最小作用量原理分解.pptx

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1、1 11 1126126126126宿舍小组成员宿舍小组成员宿舍小组成员宿舍小组成员Press the name to see the photo.Press the name again to replace.0610295 0610295 张斌张斌 0610296 0610296 张津铭张津铭 0610297 0610297 张瑞瑞张瑞瑞 0610298 0610298 张若洋张若洋 0610299 0610299 张英杰张英杰 第1页/共27页 最小作用量原理最小作用量原理是物理学中描述客观事物规律的一种重要方法。其内容是说：从某一个特定角度比较是物理学中描述客观事物规律的一种重要方法。

2、其内容是说：从某一个特定角度比较客体一切可能的运动（经历），认为客体的实际运动（经历）可以由作用量求极值得出，作用量最小的那客体一切可能的运动（经历），认为客体的实际运动（经历）可以由作用量求极值得出，作用量最小的那个经历即为客体的实际历经。个经历即为客体的实际历经。正如对称性、守恒律、因果律一样，最小作用量原理将自然规律含蓄地统一在一起。它的高度概括性正如对称性、守恒律、因果律一样，最小作用量原理将自然规律含蓄地统一在一起。它的高度概括性与简洁的美感将自然科学与自然哲学之美体现得淋漓尽致。本片将带你进入最小作用量原理的奇幻世界，与简洁的美感将自然科学与自然哲学之美体现得淋漓尽致。本片将带你进

3、入最小作用量原理的奇幻世界，领略它的奇妙与深邃。领略它的奇妙与深邃。序序序序第2页/共27页 最小作用量原理起初由几何光学和牛顿力学共同启蒙，最后却发展成为适用于整个物理学和自然运动规律的基础性理论。其价值不言而喻，下面就让我们从历史的角度对最小作用量原理作初步的认识。第3页/共27页 在对自然定律的思索中，在对自然定律的思索中，“最小最小”观念在观念在亚里士多德亚里士多德（Aristoteles Aristoteles，古希腊，古希腊，384B.C.322B.C.384B.C.322B.C.）那里就有了：那里就有了：“在用很少就可以完成的地方，却用了很多，是无谓的在用很少就可以完成的地方，却

4、用了很多，是无谓的”。这。这个观念一直以不同的形式盘旋在历代自然哲学家与科学家的头脑中。其中有影响的，是个观念一直以不同的形式盘旋在历代自然哲学家与科学家的头脑中。其中有影响的，是奥卡姆奥卡姆(w(wOccanOccan，英国，英国，13001349)13001349)，他从方法论上提出了，他从方法论上提出了“经济原则经济原则”“用较少即可做到的事，用较少即可做到的事，多做反而无益多做反而无益”。历史回顾历史回顾历史回顾历史回顾第4页/共27页 在物理学中成功使用在物理学中成功使用“最小最小”观念的最早一个例子，是光学中的观念的最早一个例子，是光学中的“费马原理费马原理”。费马费马(P(PFe

5、rmatFermat，法国，法国，1601166516011665)在在16621662年提出一个假设：年提出一个假设：“不管在什么媒质中，不管在什么媒质中，光从一点到另一点传播的真实路线，比起联结这两点的任何别的路线所花费的时间最小光从一点到另一点传播的真实路线，比起联结这两点的任何别的路线所花费的时间最小”。费马原理作为几何光学的基本原理，它成功地把三条经验定律：均匀媒质中光的直线传播定律，两种费马原理作为几何光学的基本原理，它成功地把三条经验定律：均匀媒质中光的直线传播定律，两种媒质分界面上的反射定律和折射定律，转变为费马原理的数学推论。媒质分界面上的反射定律和折射定律，转变为费马原理的

6、数学推论。历史回顾历史回顾历史回顾历史回顾第5页/共27页 1669 1669年年莱布尼茨莱布尼茨（Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz Gottfried Wilhelm，德国，德国，1646164617161716）在意在意大利旅行时写了一篇研究动力学基本问题的论文。在此论文中引入了大利旅行时写了一篇研究动力学基本问题的论文。在此论文中引入了“作用量作用量”这一概念，即质量速度和这一概念，即质量速度和路径长度的乘积。而路径长度等于速度和时间之积，因此作用量同样确定为质量，速度平方和时间的乘积，路径长度的乘积。而路径长度等于速度和时间之积，因此作用量同样确定为质

