等的实数根(B)(B)该方程有两个不相等的实数根该方程有两个不相等的实数根(C)(C)该方程无实数根该方程无实数根(D)(D)该方程根的情况不确定该方程根的情况不确定【解析解析】选选B.=1+4=5B.=1+4=50,0,该方程有两个不相等的实该方程有两个不相等的实数根数根.第46页/共54页4.(20104.(2010厦门中考厦门中考)已知关于已知关于x x的方程的方程x x2 2-4x-p-4x-p2 2+2p+2=0+2p+2=0的一的一个根为个根为p,p,则则p=_.p=_.【解析解析】把把x=px=p代入方程代入方程x x2

28、2-4x-p-4x-p2 2+2p+2=0,+2p+2=0,得得p p2 2-4p-p-4p-p2 2+2p+2=0,+2p+2=0,即即-2p+2=0,-2p+2=0,解得解得p=1.p=1.答案答案:1 1第47页/共54页5.(20105.(2010成都中考成都中考)设设x x1 1,x,x2 2是一元二次方程是一元二次方程x x2 2-3x-2=0-3x-2=0的两的两个实数根，则个实数根，则x x1 12 2+3x+3x1 1x x2 2+x+x2 22 2的值为的值为_._.【解析解析】由一元二次方程根与系数的关系可得：由一元二次方程根与系数的关系可得：x x1 1+x+x2 2=

29、3,x=3,x1 1x x2 2=-2.=-2.所以所以x x1 12 2+3x+3x1 1x x2 2+x+x2 22 2=(x=(x1 1+x+x2 2)2 2+x+x1 1x x2 2=9-2=7=9-2=7.答案：答案：7 7第48页/共54页6.(20106.(2010成都中考成都中考)若关于若关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+4x+2k=0+4x+2k=0有有两个实数根，求两个实数根，求k k的取值范围及的取值范围及k k的非负整数值的非负整数值.【解析解析】由根的判别式可得由根的判别式可得b b2 2-4ac0-4ac0，即即4 42 2-8k0-8k0，解得，

30、解得k2k2；k k的非负整数值为：的非负整数值为：0 0，1 1，2.2.第49页/共54页7.(20107.(2010北京中考北京中考)已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2-4x+m-1=0-4x+m-1=0有两个相等实数根，求有两个相等实数根，求m m的值及方程的根的值及方程的根.【解析解析】由题意可知由题意可知=0.=0.即即(4)4)2 24(m4(m1)=01)=0，解得，解得m=5.m=5.当当m=5m=5时，原方程化为时，原方程化为x x2 24x+4=04x+4=0，解得，解得x x1 1=x=x2 2=2=2，所以原方，所以原方程的根为程的根为x x1 1=x=x2 2=2.=2.第50页/共54页第51页/共54页诲诲人人不不倦倦悟性的高低取决于有无悟悟性的高低取决于有无悟“心心”,其实其实,人与人的差别就在于你人与人的差别就在于你是否去思考是否去思考,去发现，去总结。去发现，去总结。下课了!第52页/共54页 第53页/共54页54感谢您的观看！第54页/共54页