数理统计基础pp.pptx

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1、 数理统计是以概率论为基础，从实际观测的资料出发，研究如何搜集数据来对随机变量的分布函数、数字特征等进行估计、分析和推断。通过研究从一定总体中随机抽出一部分的某些性质，而对总体的性质作出推测性的判断。数理统计其应用领域涉及到工农业生产、科学技术、经济、社会等各个方面，对于产品质量的产量的提高，管理的科学化以及某些事物发展规律的认识都起到了积极的作用。2.1 抽样与抽样分布2.1.1 数理统计的一些基本概念1 总体、个体 总体是指所研究对象的全体。组成总体的元素称为个体。我们关心的是总体的某项数量指标。这些数值在总体中按一定规律分布，可以用随机变量来描述，记为X、Y等。而从总体中任取一个个体，其

2、可能的数值具有一定概率。个体是与总体分布相同的随机变量，记为X1，X2，等。第1页/共43页 1样本 从总体中抽取的一部分个体称为样本（或子样）。样本中个体的个数称样本容量。一个样本由n个个体组成，是一个n维随机变量，记为(X1，X2，Xn)。而某一次抽取的n个具体数据(X1，X2，Xn)称为样本观测值。第2页/共43页3简单随机抽样 为了使抽取的样本能很好地反映总体特性，抽样应满足以下原则：“简单随机抽样”（1）独立性：每次抽取的结果不受其它抽取结果的影响。（2）代表性：每次抽取后不影响总体成分。保证样本每个分量Xi都与总体X具有相同分布 这样的抽样方法称为简单随机抽样。所得到的样本称为简单

3、随机样本。在实际当中，总体容量通常有限，当采用无返回抽样时，每抽取一个个体会改变总体成分。但当总体容量很大时，可近似看作总体成分没有变化。若总体容量不大时，可采用返回抽样。4.统计量 设X1，X2，是一个样本，f(X1，X2，Xn)是样本的一个实值函数，且其中不含未知参数，称f(X1，X2，Xn)为一个统计量。统计量的分布称为抽样分布。例如：若总体XN（，2），其中，2是未知参数，X1，X2是一个样本，则都不是统计量，而都是统计是量。注意到统计量是随机变量,是可以计算得到的。第3页/共43页常用的统计量有 （1）样本均值:（2）样本方差：（3）样本标准差：(4)样本K阶矩：(5)样本K阶中心矩

4、：第4页/共43页212常用的抽样分布 1正态总体中的分布 设X1，X2，Xn是独立分布随机变量，且服从正态分布N（，2）则服从正态分布 设X1，X2，Xn是独立分布的随机变量，且都服从标准正态分布N（0，1），则的分布称为自由度为n的 分布，记为(n）。其概率密度为 分布 第5页/共43页 概率密度函数的图形见图2.1。对给定的，（0 1），称满足称为置信水平，1 称为置信度。一般取0.05或0.01第6页/共43页t分布设 XN（0，1），Y (n)，且 X与 Y相互独立，则称的分布为目由度为 n的 t分布。记为Tt（n）。其概率密度为第7页/共43页 概率密度函数h（t）的图形见图2.2

5、。可证明当 n时，t分布的极限是标准正态分布。故当n足够大（一般n45时，t分布的数值可查标准正态分布表。对给定的，（0 1），称满足 的点t(n)为t分布上的分位点（图23）。由t分布的对称性有 t1-a(n)=ta(n)第8页/共43页F分布 设，且 U、V相互独立，则称分子的分布为第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，记为FF（nl，n2）。其概率密度为 F分布的概率密度函数图形见图2.4。由定义可知，如 FF（nl，n2），则 对给定的,(01），称满足 的点F （nl，n2）为F（nl，n2）分布的分位点。第9页/共43页 F分布的分位点具有性质。此性质可用于求F分布表上未列出

6、的一些分位点。如 第10页/共43页22 参 数 估 计 22l点估计 利用样本X1，X2，,Xn构造一个函数 作为总体分布中未知参数的估计量，称为参数的点估计。2估计量的好坏标准无偏性：参数 的估计量若满足E=，则称为无偏估计量 都是的无偏估计量。因它们的数学期望都为。不是2的无偏估计量 才是2的无偏估计量第11页/共43页（2）有效性：总体方差小有效。因此 有效 第12页/共43页222区间估计 点估计是用一个估计值去估计参数。这个估计值是随机变量，不同的样本会得出不同的估计值，不知道它与的真值相差多少。我们希望估计有一个精度概念，保证的真值不超过某个范围。即希望给出两个端点值，使的真值以