7、量，速度平方和时间的乘积，即活力（动能）乘上时间。在一封信中（但其真实性曾遭到怀疑）莱布尼茨写道，当物体运动时，作用量即活力（动能）乘上时间。在一封信中（但其真实性曾遭到怀疑）莱布尼茨写道，当物体运动时，作用量通常取极大或极小值。通常取极大或极小值。历史回顾历史回顾历史回顾历史回顾第6页/共27页 1696 1696年，由年，由约翰约翰伯努利伯努利（Johann BernoulliJohann Bernoulli，瑞士，瑞士，1667174816671748）提出并解决提出并解决的的最速落径问题最速落径问题对于变分计算的形成过程有着特别重要的意义。在解决最速落径问题的时候，伯努利提出对于变分计

8、算的形成过程有着特别重要的意义。在解决最速落径问题的时候，伯努利提出了一个原理。照这个原理来说，倘若曲线提供了极大值或极小值，那么曲线的每一个无限小的部分也同样了一个原理。照这个原理来说，倘若曲线提供了极大值或极小值，那么曲线的每一个无限小的部分也同样具有这一特性。这个原理没有普遍义，在许多情况之下曲线并不具有上述质。可是由于注意到伯努利提出具有这一特性。这个原理没有普遍义，在许多情况之下曲线并不具有上述质。可是由于注意到伯努利提出的原理在被证实为正确时的那些条件，这就使欧拉在阐述最小作用量原理上迈出了十分重要的一步。的原理在被证实为正确时的那些条件，这就使欧拉在阐述最小作用量原理上迈出了十分

9、重要的一步。历史回顾历史回顾历史回顾历史回顾第7页/共27页 1 744 1 744年年莫泊丢莫泊丢(Maupertuis(Maupertuis，法国，法国，16981759)16981759)完善完善了了“作用量作用量”概念，提出了概念，提出了“最小作用量原理最小作用量原理”：“质点系实际发生的运动，是质点系实际发生的运动，是使某一作用量取最小值运动的使某一作用量取最小值运动的”他认为这一原理，能够取代牛顿运动定律，成他认为这一原理，能够取代牛顿运动定律，成为力学的理论基础问题在于寻找作用量的数学描述然而，莫泊丢为力学的理论基础问题在于寻找作用量的数学描述然而，莫泊丢笃信上帝，笃信上帝，他不

10、但赋予最小作用量原理以目的论的形式，而且还有目的论的色彩。他主张，他不但赋予最小作用量原理以目的论的形式，而且还有目的论的色彩。他主张，如此合乎目的组建起来的整个自然界可以用证实了如此合乎目的组建起来的整个自然界可以用证实了“造物主的存在和智慧造物主的存在和智慧”这一这一目的唯一原则来解释。目的唯一原则来解释。历史回顾历史回顾历史回顾历史回顾第8页/共27页 在十八世纪二十年代末到三十年代，在十八世纪二十年代末到三十年代，欧拉欧拉（Euler Euler Leonhard Leonhard，瑞士，瑞士，1707170717831783）多次致力于变分计算）多次致力于变分计算领域内的工作。领域内

11、的工作。17441744年发表了欧拉的名著年发表了欧拉的名著求具有极大求具有极大值或极小值或是在更广泛的意义上来说，解决等周问题值或极小值或是在更广泛的意义上来说，解决等周问题的方法的方法。欧拉把一篇不长的论文安置在附录工之中，。欧拉把一篇不长的论文安置在附录工之中，这篇论这篇论用极大值和极小值的方法确定在没有阻力的介用极大值和极小值的方法确定在没有阻力的介质中抛体运动的问题质中抛体运动的问题，他在此论文中指出，他在此论文中指出，当物体在当物体在向心力的作用下，从点向心力的作用下，从点A A以速度以速度v v运动到点运动到点B B时它将描绘时它将描绘出某个轨迹，该轨迹对应于积分出某个轨迹，该轨

