数学模型第四姜启源.pptx

《数学模型第四姜启源.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学模型第四姜启源.pptx（68页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 研究对象的机理比较简单研究对象的机理比较简单 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的可以利用初等数学方法来构造和求解模型可以利用初等数学方法来构造和求解模型尽量采用简单的数学工具来建模尽量采用简单的数学工具来建模如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.初初 等等 模模 型型第1页/共68页2.1 光盘的数据容量光盘的数据容量背景和问题背景和问题 20世纪80年代出现激光唱片(CD)与激光视盘(LD),统称光盘，用于储存数字声频

2、、视频信号和计算机数据等.20世纪90年代出现数字视频光盘(DVD).21世纪初光盘集计算机、光学记录和影视技术为一体,带动了出版、广播、通信、互联网等行业的发展.CD的数据容量:单层650MB(兆字节)DVD的数据容量:单层4.7GB(千兆字节)从数学建模的角度研究:光盘的数据容量是怎么确定的，在一定条件下怎样使其最大化.第2页/共68页调查和分析调查和分析45mm120mm2mm信道间距信道间距信道信道(螺旋线螺旋线)经过编码的数字信息，以一定深度和宽度、不同长度的凹坑的形式，用烧蚀技术存储在光盘表面呈螺旋线形状的信道上.当盘片上环形区域面积一定时，数据容量的大小取决于信道的总长度与信道上

3、存储数据的线密度.决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用激光的波长，和驱动光盘的机械形式.第3页/共68页调查和分析调查和分析 当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑所携带的信息，必须精确地聚焦.数据容量 激光波长 驱动形式 信道长度 线密度激光波长 光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑.为了提高存储数据的线密度，应该使光斑尽量小，而光斑的大小与激光波长成正比.激光器激光器激光波长激光波长（m）光斑直径光斑直径（m）信道间距信道间距（m）数据线密度数据线密度（字节（字节/mm）红外红外(CD)0.7821.6121红色红色(DVD)0.640.9250.74387蓝色蓝色(DVD)0.4

4、10.40.32800第4页/共68页调查和分析调查和分析恒定角速度(CAV)驱动光盘的机械形式每一圈螺旋线上存储同等数量的数据信息容量取决于最内圈的长度、线密度以及总圈数 各圈螺旋线上数据的线密度不变 容量取决于固定的线密度和螺旋线总长度 恒定线速度(CLV)从光盘的容量比较，CLV优于CAV.数据读取时间:CLV每圈转速不同，当读出磁头在内外圈移动时，需要等待光盘加速或减速，而CAV不需要.对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息，多用对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息，多用CLV;对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息，多用对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息，多

5、用CAV.第5页/共68页模型建立模型建立 CLV(恒定线速度)光盘R1光盘环形区域内圆半径,R2 外圆半径,d 信道间距LCLV 信道总长度 环形区域面积/信道间距 同心圆平均周长*总圈数 数据容量线密度,(n总圈数总圈数)其他方法建模其他方法建模第6页/共68页模型建立模型建立 CAV(恒定角速度)光盘螺旋线最内圈的长度近似为2R1,总圈数可视为 数据容量LCLV 信道总长度 线密度,当线密度、信道间距d和外径R2给定后，可选择环形区域的内圆半径R1，使数据容量最大.第7页/共68页模型求解模型求解 CLV(恒定线速度)光盘激光器激光器激光波长激光波长(m)信道长度信道长度(mm)信息容量

6、信息容量,(MB)影像时间影像时间(min)红外红外(CD)0.785,611,17967918红色红色(DVD)0.6412,132,2794,695126蓝色蓝色(DVD)0.4128,055,89522,445603R2=58 mm,R1=22.5 mm CD信道长度在5km以上，容量约680 MB;DVD容量在GB量级.影像时间按照每秒钟占用0.62 MB计算.第8页/共68页模型求解模型求解 激光器激光器激光波长激光波长(m)信道长度信道长度 (mm)信息容量信息容量,(MB)影像时间影像时间(min)红外红外(CD)0.783,302,59940011红色红色(DVD)0.647,

7、140,7552,76474蓝色蓝色(DVD)0.4116,512,99613,210355CAV(恒定角速度)光盘即使在内圆半径的最佳选择下，CAV光盘的信息容量也小于CLV光盘.R1=R2/2时LCAV最大 第9页/共68页2d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失.假假设设热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流.T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态.材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数.

