非线性方程求解课件.ppt

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1、关于非线性方程求解第1页，此课件共48页哦课堂练习n某蒸馏釜的操作压力位106.7kpa，其中溶液含苯摩尔分数为0.2，甲苯为0.8，求此溶液的泡点和平衡的气相组成。n苯甲苯溶液可以看做理想溶液，组分蒸汽压为：a为苯，b为甲苯第2页，此课件共48页哦数值计算的误差数值计算的误差误差的分类模型误差观测误差截断误差舍入误差计算机对所储存的数据位数有限制计算时只截取有限项第3页，此课件共48页哦误差的分类绝对误差相对误差定义：设X*是数X的近似值，如果X*的绝对误差限时他的某一位数位的半个单位，并且从X*左起第一个非零数字到该数位共有N为，则称这个N个数字为X*的有效数字，也称X*近似X时有N为有效

2、数字有效数字第4页，此课件共48页哦算法设计的原则避免两个数量级相差很大的数运算避免两个数量级相差很大的数运算算法中应尽量减少运算次数算法中应尽量减少运算次数避免两个相近的数相减避免两个相近的数相减递推运算中，防止误差的积累递推运算中，防止误差的积累避免用绝对值对过小的数作除数避免用绝对值对过小的数作除数第5页，此课件共48页哦非线性方程求解非线性方程求解n非线性方程数值求解基本原理nMatlab求解非线性方程函数roots，fzero，fsolve第6页，此课件共48页哦引言在945.36kPa（9.33atm）、300.2K时，容器中充以2mol氮气，试求容器体积。已知此状态下氮气的P-V

3、-T关系符合范德华方程，其范德华常数为a4.17atmL/mol2，b0.0371L/mol数学模型：范德华方程变形可得关于V的非线性方程 第7页，此课件共48页哦非线性方程n非线性方程包括：高次代数方程、超越方程及其它们的组合n与线性方程相比，非线性方程求解问题无论从理论上还是从计算公式上都要复杂得多 n对于高次代数方程，当次数4时，则没有通解公式可用，对于超越方程既不知有几个根，也没有同样的求解方式。实际上，对于n3代数方程以及超越方程都采用数值方法求近似根。第8页，此课件共48页哦非线性方程数值求解原理非线性方程数值求解原理第9页，此课件共48页哦逐步扫描法逐步扫描法效率较低，常用于求根

4、的初始近似值开始结束输入初值A，步长hX1=A，Y1=f(X1)X2=X1+hY2=f(X2)打印A，h，X1Y1*Y2 0X1=X2Y1=Y2是否第10页，此课件共48页哦寻找根区间function masearch(fun,a,b,h)n=(b-a)/h;x1=zeros(1,n);x2=zeros(1,n);a1=a;b1=a1+h;k=1;while(b1b)if feval(fun,a1)*feval(fun,b1)0 x1(k)=a1;x2(k)=b1;else a1=b1;b1=a1+h;continue;end a1=b1;b1=a1+h;k=k+1;endfor i=1:k

5、if x1(i)-x2(i)=0 x1(i),x2(i)endend第11页，此课件共48页哦求方程根的精确解n非线性方程(组)的求解一般采用迭代法进行。n迭代法迭代法是一种重要的逐次逼近方法。这种方法用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。n常见的算法有q二分法q不动点迭代q牛顿法第12页，此课件共48页哦二分法n若函数f(x)在区间a,b内单调连续，且f(a)f(b)ep|(b-aep)if feval(fun,x)*feval(fun,a)时，xk是否收敛于x*，也就是必须找出收敛的充分条件 第16页，此课件共48页哦例题：正确的收敛的迭代格式第17

6、页，此课件共48页哦例题：发散的迭代格式第18页，此课件共48页哦不动点n定义定义：函数g(x)的一个不动点（fixed point）是指一个实数x*，满足x*=g(x*)n从图形角度分析，函数y=g(x)的不动点是y=g(x)和y=x的交点 第19页，此课件共48页哦不动点定理 设函数P(x)在区间a,b上有连续的一阶导数，且满足：则函数P(x)在区间a,b上存在唯一的不动点X*，即有x*=P(x*)，且对任意的属于区间a,b 的x0，都可以通过迭代得到X*。第20页，此课件共48页哦不动点迭代的图形解释 单调收敛单调收敛 振荡收敛振荡收敛 第21页，此课件共48页哦不动点迭代的图形解释 单