12、迹对应于积分 的极大值或极的极大值或极小值小值。欧拉注意到由他所简单阐述的原理只是在适用于。欧拉注意到由他所简单阐述的原理只是在适用于活力定律的情况下才能应用。活力定律的情况下才能应用。相反，莫培督认为作用量相反，莫培督认为作用量的最小数量原理比活力定律更广泛。的最小数量原理比活力定律更广泛。欧拉总的结论是在欧拉总的结论是在介质无阻力时最小作用原理具有普遍意义。这个原理不介质无阻力时最小作用原理具有普遍意义。这个原理不仅关系到单个物体，而且也关系到若干物体构成的体系。仅关系到单个物体，而且也关系到若干物体构成的体系。历史回顾历史回顾历史回顾历史回顾第9页/共27页 拉格朗日拉格朗日（Lagra

13、nge Joseph LouisLagrange Joseph Louis，法国，法国，1736173618131813）充分的发展了欧拉的思想）充分的发展了欧拉的思想。他不仅把欧他不仅把欧拉的结论从一个质点推广到了质点系，即作用量变为了拉的结论从一个质点推广到了质点系，即作用量变为了 。而且，拉格朗日将最小作用量原理提升到了力学根本。而且，拉格朗日将最小作用量原理提升到了力学根本原理的地位。原理的地位。拉格朗日的最小作用量原理不仅以要求某拉格朗日的最小作用量原理不仅以要求某种积分不变的条件限制质点或质点系的运动，而且还以种积分不变的条件限制质点或质点系的运动，而且还以单值的形式指出了在已知初

14、始条件时系统和质点实际上单值的形式指出了在已知初始条件时系统和质点实际上要如何运动。要如何运动。能量守恒原理所指出的正是什么样的运动能量守恒原理所指出的正是什么样的运动是可能的。而可能的条件正是：是可能的。而可能的条件正是：，其中其中 为作用量，为作用量，EE为机械能，为机械能，UU为势能。为势能。但拉格朗日认为最小作用量原理，纯粹是从动力但拉格朗日认为最小作用量原理，纯粹是从动力学方程得到的推论，而反对把它当成是宇宙间的普遍原学方程得到的推论，而反对把它当成是宇宙间的普遍原理的观念。理的观念。历史回顾历史回顾历史回顾历史回顾第10页/共27页 1843 1843年，年，哈密顿哈密顿(w(wR

15、RHamiltonHamilton，英国，英国，18051865)18051865)对对作用量作用量的数学形式作以下假设的数学形式作以下假设 ：（为为拉格朗日函数拉格朗日函数,为为广义坐标广义坐标）并首先把拉格朗日函数表述为广义坐标和广义动量的函数，并首先把拉格朗日函数表述为广义坐标和广义动量的函数，作作用量定义为质点系拉格朗日函数对时间的积分用量定义为质点系拉格朗日函数对时间的积分。作用量是一个过程量，作用量是一个过程量，哈密顿最小作用量原理哈密顿最小作用量原理表述为：表述为：具具有理想和完整的质点系在有势力作用下，在所有具有相同起始位有理想和完整的质点系在有势力作用下，在所有具有相同起始位

16、置的可能运动历经中，真实运动为哈密顿作用量取得驻值（广义置的可能运动历经中，真实运动为哈密顿作用量取得驻值（广义极值）的那个历经，极值）的那个历经，即真实运动对哈密顿作用量的变分等于零：即真实运动对哈密顿作用量的变分等于零：由于真实过程仅要求其作用量是一个极值即可，无需由于真实过程仅要求其作用量是一个极值即可，无需“最最小小”，故以后称为，故以后称为“作用量原理作用量原理”，把，把“最小最小”删去了。删去了。历史回顾历史回顾历史回顾历史回顾第11页/共27页 1886 1886年，年，赫姆霍茨赫姆霍茨(Helmholtz(Helmholtz，德国，德国，182118211894)1894)把这

17、一原理把这一原理系统地运用于力学，热力学和电动力学等问题。他引入了促进概括这一原系统地运用于力学，热力学和电动力学等问题。他引入了促进概括这一原理的物理解释的动势的概念。所谓理的物理解释的动势的概念。所谓动势动势，是这样一个量，将它对时间求积，是这样一个量，将它对时间求积分就可以得到作用量。分就可以得到作用量。由于动势概念是独立的，因之就可以把最小作用原由于动势概念是独立的，因之就可以把最小作用原理认为是物理可逆过程的普遍原理理认为是物理可逆过程的普遍原理，上这样一来，也用不着把它归结为力，上这样一来，也用不着把它归结为力学的规律了。换言之，也就是不必把最小作用量原理作为力学原理加以解学的规律