8、建建模模热传导定律热传导定律Q1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差,d材料厚度材料厚度,k热传导系数热传导系数2.2 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效双层单层第10页/共68页dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气空气的热传导系数的热传导系数建模建模第11页/共68页记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传导的热量

9、之比双层与单层窗传导的热量之比k1=48 10-3(J/cmskwh),k2=2.5 10-4,k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的减少量的减少量作最保守的估计，作最保守的估计，取取k1/k2=16建模建模第12页/共68页hQ1/Q242O0.060.030.026模型应用模型应用取取 h=l/d=4,则则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可料的单层玻璃窗相比，可减少减少97%的热量损失的热量损失.结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系所以如此小，是由于层间空气的热传导系数数k2 2极低极低,而这要求空气非常干燥

10、、不流通而这要求空气非常干燥、不流通.房间通过天花板、墙壁、房间通过天花板、墙壁、损失的热量更多损失的热量更多.实际上双层窗的功效不会如此之大实际上双层窗的功效不会如此之大!第13页/共68页2.3 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇赛艇 2000m成绩成绩 t(min)种类种类 1 2 3 4 平均平均单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84空艇重空艇重w0(kg)桨桨手数手数n 16.3 13.6 18

11、.1 14.7对四种赛艇对四种赛艇(单人、双人、四人、八人单人、双人、四人、八人)4次国际次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨桨手数有某手数有某种关系种关系.试建立数学模型揭示这种关系试建立数学模型揭示这种关系.问问题题准准备备调查赛艇的尺寸和质量调查赛艇的尺寸和质量l/b,w0/n 基本不变基本不变艇长艇长l 艇宽艇宽b l/b (m)(m)7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0第14页/共68页问题分析问题分析 前进阻力前进阻力 浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力

12、前进动力前进动力 桨手的划桨功率桨手的划桨功率分析赛艇速度与桨手数量之间的关系分析赛艇速度与桨手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:划桨划桨功率功率 赛艇赛艇速度速度赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力桨手桨手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定.运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型.第15页/共68页模型假设模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数),w0与与n成正成正比比2）v是常数，阻力是常数，阻力 f与与 sv2成

13、正比成正比符号：艇速符号：艇速 v,浸没面积浸没面积 s,浸没体积浸没体积 A,空艇重空艇重 w0,阻力阻力 f,桨手数桨手数 n,桨手功率桨手功率 p,桨手体重桨手体重 w,艇重艇重 W.艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3）w相同，相同，p不变，不变，p与与w成正比成正比桨手的特征桨手的特征模型模型建立建立f sv2,p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3,A W(=w0+nw)n s n2/3v n1/9比赛成绩比赛成绩 t n 1/9np fv,第16页/共68页模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84线性最小二乘法线性最小二乘法利用利

14、用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 t n 1/9 进行检验进行检验.与模型吻合！与模型吻合！tn12487.216.886.325.84O第17页/共68页划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩 对实际数据做比较、分析，发现并提出问题对实际数据做比较、分析，发现并提出问题.利用物理基本知识分析问题利用物理基本知识分析问题.模型假设比较粗糙模型假设比较粗糙.利用合适的物理定律及简单的比例利用合适的物理定律及简单的比例方法建模方法建模(只考虑各种艇的相对速度只考虑各种艇的相对速度).模型结果与实际数据十分吻合模型结果与实际数据十分吻合(巧合！巧合！)第18页/共68页问问题题