7、调发散单调发散 振荡发散振荡发散 第22页，此课件共48页哦迭代法function x=maiter(phi,x0,ep,N)if nargin4 N=500;end if nargin3 ep=1e-4;end k=0;while kN x=feval(phi,x0);if abs(x-x0)ep break;end x0=x;k=k+1;end if k=N,warning(已达迭代次数上限);enddisp(k=,num2str(k)第23页，此课件共48页哦牛顿法n牛顿法也称为牛顿-拉普森法或者切线法。由于这个方法的计算结果颇佳，而计算过程也比较简单，所以被普遍采用。n牛顿法的核心内容

8、是通过泰勒级数将非线性方程式转化为线性方程式，然后用迭代法求解。第24页，此课件共48页哦牛顿法原理 n设方程式 的近似根为n则 对 的泰勒级数展开式为第25页，此课件共48页哦牛顿法的几何意义YOX切线方程切线方程 第26页，此课件共48页哦例:牛顿法计算x2-25=0的解f(x)=x2-25，则f(x)=2x可构造迭代公式如下：取x0=2代入上式，得x1=7.25，继续递推，依次得5.35、5.0114、5.000001、5.0000000001 第27页，此课件共48页哦牛顿法function x=maqnewt(fun,x0,x1,ep,N)if nargin5,N=500;end i

9、f nargin4,ep=1e-4;end k=0;while kNx=x1-(x1-x0)*feval(fun,x1)/(feval(fun,x1)-feval(fun,x0);if abs(x-x1)c=1-1 0-1;r=roots(c)r=1.4656 -0.2328+0.7926i -0.2328-0.7926ipolyval(c,r(1)ans=-2.5535e-015 第34页，此课件共48页哦非线性方程求解函数fzeronfzeroq对于一般的单个超越方程，可以采用fzero函数求解qfzero函数结合使用二分法、割线法和可逆二次内插法 第35页，此课件共48页哦函数fzero

10、nx,fval,exitflag,output=fzero(fun,x0,options,p1,p2,.)此函数的作用求函数fun在x0附件的零值点，x0是标量qx 所求解qfval函数在解x处的值qexitflag程序结束情况:0，程序收敛于解；0，程序没有收敛；0，计算达到了最大次数qoutput是一个结构体，提供程序运行的信息；output.iterations，迭代次数；output.functions，函数fun的计算次数；output.algorithm，使用的算法qoptions选项，可用optimset函数设定选项的新值qfun可以是函数句柄或匿名函数。1.Fun函数如何编写？

11、函数如何编写？2.X0如何选取？如何选取？第36页，此课件共48页哦例题7：n计算以下方程的根q1)求sinx在3附近的零点;q2)求cosx在1,2范围内的零点；q3)q4)本例较简单，可直接在命令窗口输入命令求解：1)fzero(sin,3)2)fzero(cos,1,2)3)fzero(x)x3-2*x-5,1);roots(1 0-2-5)4)fzero(x)x3-2*sin(x),1)第37页，此课件共48页哦说明1)除了采用匿名函数外，当然可以采用句柄函数定义函数function Cha2demo1 x=fzero(fun,1)function y=fun(x)y=x3-2*sin

12、(x);2)初值的选择对于解有影响，不同的初值可能获得不同的解q可以根据感兴趣的解的区间确定初值范围q可以作出函数在一定范围内的曲线，直观的确定解的大致范围3)fzero不能获得多项式的多重根，尤其是复数根。而roots函数求解，则可获得所有根第38页，此课件共48页哦例题：n在945.36kPa（9.33atm）、300.2K时，容器中充以2mol氮气，试求容器体积。已知此状态下氮气的P-V-T关系符合范德华方程，其范德华常数为a4.17atmL/mol2，b0.0371L/mol。n数学模型：范德华方程变形可得n这是关于V的三次方程，可以由roots或fzero求解 第39页，此课件共48

13、页哦function Cha2demo3P=9.33;%atmT=300.2;%Kn=2;%mola=4.17;b=0.0371;R=0.08206;V0=n*R*T/P%5.2807V,fval=fzero(PVTeq,V0,P,T,n,a,b,R)%-function f=PVTeq(V,P,T,n,a,b,R)f=(P+a*n2/V2)*(V-n*b)-n*R*T;P=9.33;%atmT=300.2;%Kn=2;%mola=4.17;b=0.0371;R=0.08206;Eq=P,-(P*n*b+n*R*T),a*n2,-a*n3*b;roots(Eq)Script文件文件函数文件函数