18、了。换言之，也就是不必把最小作用量原理作为力学原理加以解释。释。由于在电动力学中无需任何一种力学模型就可以阐述其内容和引用由于在电动力学中无需任何一种力学模型就可以阐述其内容和引用哈米顿原理，所以哈米顿原理，所以普朗克普朗克(Max Planck(Max Planck，德国，德国，185818581947)1947)这样写道：这样写道：最小最小作用量原理所经过的历程和能量守恒原理相同；作用量原理所经过的历程和能量守恒原理相同；“能量守恒原理起初同样能量守恒原理起初同样认为是力学原理，只是由于作为机械论宇宙观的证据而赋予它普遍的意义。认为是力学原理，只是由于作为机械论宇宙观的证据而赋予它普遍的意

19、义。目前机械论宇宙观受到强烈的动摇，然而无论什么人都没有开始怀疑能量目前机械论宇宙观受到强烈的动摇，然而无论什么人都没有开始怀疑能量守恒原理的普遍性。如果现在把最小作用原理看成是纯力学原理，那么可守恒原理的普遍性。如果现在把最小作用原理看成是纯力学原理，那么可能会不自觉地陷入片面性之中能会不自觉地陷入片面性之中”。历史回顾历史回顾历史回顾历史回顾第12页/共27页 正是对光学和力学中最小作用量原理的类比，正是对光学和力学中最小作用量原理的类比，德布罗意德布罗意（Louis de Louis de BroglieBroglie，法国，法国，1892198718921987）对波尔的量子化条件做出

20、了合理的解释并提出对波尔的量子化条件做出了合理的解释并提出了物质波的设想。了物质波的设想。在相对论中，最小作用量原理仍然成立，并被解释为能够从四维空在相对论中，最小作用量原理仍然成立，并被解释为能够从四维空间可能的世界线中挑选出实际的世界线的原理。并且在广义相对论的建立间可能的世界线中挑选出实际的世界线的原理。并且在广义相对论的建立过程中，过程中，爱因斯坦爱因斯坦（Albert EinsteinAlbert Einstein，德国，德国，1879195518791955）也曾使用它。也曾使用它。爱丁爱丁顿顿（Arthur EddingtonArthur Eddington，英国，英国，1882

21、199418821994）在广义相对论中指出：在广义相对论中指出：对时空连对时空连续统而言，作用量扮演着类似于能量在空间关系上所扮演的角色。在四维续统而言，作用量扮演着类似于能量在空间关系上所扮演的角色。在四维世界里，作用量是曲率的量度，即决定质点运动的四维连续统的基本特性世界里，作用量是曲率的量度，即决定质点运动的四维连续统的基本特性的量度。的量度。历史回顾历史回顾历史回顾历史回顾第13页/共27页 最小作用量原理指出：满足一定约束条最小作用量原理指出：满足一定约束条件的物理系统，在其所有的可能状态中，对应件的物理系统，在其所有的可能状态中，对应于作用量函数取极值的状态，而作用量函数一于作用

22、量函数取极值的状态，而作用量函数一般和能量相关联。最小作用量原理因其广泛的般和能量相关联。最小作用量原理因其广泛的适用性成为物理学中最为基础而富有意义的基适用性成为物理学中最为基础而富有意义的基本原理之一。本原理之一。正如之前历史回顾中所述，最小作用量正如之前历史回顾中所述，最小作用量原理不仅在分析力学、几何光学、电动力学和原理不仅在分析力学、几何光学、电动力学和热力学等经典物理中广泛应用，更是在近代物热力学等经典物理中广泛应用，更是在近代物理学直至相对论量子场论中起到了重要作用。理学直至相对论量子场论中起到了重要作用。由于水平所限，我们不能全面而深刻的由于水平所限，我们不能全面而深刻的剖析最