15、甲有物品甲有物品X,乙有物品乙有物品Y,双方为满足更高的需要，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分商定相互交换一部分.研究实物交换方案研究实物交换方案.yxp.用用x,y分别表示甲分别表示甲(乙乙)占有占有X,Y的数量的数量.设交换前甲占设交换前甲占有有X的数量为的数量为x0,乙占有乙占有Y的的数量为数量为y0,作图：作图：若不考虑双方对若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案：甲占有都是一种交换方案：甲占有(x,y)，乙占有，乙占有(x0-x,y0-y).xyy0Ox02.4 实物交换实物交换第19页/共68页xyy0y1y2Ox1x

16、2x0p1p2.甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有同样的满意程度具有同样的满意程度,即即p1,p2对甲是无差别的对甲是无差别的.MN将将所有与所有与p1,p2无差别的点无差别的点连接起来连接起来,得到一条得到一条无差别无差别曲线曲线MN.线上各点的满意度相同线上各点的满意度相同,线的形状反映对线的形状反映对X,Y的偏爱程度的偏爱程度.N1M1p3(x3,y3).比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲，在另一条无差别曲线线M1N1上上,于是形成一族无差别曲线（无数条）于是形成一族无差别曲

17、线（无数条）.第20页/共68页p1.p2.c1 yOxf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质：单调减单调减(x增加增加,y减小减小)下凸下凸(凸向原点凸向原点)互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多，多，宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取较少的较少的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，多，就要以较多的就要以较多的 x换取换取较少的较少的 y.甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度满意度（f 等满意度曲线）等满意度曲线）甲的无差别曲线甲的无差别曲线第21页/共68页xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族

18、 g(x,y)=c2具有具有相同性质（形状可以不同）相同性质（形状可以不同）.双方的交换路径双方的交换路径xyy0Ox0f=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c2(坐标系坐标系xOy,且反向）且反向）甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1ABp P 双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必在在AB（交换路径）上（交换路径）上!因为在因为在AB外的任一点外的任一点p,(双方双方)满意度低于满意度低于AB上的点上的点p.两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作AB分析与建模分析与建模第22页/共68页AB 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案交换方案 交换后甲

19、的占有量交换后甲的占有量(x,y)0 x x0,0 y y0矩形内矩形内任一点任一点交换路交换路径径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族X,Y用货币衡量其价值，设用货币衡量其价值，设交换前交换前x0,y0价值相同，则等价值相同，则等价交换原则下交换路径为价交换原则下交换路径为CD(x0,0),(0,y0)两点的连线两点的连线CD.AB与与CD的交点的交点p设设X单价单价a,Y单价单价b,则等价交换下则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0)等价交等价交换原则换原则x0yy0O.xp.第23页/共68页2.5 污水均流池的设计污水均流池的设计城市生活污水的流量是时刻变化的,在净化处理前

20、需要先进入一个集中、储存的大池子，再通过水泵和输水管以恒定的流量流向净化设备.背景和问题背景和问题集中、储存、均衡调节流量的池子称为均流池.根据污水的流量设计均流池的容积及水泵和输水管的规格；在一定条件下按照施工成本最小的原则确定均流池的具体尺寸.第24页/共68页调查和分析调查和分析除了节假日等特殊情况以外，生活污水进入均流池的流量是以天为周期变化的.典型调查得到以小时为单位间隔、一天的污水流量(m3/s)时间时间(h)01234567流量流量0.04170.03210.02360.01850.01890.01990.02280.0369时间时间(h)89101112131415流量流量0.

