玻色统计和费米统计精选文档.ppt

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1、玻色统计和费米统计本讲稿第一页，共四十页前言n n三种粒子系统n n非简并性条件（经典极限条件）n n玻耳兹曼统计的成功n n玻耳兹曼统计的遗留问题1，金属固体的热容量/低温固体的热容量2，空腔热辐射问题中的“紫外灾难”本讲稿第二页，共四十页第1节 热力学量的统计表达式n n回忆：玻耳兹曼统计方法：1，计算配分函数Z；2，通过配分函数计算热力学函数n n设想：量子统计方法：1，计算巨配分函数；2，通过巨配分函数计算热力学函数本讲稿第三页，共四十页一，巨配分函数n n考虑玻色分布n n则内能n n假设n n对比两式，则：ksai：称为巨配分函数本讲稿第四页，共四十页二，平均粒子数和广义力对比巨配

2、分函数平均粒子数广义力对于PVT系统本讲稿第五页，共四十页三，熵和因子用类似玻耳兹曼系统的方法，可计算出玻色系统的熵其中说明：1，对于玻色系统，可通过巨配分函数计算基本热力学函数U,P,S 2，再通过基本热力学函数计算出其它热力学量本讲稿第六页，共四十页四，热力学公式玻色系统 费米系统巨配分函数内能广义力/状态方程熵本讲稿第七页，共四十页第2节 弱简并玻色气体和费米气体n n什么叫弱简并性气体？简并性气体？非简并性气体？n n弱简并性气体的内能有何特点？在体积V内，d范围内的微观状态数：则系统粒子数为：“”表示费米气体，“”表示玻色气体 g表示因自旋引起的状态增加本讲稿第八页，共四十页系统的内

3、能为：方便推导起见，令x=考虑代入N和U的积分，即可得到：本讲稿第九页，共四十页即：说明：1：在弱简并情况下，内能表达式分为两部分。2：在玻耳兹曼分布的基础上，考虑到系统的弱简并性（此时玻色分布和费米分布不能通过简并性条件利用玻耳兹曼分布的结果），增加了一项附加内能。3：对于费米系统，附加内能为正；对于玻色系统，附加内能为负。本讲稿第十页，共四十页第3节 光子气体n n一，空腔热辐射（普朗克公式）有关概念：1，“紫外灾难”2，热辐射，黑体，绝对黑体，黑体辐射，空腔辐射场本讲稿第十一页，共四十页n n光子气体电磁辐射场光子气体光子是一种准粒子其中k称为波矢，是电磁波方向2长度上的波数。光子的自旋

4、为s=1，为玻色子.玻色系统单态平均粒子数：光子系统有其特殊性本讲稿第十二页，共四十页n n光子系统的平均粒子数n n普朗克公式本讲稿第十三页，共四十页n n光子系统的平均粒子数n n普朗克公式n n普朗克公式的意义1，瑞利-金斯用传统理论推导出辐射能量正比于此结论导致“紫外灾难”，并且动摇了经典物理的基础。2，普朗克公式考虑光能量按h传播量子力学的萌芽。本讲稿第十四页，共四十页n n光子系统的平均粒子数n n普朗克公式n n普朗克公式极限情况1，低频2，高频瑞利-金斯公式，导致“紫外灾难”维恩公式，1896年本讲稿第十五页，共四十页二，光子气体的热力学量 n n可根据玻色分布的理论，先求巨配

5、分函数，然后再求热力学量。n n可利用普朗克公式直接求出系统的内能。n n内能密度的最大值 维恩位移定律，1893年本讲稿第十六页，共四十页第4节 玻色爱因斯坦凝聚n n典型的玻色系统光子气体n n一般性的玻色系统有什么性质？本讲稿第十七页，共四十页一，爱因斯坦凝聚 n n费米系，温度0K时，粒子不集中在基态n n玻色系，温度0K时，粒子都处于基态，基态粒子数N0=N n nT0K时，N0=N-N。N0与N可相比拟n nTTc时，N0趋于零，N趋于Nn n反过来，当T0K时 三，费米气体的热力学量 本讲稿第二十六页，共四十页四，金属中的自由电子气体金属模型：离子具有一定的结构，骨架；价电子公有

6、电子，并且考虑电子之间相互作用很弱，以及电子与粒子场受力平均。对于Cu,Ag,Au,碱金属，每个原子提供一个电子。则：原子数N=自由电子数N；金属体积V=自由电子气体V；金属温度T=自由电子温度T。本讲稿第二十七页，共四十页五，一些概念：费米能，费米温度，费米动量，费米速度 当TE时，有：当TE时，有：高温符合实验结果：杜隆伯替定律；低温定性符合实验规律cv0。缺点：不能给出T3的规律。本讲稿第三十二页，共四十页n n三：德拜理论：1：德拜模型：修改了爱因斯坦模型。认为3N个振子不以同一频率振动，而各自具有不同的频率1，2，3，每个振子的平均能量为：总能量为：从形式上解决了问题，求出U，则：但

7、1，2，3，均需实验确定，N为极大的数量，全确定不可能。需要用其它方法解决此问题。则提出了德拜频谱。本讲稿第三十三页，共四十页2：德拜频谱：通过低频下的电磁波驻波数目：普朗克公式在低频下的极限推论。对于固体，有：上式中第一项是弹性驻波在d内的横波数目，第二项是纵波数目，不考虑偏振，相同情况下是横波数目的一半。而总驻波数目为3N，即：D最大驻波圆频率。由上积分计算得：本讲稿第三十四页，共四十页则可用D表示g()d为：德拜频谱。D德拜频率，是待定参量，习惯上用德拜温度D来表示。德拜频率测量方法：1，测量驻波速率；2，热容量标定。3：热容量：考虑的连续分布，求和变为积分：本讲稿第三十五页，共四十页代

8、入德拜频谱其中D(x)称为德拜函数本讲稿第三十六页，共四十页验证实验结果：高温时：低温时：T1，则：本讲稿第三十七页，共四十页1，试简要说明什么是爱因斯坦凝聚现象？回答要点：（1）：对玻色系统而言。（2）：T较高时，基态N00，激发态N(T)N。（3）：当TTc（临界温度，凝聚温度），N0(T)随温度T下降而显著增加。当T=0K时，N0(T)=N。（4）：在T=Tc处发生了相变现象，大量玻色子在动量空间凝聚到动量最低的状态。本讲稿第三十八页，共四十页2，简要介绍统计物理对固体热容量试验定律的解释。回答要点：（1）：实验表明：a,高温时cv=3R（杜隆伯替定律）；b,T0时，cv0；c,且有在低温时，cv与T3成比例。（2）：经典的能量均分定理，可解释a；（3）：爱因斯坦利用固体的谐振子模型，解释当T0时，cv0。但不能给出T3的规律。（4）：德拜修改了爱因斯坦的单一频率谐振子模型，引入了德拜频谱，成功地解释了实验定律。本讲稿第三十九页，共四十页3，根据普朗克公式辐射场的能量密度随频率的分布有极大值m，试证明：（此结论称为维恩位移定律）本讲稿第四十页，共四十页