23、小作用量原理巨大意义，而只能从一个剖析最小作用量原理巨大意义，而只能从一个侧面对他的一些简单应用作一些介绍。下面我侧面对他的一些简单应用作一些介绍。下面我们将从力学、电学、热学、光学四个方面介绍们将从力学、电学、热学、光学四个方面介绍最小作用量原理的一些简单应用。最小作用量原理的一些简单应用。力学应用电学应用热学应用光学应用第14页/共27页高斯最小束缚原理高斯最小束缚原理 18291829年数学家高斯导出了最小束缚原理：年数学家高斯导出了最小束缚原理：在理想束缚条件下，系统在理想束缚条件下，系统在某瞬间时，真实运动与位置、速度、约束条件均相同，但加速度不同的在某瞬间时，真实运动与位置、速度、

24、约束条件均相同，但加速度不同的可能运动相比较，其真实运动应使可能运动相比较，其真实运动应使“束缚束缚”ZZ取最小值，即：取最小值，即：高斯将系统的高斯将系统的拘束拘束定义为：定义为：式中式中 为系统中质点的质量，为系统中质点的质量，分别为作用在质点上的主动力和质分别为作用在质点上的主动力和质点的加速度。在高斯原理中的可能运动是通过改变加速度点的加速度。在高斯原理中的可能运动是通过改变加速度aa得到的，所以这得到的，所以这种条件下的变分称为种条件下的变分称为高斯变分高斯变分。在约束的定义中，在约束的定义中，项是质点实际加速度与物体处于自由状态项是质点实际加速度与物体处于自由状态（无约束状态）时的

25、加速度之差，可认为是约束作用大小的度量，取其平（无约束状态）时的加速度之差，可认为是约束作用大小的度量，取其平方便可表征其模的大小。由此方便可表征其模的大小。由此“约束约束”的物理意义可理解为是系统运动偏的物理意义可理解为是系统运动偏离自由运动的量度，而高斯最小约束原理说的则是物体的实际运动应是使离自由运动的量度，而高斯最小约束原理说的则是物体的实际运动应是使约束对物体自由运动的影响降到最底的那种状态。约束对物体自由运动的影响降到最底的那种状态。在高斯最小束缚原理中，在高斯最小束缚原理中，“约束约束”就可以理解为这个物理孤傲程中就可以理解为这个物理孤傲程中的的“作用量作用量”。最小作用量原理的

26、应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用力学力学力学力学第15页/共27页高斯最小束缚原理高斯最小束缚原理 为了加深大家对此原理的感性认识，下面我们举例说明。为了加深大家对此原理的感性认识，下面我们举例说明。例例 应用高斯原理推倒蛋白的运动为分方程。应用高斯原理推倒蛋白的运动为分方程。解：设摆长为解：设摆长为LL，质点的质量为，质点的质量为mm，质点的约束为：，质点的约束为：最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用力学力学力学力学第16页/共27页最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用力学

27、力学力学力学高斯最小高斯最小束缚束缚原理原理对对ZZ取变分并令其为零：取变分并令其为零：即为单摆的运动微分方程。即为单摆的运动微分方程。第17页/共27页哈密顿原理哈密顿原理 在在“历史回顾历史回顾”中已经介绍了哈密顿最小作用量原理，这中已经介绍了哈密顿最小作用量原理，这里对它作进一步剖析。里对它作进一步剖析。哈密顿原理指出：哈密顿原理指出：具有理想和完整的质点具有理想和完整的质点系在有势力作用下，在所有具有相同起始位置的可能运动历经中，系在有势力作用下，在所有具有相同起始位置的可能运动历经中，真实运动为哈密顿作用量取得驻值（广义极值）的那个历经，真实运动为哈密顿作用量取得驻值（广义极值）的那

28、个历经，即即真实运动对哈密顿作用量的变分等于零：真实运动对哈密顿作用量的变分等于零：其中其中 为为拉格朗日函数拉格朗日函数,定义为：定义为：（TT为系统动能，为系统动能，UU为势能）为势能）若考虑一若考虑一nn各质点的系统，受到各质点的系统，受到dd个理想完整的约束，取个理想完整的约束，取k(=3n-k(=3n-d)d)维广义坐标维广义坐标qq11,q,q22,q,qkk，则拉格朗日函数，则拉格朗日函数LL可表示为可表示为 的函数：的函数：哈密原理给出了从所有可能运动中找出真实运动的一个准则，哈密原理给出了从所有可能运动中找出真实运动的一个准则，在力学中普遍适用，故成为了力学的一个基本原理。在

