数学方向导数与梯.pptx

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1、一、方向导数讨论函数沿某个方向的变化率讨论函数沿某个方向的变化率第1页/共41页第2页/共41页第3页/共41页第4页/共41页函数在点 沿方向的方向导数：是函数 z=f(x,y)在点 M0(x0,y0)沿方向对的变化率。或者说它是曲面 z=f(x,y)在点 M0(x0,y0)沿方向l 倾斜程度（坡度）。第5页/共41页第6页/共41页方向导数与偏导数方向导数与偏导数若偏导数 存在，则其中X轴正向其中Y轴正向第7页/共41页方向导数是单向导数单向导数（因为0）(类似于一元函数的单侧导数)偏导数是双向导数双向导数（因为x 可正负）因此，在一点处沿x轴或y轴方向的方向导数存在，并不能保证该点的偏导

2、数存在。第8页/共41页例 求函数 在原点沿任何方向的方向导数。解：设方向向量为即函数 （圆锥面）在原点沿任何方向的方向导数都为1.第9页/共41页即函数 （圆锥面）在原点沿任何方向的方向导数都为1.但是函数 在原点的偏导数不存在。第10页/共41页 是上半圆锥面圆锥面在顶点无切平面。第11页/共41页证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为两边同除以两边同除以得到得到利用偏导数计算方向导数的公式第12页/共41页故有方向导数故有方向导数第13页/共41页解解第14页/共41页解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知第15页/共41页故故第16页/共41页推广可

3、得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义第17页/共41页例例3.设设 是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数第18页/共41页二、梯度二、梯度其中称为向量微分算子向量微分算子或 Nabla算子算子.第19页/共41页因此梯度向量 是使函数在一点的方向导数 达到最大值的方向第20页/共41页第21页/共41页第22页/共41页在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图2梯度的几何解释梯度的几何解释第23页/共41页所得曲线在所得曲

4、线在xoy面上投影为平面曲线面上投影为平面曲线称为函数称为函数 的的等值线等值线方程两边微分：方程两边微分：或者说：或者说：梯度的方向就是等值线在这点的法线方向。梯度的方向就是等值线在这点的法线方向。第24页/共41页等值线等值线梯度为等值线上的法向量梯度为等值线上的法向量第25页/共41页 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数第26页/共41页三元函数梯度的几何解释：三元函数梯度的几何

5、解释：三元函数三元函数 的等值面：的等值面：由切平面的讨论，知梯度由切平面的讨论，知梯度是等值面是等值面在点在点(x,y,z)处的法向量。处的法向量。故梯度向量故梯度向量在任何点都垂直于函数的等值面，并且从函数值较小的在任何点都垂直于函数的等值面，并且从函数值较小的等值面指向函数值较大的等值面。等值面指向函数值较大的等值面。第27页/共41页梯度的运算律梯度的运算律类似于导数的运算律类似于导数的运算律P108，题，题9其中其中C为常数。为常数。第28页/共41页解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故第29页/共41页例例5.设函设函数数解解:(1)点P处切平面的法向量为在点在点 P(1,1

6、,1)处的切平面方程处的切平面方程.故所求切平面方程为即(2)求函数求函数 f 在点在点 P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数沿增加最快方向的方向导数.(1)求等值面求等值面 (2)函数 f 在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为思考思考:f 在点P处沿什么方向变化率为0?注意注意:对三元函数,与垂直的方向有无穷多第30页/共41页向量场 Vector Fields第31页/共41页第32页/共41页第33页/共41页第34页/共41页第35页/共41页1、方向导数的概念、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）三、小结三、小结 三元函

7、数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为第36页/共41页2、梯度的概念、梯度的概念（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为方向:f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值 梯度的特点第37页/共41页3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系方向导数存在偏导数存在 可微4、可微、可导、方向导数、可微、可导、方向导数 梯度在方向 l 上的投影.第38页/共41页练习练习 P131 题 16提示提示:第八节 第39页/共41页P108 1，2，6，7，8，10 作业作业第40页/共41页感谢您的观看。第41页/共41页