21、05140.06300.06850.06970.07250.07540.07610.0775时间时间(h)1617181920212223流量流量0.08100.08390.08630.08070.07810.06900.05840.0519污水一天进入均流池的平均流量（忽略蒸发等损失）=从均流池用水泵打入净化设备的恒定流量 第25页/共68页 由以小时为单位间隔的污水流入量和从均流池到净化设备的恒定流出量，可得均流池中污水随时间变化的容量.调查和分析调查和分析 均流池的容积应该按照污水的最大容量，并考虑留有一定裕量来设计.均流池的面积可以由它的容积和深度得到.均流池的施工成本：底部单位面积的

22、成本，四条边上单位长度的施工成本.均流池的形状一般为矩形，其深度通常按照工程需要（底部需安装设备、进行清理等）确定.第26页/共68页模型假设与建立模型假设与建立 以调查得到的一天的污水流量为依据，并留有25%的裕量进行均流池的设计.均流池的深度为3m，施工成本：底部面积 340元/m2，两条长边及一条短边250元/m，另一条短边450元/m.模型1 均流池的恒定流出量和最大容量模型流量单位换算成m3/h,记为f(t)平均流入量=恒定流出量=203.67(m3/h)设计流量255 m3/h(25%的裕量)f(t)第27页/共68页模型模型1均流池中污水的容量为c(t)(m3)时间时间01234

23、567容量容量0 53.55141.66260.37397.44533.07665.10786.69时间时间89101112131415容量容量857.52876.15853.02810.09762.84705.51637.74567.45时间时间1617181920212223容量容量492.12404.19305.82198.81111.96 34.4710.2616.83时间时间01234567容量容量876.15822.60734.49615.78478.71343.08211.0589.46时间时间89101112131415容量容量18.63023.1366.06113.31170

24、.64238.41308.70时间时间1617181920212223容量容量384.03471.96570.33677.34764.19841.68886.41892.98设c(0)=0 c(9)最小设c(9)=0 c(23)最大第28页/共68页模型模型1f(t)c(t)f(t)gc(t)最小 f(t)g f(t)gc(t)最大 最大容量为892.98m 设计容量1116 m3(25%的裕量)第29页/共68页模型2 均流池的具体尺寸模型设计容量1116 m3,深度3m施工成本：底部面积 340元/m2,两长边及一短边250元/m,另一短边450元/m.l长边长度，w短边长度底部面积 l

25、w=372,w=372/l 建造一个23 m16.5m的均流池，成本约15万元.S(l)=149301元,w=16.30m第30页/共68页2.6 交通流与道路通行能力交通流与道路通行能力现代城市生活中交通拥堵是普遍存在的现象，在许多平面交叉路口，红灯后面总是排着长长的汽车队伍等待放行.背景和问题背景和问题通过信号灯控制等管理手段提高道路通行能力，已经成为城市交通工程面临的重要课题之一.介绍交通流的基本参数及它们之间的关系;讨论一般道路及信号灯控制的十字路口的通行能力.第31页/共68页交通流的基本参数及其特性交通流的基本参数及其特性流量流量q某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数某时刻单位时

26、间内通过道路某断面的车辆数(辆辆/h)密度密度k某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数(辆辆/km)速度速度v 某时刻通过道路某断面的车辆速度某时刻通过道路某断面的车辆速度(km/h)交通流 标准长度的小型汽车在单方向道路上行驶形成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响.借用物理学概念,将交通流看作一辆辆汽车组成的连续流体,用流量、速度、密度3个参数描述其基本特性.3个参数之间的基本关系 第32页/共68页交通流的基本参数及其特性交通流的基本参数及其特性速度速度v 与与密度密度k 的关系的关系 线性模型 vf 畅行车速(k=0时)kj阻塞密度(v=0时

27、)适合车流密度适中的情况 对数模型 车流密度较大时适用 指数模型 车流密度较小时适用 v1 k=kj/e时的车速(理论上),由观测数据确定.车流密度加大 司机被迫减速 第33页/共68页交通流的基本参数及其特性交通流的基本参数及其特性速度速度v流量流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密度密度k 流量流量qkm=kj/2 最大流量时的密度vm=vf/2 最大流量时的速度 第34页/共68页城市干道的通行能力城市干道的通行能力道路通行能力单位时间内通过某断面的最大车辆数.交通流量远小于通行能力时，车速高，呈自由流状态 交通流量接近通行能力时，车速低，呈强制流状态，出现交通拥堵.饱和