7、比较大的概率被包含在这两个端点构成的区间之内。这就是区间估计。区间估计的定义：设为待估参数。给定数值（0 1），由样本X1，X2，Xn确定出两个统计量1与2，使 P（12）=l 则称随机区间（1,2）为置信区间。1与2分别称为的置信下限和置信上限。称为置信水平。第13页/共43页 置信度1-反映了区间（1,2）包含的概率，即估计的可靠性，而区间（1,2）的长度则反映了估计的精度。“可靠性”与“精度”两者是一对矛盾。1-越大，区间（1,2）包含的概率越大，其长度必定越大。若太大，则失去了估计意义。如果要求精度很高，即（1,2）的长度很短，1-必须减小，估计的可靠性即降低。正确的方法：在给定较大置

8、信度1-下（通常取l-=0.95或0.99），使（1,2）长度最小。第14页/共43页对正态总体的参数给出区间估计的方法。1已知总体方差2，对期望的区间估计总体X服从N（，2），则服从标准正态分布N（0，1）。对给定的，存在分位数，使 如取=0.05时，查正态分布表有u0.025=1.96，代人上式得即随机区间 包含的概率为0.95，不包含的概率为0.05。第15页/共43页例22分析胰腺组成中某种指定物质的含量，从6个分析数据中得到该物质的平均含量为32.56。长期分析中得到其均方差=0.12，试对此次分析中该物质含量在置信度0.95下给出区间估计。解：=0.05，查正态分布表，的置信度为0

9、.95的置信区间为即（32.46，32.66）,即该物质含量在32.46到32.66之间的可能性为0.95。第16页/共43页未知总体方差，对期望的区间估计。总体 XN（，2），由于2未知，用样本方差 S2代替，可证明 服从自由度为n1的t分布t（nl）。对给定的置信度 l，由t分布表可查得分位数，使第17页/共43页随机区间即为总体期望的置信度为 l的置信区间。第18页/共43页 例23用某仪器间接测量温度，重复测量10次，结果为1260，1250，1265，1245，1260，1275，1255，1250，1255，1270，问温度的真值在什么范围内？（置信度取0.95）解：=0.05，n

10、l=9，查 t分布表，t0.025(9)=2.262由所给出的数据算得了 温度真值的置信度为0.95的置信区间为（1258.57.13，1258.57.13），即（1251.37，1265.63）第19页/共43页 3对正态总体方差2的区间估计 以上讨论了总体期望的区间估计。实际问题中常需要研究稳定性、精度等问题，即需要对总体方差2进行区间估计。设样本（Xl，X2，Xn）来自正态总体XN（，2）。自然想到利用方差2的无偏估计来构造方差2的置信区间。可以证明，统计量 服从自由度为n1的x2分布。对给定的，可以选择1和2，使 P(12)1 从x2分布的图形可看到，X2分布不是对称性分布，故1与2的

11、选择可以有多种。为了方便，我们取1=X21-/2（n1）2=X2/2（n1）第20页/共43页其数值可从X2分布表中查得。由此可构造其置信区间。随机区间 即为总体方差 的置信度为 1的置信区间。第21页/共43页 例2.4 在例2.3中，求测量温度方差的置信区间（=0.05）。解：已算得S2=89.17 （n-1）S2=802.5查X2分布表，方差的置信度为0.95的置信区间为，即（42.2,297.2）。从而还可得出 均方差的置信区间为（6.50,17.24）。第22页/共43页23假设检验 在实际应用中，有时需要由样本来对总体参数的性质、分布的类型等作出分析推断。如对某种产品的工艺进行了改

12、革，需要判断工艺改革前后产品某项数量指标有无显著差异等。此类问题常需对总体的参数或分布的情形作出某种假设，并选择适当检验统计量，再根据样本的资料对所作假设进行检验，从而对总体的性质做出判断。这就是假设检验问题。第23页/共43页 例25洗衣粉包装机正常工作时，其包装量服从正态分布。根据多年的经验，其3克。某次检修后重新开机，令其包装量均值为500克。从装好的成品中任取一袋，测得重量为511克。问这时机器工作是否正常？解：包装量服从正态分布，3克。若假设均值500克，而抽取的子样x=511克，偏差为11克。在正态分布中，随机变量取值落在（-3，+3）即（491，509）之内的概率约为9973，而

