二维图形变换PPT讲稿.ppt

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1、二维图形变换1第1页，共92页，编辑于2022年，星期四4.5 4.5 二维图形变换二维图形变换 一、图形变换基本概念一、图形变换基本概念 1 1、定义、定义 即对原图形进行平移、旋转、缩小或放大等变换操作即对原图形进行平移、旋转、缩小或放大等变换操作。在计算机图形显示或绘图输入过程中，往往需要对图形在计算机图形显示或绘图输入过程中，往往需要对图形指定部分的形状、尺寸大小及显示方向进行修改，以达指定部分的形状、尺寸大小及显示方向进行修改，以达到改变整幅图形的目的，这就需要对图形进行平移、旋到改变整幅图形的目的，这就需要对图形进行平移、旋转、缩小或放大等变换操作。因此，图形变换是计算机转、缩小或

2、放大等变换操作。因此，图形变换是计算机绘图基本技术之一，利用它可以用一些很简单的图组合绘图基本技术之一，利用它可以用一些很简单的图组合成相当复杂的图，可以把用户坐标系下的图形变换到设成相当复杂的图，可以把用户坐标系下的图形变换到设备坐标系下。利用图形变换还可以实现二维图形和三维备坐标系下。利用图形变换还可以实现二维图形和三维图形之间转换，甚至还可以把静态图形变为动态图形，图形之间转换，甚至还可以把静态图形变为动态图形，从而实现景物画面的动态显示，下面主要讨论二维图形从而实现景物画面的动态显示，下面主要讨论二维图形变换。变换。2第2页，共92页，编辑于2022年，星期四 2 2、图形变换分类、图

3、形变换分类 图形变换有两种形式：图形变换有两种形式：视象变换视象变换:图形不动，而坐标系变动，即变换前图形不动，而坐标系变动，即变换前与变换后的图形是针对不同的坐标而言的，也称与变换后的图形是针对不同的坐标而言的，也称之为坐标模式之为坐标模式 几何变换几何变换:另一种是坐标系不动，而图形改变，即变另一种是坐标系不动，而图形改变，即变换前与变换后的坐标值是针对同一坐标系而言的，换前与变换后的坐标值是针对同一坐标系而言的，也称之为图形模式变换，也称之为图形模式变换，实际应用中后种图形变换更具有实际意义，实际应用中后种图形变换更具有实际意义，我们讨论的图形变换主要是属于后一种变换我们讨论的图形变换主

4、要是属于后一种变换 3第3页，共92页，编辑于2022年，星期四二、二维图形几何变换的基本原理二、二维图形几何变换的基本原理 1 1几何变换几何变换 在在计计算算机机绘绘图图应应用用中中，经经常常要要实实现现从从一一个个几几何何图图形形到到另另一一个个几几何何图图形形的的变变换换。例例如如，将将图图沿沿某某一一方方向向平平移移一一段段距距离离；将将图图形形旋旋转转一一定定的的角角度度；或或将将图图形形放放大大；反反之之把把图图形形缩缩小小等等等等。这这些些图图形形变变换换的的效效果果虽虽然然各各不不相相同同，本本质质上上却却都都是是依依照照一一定定的的规规则则，将将一一个个几几何何图图形形的的

5、点点都都变变为为另另一一个个几几何何图图形形的的确确定定的的点点，这这种种变变换换过过程程称称为为几几何变换。何变换。几何变换的规则是可以用函数来表示的。由于一个二维几何变换的规则是可以用函数来表示的。由于一个二维图形可以分解成点、直线、曲线。把曲线离散化，它可以图形可以分解成点、直线、曲线。把曲线离散化，它可以用一串短直线段来逼近；而直线段可以是一系列点的集合，用一串短直线段来逼近；而直线段可以是一系列点的集合，因此点是构成图形的基本几何元素之一。我们先来讨论点因此点是构成图形的基本几何元素之一。我们先来讨论点的几何变换的函数表示。的几何变换的函数表示。4第4页，共92页，编辑于2022年，

6、星期四 二维平面图形的几何变换是指在不改变图形连线次序二维平面图形的几何变换是指在不改变图形连线次序的情况下，对一个平面点集进行的线性变换。的情况下，对一个平面点集进行的线性变换。二二维维平平面面图图形形的的轮轮廓廓线线，不不论论是是由由直直线线段段组组成成（多多边边形形），还还是是由由曲曲线线段段组组成成，都都可可以以用用它它的的轮轮廓廓线线上上顺顺序序排排列列的的平平面面点点集集来来描描述述，例例如如长长方方形形ABCDABCD，是是由由四四个个角角点点A A（x x1 1，y y1 1），B B（x x2 2，y y2 2），C C（x x3 3，y y3 3），D D（x x4 4，y

7、 y4 4）顺顺序序连连接接而而成成，为为了了使使画画出出的的图图形形是是闭闭合合的的，首首尾尾两两点必须连接。点必须连接。5第5页，共92页，编辑于2022年，星期四 二二维维平平面面图图形形变变换换的的结结果果有有两两种种，一一是是使使图图形形产产生生位位置置的的改改变变；另一种是使图形产生变形，例如把图形放大。另一种是使图形产生变形，例如把图形放大。对二维图形进行几何变形有五种基本变换形式，它们是：平对二维图形进行几何变形有五种基本变换形式，它们是：平移、旋转、比例、对称和错切。移、旋转、比例、对称和错切。6第6页，共92页，编辑于2022年，星期四 2 2基本几何变换的解析表示基本几何