28、度流量与通行能力的比值,表示道路的负荷程度.城市干道的通行能力在理想的道路和交通条件下，当具有标准长度和技术指标的车辆，以前后两车最小车头间隔连续行驶时，单位时间内通过道路某断面的最大车辆数N(辆/h).第35页/共68页城市干道的通行能力城市干道的通行能力v车速(km/h)，d最小车头间隔(m)d 主要由刹车距离决定，刹车距离与车速密切相关.d1刹车时司机在反应时间t0 内汽车行驶的距离.d2刹车时从制动器起作用到汽车停止行驶的距离.c与路面阻力、车重、湿度、坡度等有关的系数.d3两车之间的安全距离，d4车辆的标准长度.单位时间内通过的最大车辆数N第36页/共68页城市干道的通行能力城市干道

29、的通行能力v102030405060708090100N95812081233117310901006928858797742交通工程的专业教材:司机刹车的反应时间t0=1s，系数c=0.01,安全距离 d3=2m，小型车辆的标准长度d4=5m.当t0，c，d3，d4变大时最大通行能力Nm减小.最大通行能力第37页/共68页最大制动力与车的质量成正比，使汽车作匀减速运动最大制动力与车的质量成正比，使汽车作匀减速运动.常数常数制动距离与车速的模型制动距离与车速的模型制动距离：制动器作用力、车重、车速、道路、气候设计制动器的合理原则：刹车时使用最大制动力F，F作的功等于汽车动能的改变，且F与车的质

30、量m成正比.F d2=m v2/2F m模型假设模型假设第38页/共68页信号灯控制的十字路口的通行能力信号灯控制的十字路口的通行能力西西东东南南北北相位相位A相位相位B相位相位C相位相位D信号灯控制采用4相位方案 典型的十字路口 东西方向有3条车道：左转、直行、直右混行 南北方向有2条车道：左转、直右混行 第39页/共68页某一相位下每小时通过停止线的最大车辆数(单行道)S(辆/h)信号灯控制的十字路口的通行能力信号灯控制的十字路口的通行能力 假设红灯时车辆在停止线后排成一列等待，绿灯后第1辆车立即启动通过停止线，其余车辆按照固定时间间隔通过停止线.T(s)信号灯周期，tg(s)某相位的绿灯

31、时间.t0(s)绿灯后第1辆车通过停止线的时间.ts(s)直行或右转车辆通过停止线的时间.反映车辆通过路口不均匀性的折减系数.第40页/共68页信号灯控制的十字路口的通行能力信号灯控制的十字路口的通行能力G=tg/T绿灯时间与信号灯周期之比(绿信比)Q=3600/ts小时流量(按每ts(s)通过一辆车计算)每小时通过停止线的最大车辆数实地调查高峰时段 4个相位通行的实际流量qA,qB,qC,qD 调整4个相位的绿信比,使GA:GB:GC:GD qA:qB:qC:qD t0=2.3s，ts=2.5s(小型车辆)3.5s(大型车辆)，对直行或右转 =0.9(左转更小)第41页/共68页2.7 核军

32、备竞赛核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全,实行实行“核威慑战略核威慑战略”,核军备竞赛不断升级核军备竞赛不断升级.随着前苏联的解体和冷战的结束随着前苏联的解体和冷战的结束,双方通过了双方通过了一系列核裁军协议一系列核裁军协议.在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张,而存在暂时的平衡状态而存在暂时的平衡状态.当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时弹头导弹等措施时,平衡状态会发生什么变化平衡状态会发生什么变化.估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量估计