14、文件function Cha2demo3P=9.33;%atmT=300.2;%Kn=2;%mola=4.17;b=0.0371;R=0.08206;V0=n*R*T/P%5.2807V,fval=fzero(PVTeq,V0,P,T,n,a,b,R)%-function f=PVTeq(V,P,T,n,a,b,R)f=(P+a*n2/V2)*(V-n*b)-n*R*T;函数文件函数文件第40页，此课件共48页哦函数fsolve 与fzero函数只能求解单个方程的根不同，fsolve函数可求解非线性方程组的解。其算法采用的是最小二乘法。调用格式：调用格式：nx,fval,exitflag,ou

15、tput,jacobian=fsolve(fun,x0,options,p1,p2,.)q输入输出变量的意义同fzero函数q输出变量中的jacobian为函数fun在x处的Jacobian矩阵定义待求解方程时，必须首先将方程组变换成F(X)=0的形式！第41页，此课件共48页哦例题10：在命令窗口输入：x0=1 1 1;x=fsolve(fun,x0)function y=fun(x)y(1)=sin(x(1)+x(2)2+log(x(3)-7;y(2)=3*x(1)+2x(2)-x(3)3+1;y(3)=x(1)+x(2)+x(3)-5;x=0.5991 2.3959 2.0050第42页

16、，此课件共48页哦fsolve函数的应用在铜管内在在铜管内在1 atm下将异丙醇加热到下将异丙醇加热到400。已知铜是生产丙酮和丙醛的催化剂，或许还有。已知铜是生产丙酮和丙醛的催化剂，或许还有某些异丙醇异构化为正丙醇。这三种产物的生成可用如下三个独立反应表示：某些异丙醇异构化为正丙醇。这三种产物的生成可用如下三个独立反应表示：iC3H7OH(IP)=n C3H7OH(NP)K1=0.064iC3H7OH(IP)=(CH3)CO(AC)+H2 K2=0.076iC3H7OH(IP)=CHHO(PR)+H2 K3=0.00012后续加工步骤需要正丙醇，虽然可含丙酮，但丙醛含量不能超过后续加工步骤需

17、要正丙醇，虽然可含丙酮，但丙醛含量不能超过0.05(mol)%。在上述。在上述反应条件下，是否存在违反这种规定的可能性？反应条件下，是否存在违反这种规定的可能性？数学模型：各反应的化学平衡方程如下数学模型：各反应的化学平衡方程如下第43页，此课件共48页哦function Cha2demo7x0=0.05 0.2 0.01;x=fsolve(EquiC3,x0);CAC=x(3)/sum(x)if CAC0.05 disp(The AC concentration could not be over 0.05%)else disp(The AC concentration could be o

18、ver 0.05%)endfunction f=EquiC3(x)f1=x(1)-0.064*(1-x(1)-x(2)-x(3);f2=x(2)*(x(2)+x(3)-0.076*(1-x(1)-x(2)-x(3)*(1+x(2)+x(3);f3=x(3)*(x(2)+x(3)-0.00012*(1-x(1)-x(2)-x(3)*(1+x(2)+x(3);f=f1 f2 f3;结果：The AC concentration could not be over 0.05%第44页，此课件共48页哦复习n不动点迭代及其收敛性nroots、fzero、fsolveq表示待求解方程的函数编写方法与规定

19、q函数的调用方法q初值的选取原则第45页，此课件共48页哦下次课上机练习作业：题1：完成教材习题7中的上机题，思考理论题题2：简单蒸馏时，某时刻釜残液量与低沸点组成x之间的关系如下式。其中的值是2.5，开始釜中液体苯含量为60%，甲苯为40%，求当蒸馏至残液量为原料量一半时，残液中的苯含量。第46页，此课件共48页哦下次课上机练习题3：计算1个大气压下，0.5苯，0.3甲苯，0.2（均为摩尔分数）乙苯的混合物的泡点和平衡蒸汽压，已知任意纯组分的饱和蒸汽压和绝对温度有如下式。式中P是毫米汞柱，T的单位是K，系数a，b如表。（提示：根据拉乌尔公式计算）组分ab苯7.841351750甲苯8.088401985乙苯8.114042129题4：化工原理精馏一章课后相平衡习题。第47页，此课件共48页哦感感谢谢大大家家观观看看第48页，此课件共48页哦