8、变换的解析表示 （l l）平移变换平移变换 平平面面上上一一点点P P（x x，y y），如如果果在在X X轴轴方方向向的的平平移移增增量量为为t tx x，在在Y Y轴方向平移增量为轴方向平移增量为t ty y时，则平移后所得新点时，则平移后所得新点P P(x x，y y)坐标表达式为：坐标表达式为：x x=x x+t tx x，y y=y y+t ty y 我们把这一变换称为平移变换。我们把这一变换称为平移变换。如如果果对对一一图图形形的的每每个个点点都都进进行行上上述述变变换换，即即可可得得到到该该图图形形的的平平移移变变换换。实实际际上上，直直线线的的平平移移变变换换，可可以以通通过过

9、对对其其定定义义端端点点的的平平移移变变换换来来实现，对于其它类型的变换这种处理方法也是可行的。实现，对于其它类型的变换这种处理方法也是可行的。平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状tytx7第7页，共92页，编辑于2022年，星期四（2 2）比例变换）比例变换 一一个个图图形形中中的的坐坐标标点点（x x，y y），若若在在X X轴轴方方向向有有一一个个比比例例系系数数S Sx x，在在Y Y轴轴方方向向有有一一个个比比例例系系数数S Sy y，则则该该图图形形的的新新坐坐标标点点（x x，y y）的表达式为的表达式为 x x=xSx

10、Sx x y y=ySySy y；这一变换称为比例变换。这一变换称为比例变换。比例变换不仅改变图形的位置，而且改变图形的大小比例变换不仅改变图形的位置，而且改变图形的大小 8第8页，共92页，编辑于2022年，星期四（3 3）旋转变换）旋转变换 若若图图形形中中的的坐坐标标点点（x x，y y）绕绕坐坐标标原原点点逆逆时时针针旋旋转转一一个个角角度度 ，则则该该点点变变换换后后的的新新坐坐标标（x x，y y）与与交交换换前前的的坐坐标标(x x，y y)的关系为：的关系为：x x=xcosxcos-ysinysiny y=xsinxsin+ycosycos 旋转变换只能改变图形的方位，而图形

11、的大小和形状不变，旋转变换只能改变图形的方位，而图形的大小和形状不变，9第9页，共92页，编辑于2022年，星期四（4 4）对称变换）对称变换如如果果经经过过变变换换后后所所得得到到的的图图形形与与变变换换前前的的图图形形关关于于X X坐坐标标轴轴是是对对称称的的，则则称称此此变变换换为为关关于于X X轴轴的的对对称称变变换换。经经过过这这一一变变换换后后的坐标点（的坐标点（x x，y y）与变换前的对应坐标点（与变换前的对应坐标点（x x，y y）的关系为：的关系为：x x=x x，y y=-=-y y 与与此此类类似似，若若变变换换前前后后的的图图形形关关于于Y Y轴轴对对称称，则则称称为

12、为关关于于Y Y轴的对称变换。这一变换前后点的坐标间的关系：轴的对称变换。这一变换前后点的坐标间的关系：x x=-=-x x，y y=y y当当图图形形对对X X轴轴和和Y Y轴轴都都进进行行对对称称变变换换时时，即即得得相相对对于于原原点点的的中中心心对对称变换。这一变换前后点的坐标之间的关系为：称变换。这一变换前后点的坐标之间的关系为：x x=-=-x x，y y=-=-y y对称变换只改变图形方位，不改变其形状和大小。对称变换只改变图形方位，不改变其形状和大小。10第10页，共92页，编辑于2022年，星期四11第11页，共92页，编辑于2022年，星期四（5 5）错切变换）错切变换如如

13、果果变变换换前前坐坐标标点点（x x，y y）与与变变换换后后对对应应的的新新坐坐标标点点（x x，y y）的关系为：的关系为：x x=x x+cy cy，y y=y y我们称这一变换为沿我们称这一变换为沿X X轴的错切变换，式中轴的错切变换，式中c c为错切系数为错切系数与此类似，若变换前后对应点的坐标关系为：与此类似，若变换前后对应点的坐标关系为：x x=x x，y y=y y+bx bx 则称此变换为沿则称此变换为沿Y Y轴的错切变换，其中轴的错切变换，其中b b为错切系数。为错切系数。错错切切变变换换不不仅仅改改变变图图形形的的形形状状，而而且且改改变变图图形形的的方方位位，但但图图形