33、平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受哪些因素影响这个数量受哪些因素影响.背背景景与与问问题题第42页/共68页以双方以双方(战略战略)核导弹数量描述核军备的大小核导弹数量描述核军备的大小.假定双方采取如下同样的假定双方采取如下同样的核威慑战略：核威慑战略：认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；己方在经受第一次核打击后，应保存足够的己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击.在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核

34、在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地导弹只能攻击对方的一个核导弹基地.摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定攻击精度和另一方的防御能力决定.模模型型假假设设第43页/共68页图图的的模模型型y=f(x)甲有甲有x枚导弹枚导弹,乙所需的最少导弹数乙所需的最少导弹数(乙安全线乙安全线)x=g(y)乙有乙有y枚导弹枚导弹,甲所需的最少导弹数甲所需的最少导弹数(甲安全线甲安全线)当当 x=0时时 y=y0，y0乙方的乙方的威慑值威慑值xyy0Oy0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方甲方实行第一次打

35、击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数.x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xyOy0y=f(x)y=f(x)乙安全区乙安全区甲甲安安全全区区双方双方安全区安全区P平衡点平衡点(双方最少导弹数双方最少导弹数)乙安全线乙安全线第44页/共68页分析分析模型模型乙方乙方残存率残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率基地，基地未被摧毁的概率.sx个基地未被摧毁，个基地未被摧毁，yx个基地未被攻击个基地未被攻击.xy甲方以甲方以 x枚导弹攻击乙方枚导弹攻击乙方 y个基地中的个基地中的 x个个

36、,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy个基地被攻击个基地被攻击2次次,s2(xy)个未被摧毁个未被摧毁;y(xy)=2y x个被攻击个被攻击1次次,s(2y x)个未被摧毁个未被摧毁.y0=s2(xy)+s(2y x)x=2yy0=s2yyx2yy=y0+(1s)xy=y0/sy=y0/s2第45页/共68页x=a y,分析分析模型模型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0威慑值威慑值s残存率残存率y=f(x)利用微积分知识可知利用微积分知识可知y是一条上凸的曲线，且是一条上凸的曲线，且 y0变大，曲线上移、变陡变大，曲线上移、变陡.s变大，变大，y减小，曲线变平减小，曲线变

37、平.xyOy0 xy,y=y0+(1s)xx=yx=2yyx2y,第46页/共68页 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标.乙方威慑值乙方威慑值 y0变大变大xyOy0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级.（其他因素不变）（其他因素不变）乙安全线乙安全线 y=f(x)上移上移模型解释模型解释 平衡点平衡点PP第47页/共68页 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架.乙安全线乙安全线y=f(x)不变不变甲方残存率变大甲方残存率变

38、大威慑值威慑值x 0不变不变x减小，甲安全线减小，甲安全线x=g(y)向向y轴靠近轴靠近xyOy0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解释模型解释 甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少.PP第48页/共68页 双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标.(x,y仍为双方核导弹的数量仍为双方核导弹的数量)双方威慑值双方威慑值x 0,y0和残存率和残存率s均减小均减小.y0减小减小 y下移且变平下移且变平xyOy0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)s变小变小 y增加且变陡增加且变陡双

39、方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析.模型解释模型解释 乙安全线乙安全线 y=f(x)第49页/共68页核核 军军 备备 竞竞 赛赛 对对“核威慑战略核威慑战略”做一些合理、简化假设，用图做一些合理、简化假设，用图的模型描述双方核武器相互制约、达到平衡的过程的模型描述双方核武器相互制约、达到平衡的过程.提出安全曲线概念，给出它的一般形式.通过更精细的分析找到影响安全线的参数：威慑值和残存率，给出安全线的分析表达式.利用模型对核军备竞赛中的一些现象作出合理解释利用模型对核军备竞赛中的一些现象作出合理解释.第50页/共68页帆船在海面上乘风