29、力学中普遍适用，故成为了力学的一个基本原理。为加深认识，下面举例说明其用法。为加深认识，下面举例说明其用法。最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用力学力学力学力学第18页/共27页最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用力学力学力学力学哈密顿原理哈密顿原理 例例 用哈密顿原理解出行星绕恒星运动微分方程。用哈密顿原理解出行星绕恒星运动微分方程。解解 设恒星质量为设恒星质量为MM，行星质量为，行星质量为mm。行星动能：行星动能：势能：势能：由于行星自己构成一个完整系统由于行星自己构成一个完整系统第19页/共27页最小

30、作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用力学力学力学力学哈密顿原理哈密顿原理 而而同理同理 ，彼此独立彼此独立 即为行星的运动微分方程。容易看出这样算出来的结果就是行星在三个方向上的加速度。第20页/共27页静电场电荷分布静电能取极小值静电场电荷分布静电能取极小值 在此虽然我们不能作严格证明，但可以定性理解这个问题。在此虽然我们不能作严格证明，但可以定性理解这个问题。假设我们已知某一电学系统静电平衡时的电荷分布（分布在一假设我们已知某一电学系统静电平衡时的电荷分布（分布在一定范围内连续），则在这个平衡态附近的非平衡态必将自发的向这定范围内连续），则在这个平衡

31、态附近的非平衡态必将自发的向这个平衡态进行靠拢，最终达到这个平衡态。在这一过程中，从宏观个平衡态进行靠拢，最终达到这个平衡态。在这一过程中，从宏观上看电荷在电场作用下产生趋向运动从而产生电流，而平衡后电荷上看电荷在电场作用下产生趋向运动从而产生电流，而平衡后电荷宏观不再有趋向运动电流消失。宏观不再有趋向运动电流消失。无论从趋向运动角度还是电流的角无论从趋向运动角度还是电流的角度分析，系统均有能量的耗散。度分析，系统均有能量的耗散。即从趋向运动的角度看，趋向运动即从趋向运动的角度看，趋向运动的停止意味着因趋向运动而产生的平均动能消失；从电流角度看，的停止意味着因趋向运动而产生的平均动能消失；从电

32、流角度看，系统在调整电荷分布的过程中必定会产生电流，而电流以产热的形系统在调整电荷分布的过程中必定会产生电流，而电流以产热的形式耗散能量。式耗散能量。可见系统平衡态的电场能小于在它附近非平衡态的电可见系统平衡态的电场能小于在它附近非平衡态的电场能，即静电平衡时静电能取得极小值。场能，即静电平衡时静电能取得极小值。电荷离散分布的系统，与普通力学系统无异，可从势能角度证电荷离散分布的系统，与普通力学系统无异，可从势能角度证明。明。由唯一性定理可知这个极值点是唯一的，所以并不用强调在平衡态由唯一性定理可知这个极值点是唯一的，所以并不用强调在平衡态附近。可见同是变分计算的重要定理的最小作用量原理和唯一

33、性定附近。可见同是变分计算的重要定理的最小作用量原理和唯一性定理的密切联系。理的密切联系。最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用电磁学电磁学电磁学电磁学第21页/共27页最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用电磁学电磁学电磁学电磁学静电场电荷分布静电能取极小值静电场电荷分布静电能取极小值例例 设有设有n n只电容器只电容器C C11，C C22，C Cnn组成串联电路，利用组成串联电路，利用静电场电荷分布静电能取极小值原理，证明电容分压公静电场电荷分布静电能取极小值原理，证明电容分压公式。式。解解 设电路两端电

34、压为设电路两端电压为U,U,对应于一种电压对应于一种电压 分布有如下约束条件：分布有如下约束条件：电路储存的能量：电路储存的能量：由于电容器充电完毕后电路中电场为静电场，所以可以使用静电场静电能分布取极小值原理。取Lagrange函数：则有：可见这正是我们熟悉的电可见这正是我们熟悉的电容串联电路的基本特征。容串联电路的基本特征。第22页/共27页磁作用量磁作用量 之前我们讲的作用量原理都或多或少用到了势能的概之前我们讲的作用量原理都或多或少用到了势能的概 念，即都与机械能守恒有所联系。而在磁场中带电粒子不念，即都与机械能守恒有所联系。而在磁场中带电粒子不 再有势能之说，那么最小作用量原理还有用