13、落在此区间外的概率仅有027，现所取子样重量511克落在区间（491，509）之外。如此小的概率在一次抽样中竟然发生了，说明不正常。据此有理由认为此时机器运转不正常，包装量的均值不是500克。第24页/共43页 假设检验是一种带有概率性质的反证法。首先提出一个原假设H0（在例25中H0为500克），并把所考虑问题的反面称为备择假设H1（例25中Hl为500克），给出一个小概率（称为显著水平，通常取=0.01，0.05等），并选定检验统计量U。在假设H0成立的条件下，我们可以求出这样一个区域W，使统计量U落在区域W中的概率不大于。这样的区域W称为拒绝域。若根据实际抽得的样本算出统计量U的值落在W

14、之中，根据“小概率事件不会在一次试验中发生”的“实际推断原理”，则拒绝H0，认为原假设不成立。若统计量U的值落在W之外，则接受假设H0，认为原假设成立。231假设检验的基本概念 1基本原理第25页/共43页 2两类错误 假设检验依据的是实际推断原理但小概率事件并非绝对不可能发生。如买彩票中大奖的概率是几百万分之一，花两元钱买一注彩票，不能指望就会中大奖。但毕竟还是有人会中到。当原假设H0成立时，也有可能抽样算出的检验统计量值落在拒绝域内，使本来成立的H1被错误地拒绝了。这种错误称为“弃真”，犯“弃真”错误的概率就恰好等于显著水平。另一种可能，当原假设H0不成立时，而抽样算得统计量的值并未落在拒

15、绝域中，H0被错误地接受了。这种错误称为“取伪”错误。如例25中如果我们抽得一袋重量为505克，偏差仅为5克，我们认为包装机工作正常。但此时也完全可能均值已在510克。犯“取伪”错误概率计算较难，在此不做介绍。第26页/共43页 一般当样本容量n一定时，取得越小，即犯“弃真”错误的概率越小，拒绝域W必然越小，此时犯“取伪”错误的概率就越大。希望犯两类错误的概率同时都小很难。而在确定的情况下，要减少“取伪”错误的概率，只有增加样本容量n。在假设检验中，如果检验结果是拒绝H0，有说服力。因为在概率意义下找到了矛盾，才拒绝了H0。如果检验结果是接受H0则没有说服力，只是没有找到拒绝的理由。如果换一个

16、假设H0，也完全可能被接受。第27页/共43页3假设检验的步骤（l）提出原假设H0，从及备择假设 H1，与原假设H0对立。（2）选定适当检验统计量，在H0成立条件下确定统计量分布。（3）给定显著水平。（通常取0.05，0.01等）；（4）确定拒绝域 w。（5）判断：依据样本值算出统计量的数值。由此值是否落入拒绝域W中,作出拒绝还是接受H0的判断。假设检验通常分为参数检验与非参数检验两大类。前者如对总体均值和方差的检验，后者如对总体分布类型的检验。在此仅介绍对正态总体均值和方差的检验。第28页/共43页232单个正态总体参数的检验 1已知2，检验假设H0：=0 ，H1：0。在假设H0成立的条件下

17、，样本均值服从正态分布N(,2/n)，统计量 服从标准正态分布。在给定的显著水平下，查正态分布表得到分位点 ，使 检验的拒绝域为 这种利用服从正态分布的统计量作为检验统计量的检验方法称为检验法。第29页/共43页=0.1 U0.051.645，=0.05 U0.025l.96，=0.01 U0.0052.57。第30页/共43页 例26已知某炼铁厂铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N（4.55，0.1082）。某日测了五炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.20，4.37，4.35。若方差没有改变，问该日铁水含碳量均值有无变化？解：需检验假设H0：=4.55 方差已知，应采用检验法。算

18、出=4364 对于=0.05，查表得Z0.025=1.96，而U=-3.85u0或0 称为右单边检验 或 H0：=0，H1：0在假设H0成立的条件下，样本均值服从正态分布N(,2/n)，统计量 服从标准正态分布。在给定的显著水平下，查正态分布表得到分位点 ，使 检验的拒绝域为 已知2，检验假设H0：=0 ，H1：0检验的拒绝域为 第41页/共43页例：长期测得某工厂排放废水中某种有害物质含量均值为2.45ml/l，测定方差为0.32。改进处理方法后，采样测定8次，有害物质含量为：1.00，1.90，0.90，1.80，1.20，1.70，1.95，1.35 问改进处理方法有无效果。依题意：已知2，检验假设H0：=0 ，H1：0计算样本平均值为1.475取=0.01，n=8,查正态分布表得z=2.33由于U=-4.875-2.33,落入拒绝域，以此拒绝原假设，认为0，即改进处理方法后有效果第42页/共43页感谢您的观看。第43页/共43页