40、远航，确定帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向最佳的航行方向及帆的朝向.简化问题简化问题AB 风向风向北北航向航向帆船帆船海面上东风劲吹，设帆船海面上东风劲吹，设帆船要从要从A点驶向正东方的点驶向正东方的B点，点，确定起航时的航向确定起航时的航向，帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 .2.8 扬帆远航扬帆远航第51页/共68页模型分析模型分析 风风(通过帆通过帆)对船的推力对船的推力w 风对船体部分的阻力风对船体部分的阻力p推力推力w的分解的分解 wp阻力阻力p的分解的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型模型假设假设 w与帆迎风面积与帆迎风面积

41、s1成正比，成正比，p与船迎风面积与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且成正比，比例系数相同且 s1远大于远大于 s2.f1航行方向的推力航行方向的推力p1 航行方向的阻力航行方向的阻力第52页/共68页w1=wsin()f1=w1sin=wsin sin()p1=pcos 模型模型假设假设 wpw1w2f1f2p2p1 w2与帆面平行，可忽略与帆面平行，可忽略.f2,p2垂直于船身，可由舵抵消垂直于船身，可由舵抵消.模型模型建立建立w=ks1,p=ks2船在正东方向速度分量船在正东方向速度分量v1=vcos 航向速度航向速度v与力与力f=f1p1成正比成正比.v=k1(f1p1)v1v第53

42、页/共68页2)令令 =/2,v1=k1 w(1cos)/2pcos cos 求求 使使v1最大最大（w=ks1,p=ks2）1)当当 固定时求固定时求 使使f1最大最大f1=wcos(2)cos/2 =/2 时时 f1=w(1cos)/2最最大大=k1(f1p1)cos f1=w1sin=wsin sin()p1=pcos 求求,使使 v1最大最大模型建立模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解模型求解第54页/共68页60 75 1 t 2v1最大最大备备注注 只讨论起航时的航向，是静态模型只讨论起航时的航向，是静态模型.航行过程中终点航行过程中终点B将不在正东方

43、，应调整将不在正东方，应调整 和和 .记记 t=1+2s2/s1,k2=k1w/2=(k1w/2)1(1+2p/w)cos cos w=ks1,p=ks21/4cos s2第55页/共68页2.8 天气预报的评价天气预报的评价 明天是否下雨的天气预报以有雨概率形式给出.问题问题已得到某地一个月4种预报方法的有雨概率预报，和实际上有雨或无雨的观测结果.日期日期预报预报A(%)预报预报B(%)预报预报C(%)预报预报D(%)实测实测(有雨有雨=1,无雨无雨=0)190309060 1240305080130151030201003031803050100怎样根据这些数据对4种预报方法给以评价 9天

44、天有雨有雨22天天无雨无雨全全相相同同第56页/共68页计数模型计数模型根据明天是否有雨的实测，统计预报的正确率 有雨概率=50%毫无意义,不予统计 预报预报C2175预报预报实测实测有雨有雨有雨有雨无雨无雨无雨无雨3预报预报D26预报预报实测实测有雨有雨有雨有雨无雨无雨无雨无雨 0216预报预报实测实测有雨有雨有雨有雨无雨无雨无雨无雨10311预报预报A预报预报实测实测有雨有雨有雨有雨无雨无雨无雨无雨09022预报预报B明天有雨概率50%预报有雨明天有雨概率50%预报无雨 正确率正确率0.57正确率正确率0.71正确率正确率0.81正确率正确率0.93第57页/共68页计数模型计数模型从实用

45、角度看，更重要的是误报率.预报无雨而实测有雨的概率P2 预报有雨而实测无雨的概率P1 预报预报C2175预报预报实测实测有雨有雨有雨有雨无雨无雨无雨无雨3预报预报D26预报预报实测实测有雨有雨有雨有雨无雨无雨无雨无雨 0216预报预报实测实测有雨有雨有雨有雨无雨无雨无雨无雨10311预报预报A设两种后果的损失之比为1:2P1=10/16P2=3/14误报率P=P1/3+2P2/3=0.35 误报率P=0.20 误报率P=0.06 造成预防费用浪费 预防不足导致损失 误报率P=P1/3+2P2/3 缺点缺点:未考虑预报概率的具体值未考虑预报概率的具体值 第58页/共68页记分模型记分模型将预报有