35、武之地吗？答再有势能之说，那么最小作用量原理还有用武之地吗？答 案是肯定的，麦克斯韦找到了这样的作用量，并利用最小案是肯定的，麦克斯韦找到了这样的作用量，并利用最小 作用量原理得到了完整的电磁学定律。下面作一个初步的介绍。作用量原理得到了完整的电磁学定律。下面作一个初步的介绍。定义通过某已知开曲线定义通过某已知开曲线LL和线外任意一点和线外任意一点oo所构成曲面的磁所构成曲面的磁通量为通量为开曲线开曲线ABCDABCD的通量的通量LL。则磁场中带电运动粒子的磁作用。则磁场中带电运动粒子的磁作用量可定义为：量可定义为：作用量作用量 其中其中LL为粒子运动经过某一为粒子运动经过某一开曲线通量开曲线

36、通量 显然由于线外显然由于线外OO点选择的任意性使得点选择的任意性使得LL也为一个不确定的也为一个不确定的值。但可以证明值。但可以证明若粒子轨迹的端点一定，则无论若粒子轨迹的端点一定，则无论OO点如何选取，点如何选取，在所有可能的路径中作用量最小的路径是唯一的。即若多某个在所有可能的路径中作用量最小的路径是唯一的。即若多某个OO点路径点路径LL的变分为零，则选取其他的的变分为零，则选取其他的OO点点LL的变分也必为零。而变的变分也必为零。而变分计算的结果正对应着粒子受到的洛仑兹力。分计算的结果正对应着粒子受到的洛仑兹力。磁场中作用量选取的成功说明了最小作用量原理比能量守磁场中作用量选取的成功说

37、明了最小作用量原理比能量守恒具有更普遍的意义。恒具有更普遍的意义。最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用电磁学电磁学电磁学电磁学第23页/共27页最小熵产生原理最小熵产生原理 最小熵产生原理是比利时科学家伊利亚最小熵产生原理是比利时科学家伊利亚.普普 里高津在里高津在19451945年提出的，它成为热学系统何时年提出的，它成为热学系统何时 达到定常态的判据。达到定常态的判据。定义在单位体积中、单位时间内的熵产生为熵的产生率定义在单位体积中、单位时间内的熵产生为熵的产生率。则则 最小熵产生原理告诉我们：在接近平和未能柜台的情况下最小熵产生原理告诉我们：在

38、接近平和未能柜台的情况下 且且 00。而演化的终极目标是。而演化的终极目标是 且且=00上达到最大值，上达到最大值，且不再随时间变化，鼓励斯处于平衡态。且不再随时间变化，鼓励斯处于平衡态。这一原理反映了在偏离平衡态不远时系统有这一原理反映了在偏离平衡态不远时系统有“惰性惰性”，其状态仍去向与不随时间变化。同时，同时系统又是其状态仍去向与不随时间变化。同时，同时系统又是“吝啬吝啬”的，的，总是选择与外界条件相适应的能量消耗最少的状态。总是选择与外界条件相适应的能量消耗最少的状态。最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用热学热学热学热学第24页/共27页费马

39、原理费马原理 光程：光程：设光在节支证言某条路径设光在节支证言某条路径ss传播所用的时间为传播所用的时间为t,t,则光与相同的时间在真则光与相同的时间在真空中传播的路程叫做空中传播的路程叫做ss的光程的光程LL。则。则 几何光学的基础是光沿直线传播、折射定律、反射定律三个实验定律，费几何光学的基础是光沿直线传播、折射定律、反射定律三个实验定律，费马却用光程的概念高度概括地把它们归结成一条统一的原理。马却用光程的概念高度概括地把它们归结成一条统一的原理。费马原理的表述费马原理的表述为：为：QPQP两点间光线的实际路径，是光程（或说是光的传播时间）为平稳的路两点间光线的实际路径，是光程（或说是光的传播时间）为平稳的路径。其数学表达为：径。其数学表达为：最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用最小作用量原理的应用光学光学光学光学第25页/共27页第26页/共27页感谢您的观看！第27页/共27页