46、雨概率与实测结果比较并记分 模型1 pk第k天预报有雨概率vk=1第k天有雨，vk=0无雨第k天的预报得分 对k 求和得到预报的分数S1 S1(A)=1.0，S1(B)=2.6，S1(C)=7.0，S1(D)=6.7 预报有雨概率0.5 得到相应的正分 S1越大越好 第59页/共68页记分模型记分模型模型2pk第k天预报有雨概率vk=1第k天有雨，vk=0无雨第k天的预报得分 对k 求和得到预报的分数S2 S2越小越好 S2(A)=14.5，S2(B)=12.9，S2(C)=8.5，S2(D)=8.8 模型3第k天的预报得分 对k 求和得到预报的分数S3 S3越小越好 S3(A)=8.95，S

47、3(B)=6.39，S3(C)=4.23，S3(D)=3.21 第60页/共68页记分模型记分模型S2(A)=14.5，S2(B)=12.9，S2(C)=8.5，S2(D)=8.8 S3(A)=8.95，S3(B)=6.39，S3(C)=4.23，S3(D)=3.21 S1(A)=1.0，S1(B)=2.6，S1(C)=7.0，S1(D)=6.7 模型1,2对4种预报的优劣排序、相对分差都相同f理论上的有雨概率 模型3的期望分数 p预报有雨概率v=1有雨，v=0无雨P(v=1)=f,P(v=0)=1 f 比较模型比较模型3 3与模型与模型2 2的优劣的优劣 p=f 时时E(S)最小最小等价!考

48、察一般模型 求E(S)的极值 此意义下模型此意义下模型3 3最佳！最佳！仅当n=2时p=f才能E(S)最小 第61页/共68页图形模型图形模型(1)(1)(1)(3)(1)(2)*(1)(1)(2)(3)(3)(1)(3)(2)(4)(2)*0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0预报预报A(1)(1)(2)(1)(1)(3)*(5)(6)(4)(1)(1)(2)(3)*0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0预报预报C(2)(4)(4)(6)(5)(1)*0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0 (2)(1)(1)(2)(3)*预报预报D (22)*0 0

49、.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0预报预报B(9)*号几乎随机分布,预报效果很差 模型1*号的p没有变化,毫无用途 v=0*号在p=0.6左边,无雨预报较好;v=1*号分散,有雨预报较差 v=0*号在p=0.5左边,v=1*号在p=0.4右边,无雨、有雨预报都好*上()中数字是坐标在*的天数 第62页/共68页图形模型图形模型模型2 0.5*0.5p0q预报预报A*0.50.5p0q预报预报B *0.50.5p0q预报预报C *0.50.5p0q预报预报Dp 预报有雨概率,q实测有雨天数比例p和q越接近越好*离对角线越近越好*几乎均匀分布,明显不好 只有一个*,几乎在q=p上 比A

50、好一些 未显示出优势 模型缺陷模型缺陷 不能用于预报B的情况 数据量小可能是预报D未得到正确评价的原因 用*与q=p的竖直距离度量模型的优劣,并考虑各个*的权重，模型2可量化为分数模型.第63页/共68页深入讨论深入讨论 评价预报的优劣，需制定评价标准 无统一看法,提出三类层次、内涵不同但相互关联的标准 第一类标准：预报者本身的一致性第一类标准：预报者本身的一致性 指预报者根据知识、信息和经验对预报的事件做出的判断，与他对外发布的预报之间的关系.不完全一致 预报者没有利用全部判断，只从使用者的需要出发.出于预报效益等考虑，对判断作了适当改变.一致性受预报者控制，外界通常难以掌握一致性受预报者控