14、形中中的平行关系不变，的平行关系不变，12第12页，共92页，编辑于2022年，星期四一一般般把把上上述述变变换换统统称称为为基基本本的的图图形形变变换换，绝绝大大部部分分复复杂杂的图形变换都可以通过这些基本交换的适当组合来实现。的图形变换都可以通过这些基本交换的适当组合来实现。13第13页，共92页，编辑于2022年，星期四二、几何变换的矩阵表示形式二、几何变换的矩阵表示形式 1.1.变换矩阵变换矩阵任何一个复杂图形都是由任意多个有序点集连线而成。在解析几何任何一个复杂图形都是由任意多个有序点集连线而成。在解析几何学中。在二维空间内，平面上的点可以用一行两列矩阵学中。在二维空间内，平面上的点

15、可以用一行两列矩阵x yx y或或两行一列矩阵来表示。由此，一个由两行一列矩阵来表示。由此，一个由n n个点的坐标组成的复杂个点的坐标组成的复杂图形可以用图形可以用nn2 2阶矩阵表示：阶矩阵表示：这种图形的表示法称为二维图形的矩阵表示法。这种图形的表示法称为二维图形的矩阵表示法。14第14页，共92页，编辑于2022年，星期四由此可知，图形的变换可用矩阵运算来实现。具体说就由此可知，图形的变换可用矩阵运算来实现。具体说就是由构成图形的点集的矩阵与是由构成图形的点集的矩阵与T=T=矩阵乘法运算，矩阵乘法运算，即即我们称我们称T=T=为二维图形变换矩阵，其中点集中任为二维图形变换矩阵，其中点集中

16、任意一点（意一点（x x，y y）变换后坐标为：变换后坐标为：15第15页，共92页，编辑于2022年，星期四 这是我们熟悉的关于直角坐标变换因子。这是我们熟悉的关于直角坐标变换因子。由上式可知，变换矩阵由上式可知，变换矩阵 中各元素决定着图形中各元素决定着图形各种不同变换各种不同变换。16第16页，共92页，编辑于2022年，星期四2 2二维基本变换的矩阵表示二维基本变换的矩阵表示（1 1）比例变换）比例变换 若令变换矩阵若令变换矩阵 则写成矩阵形式为：则写成矩阵形式为：若取若取a=3 d=1 a=3 d=1 对点（对点（2 2，3 3）做变换）做变换,则则 可以看出，可以看出，a1a1，d

17、=1 d=1，变换后图形沿变换后图形沿X X方向放大，方向放大，显然，当显然，当00a1a1d1时，则使图形沿时，则使图形沿Y Y方向放大方向放大17第17页，共92页，编辑于2022年，星期四a a11，d=1 d=1，变换后图形变换后图形沿沿X X方向放大方向放大 当当a=1a=1，d1d1时，则使图时，则使图形沿形沿Y Y方向放大方向放大 18第18页，共92页，编辑于2022年，星期四若取若取a=1a=1，d=0d=0，图形沿图形沿Y Y方向压缩成线段，如下图所示方向压缩成线段，如下图所示当当a=1a=1，d=1d=1变换后图形没有变化，称这种变换矩阵为恒等矩阵。变换后图形没有变化，称

18、这种变换矩阵为恒等矩阵。19第19页，共92页，编辑于2022年，星期四若取若取a=d=1.5a=d=1.5对下图中（对下图中（a a）矩阵矩阵1 2 3 41 2 3 4做变换，则做变换，则各点在各点在X X，Y Y两个方向产生相等的比例变换，即变换后图形两个方向产生相等的比例变换，即变换后图形和变换前图形相似，相似中心为坐标原点和变换前图形相似，相似中心为坐标原点。若若adad时时，使使图图形形在在X X和和Y Y两两个个方方向向产产生生不不相相等等比比例例变变换换。下图下图(b)b)是是a=2,d=1.5a=2,d=1.5时对时对(a)a)中矩阵中矩阵12341234变换结果。变换结果。

19、图图(c)c)是取是取a=2,d=0.5a=2,d=0.5对矩阵对矩阵12341234变换结果，变换后变换结果，变换后图形在图形在X X方向放大，在方向放大，在Y Y方向缩小。方向缩小。20第20页，共92页，编辑于2022年，星期四（2 2）对称变换）对称变换 令变换矩阵令变换矩阵T T 中中a a=-1,=-1,d d=1,=1,即即 使图形对使图形对Y Y轴对称轴对称例如：例如：如下图所示如下图所示 21第21页，共92页，编辑于2022年，星期四当当a=1a=1，d=d=1 1时，图形对时，图形对X X轴对称即轴对称即当当 时，图形对时，图形对+45+45度线对称度线对称 当当 时，图

20、形时，图形4545度线对称度线对称 图形对图形对+45+45度线对称度线对称图形对图形对-45-45度线对称度线对称22第22页，共92页，编辑于2022年，星期四（3 3）错切变换）错切变换 当变换矩阵中的当变换矩阵中的a a=d d=1=1，b b与与c c中一个为零，另一个为正中一个为零，另一个为正 数或负数时，即数或负数时，即 ，它对图形的作用是使图，它对图形的作用是使图 形产生沿一个坐标方向错切。形产生沿一个坐标方向错切。由由此此可可见见，点点的的X X坐坐标标不不变变。y y=kx+ykx+y，即即在在原原来来坐坐标标上上加加上上kxkx，即即沿沿+Y Y方方向向移移动动kxkx值

21、值。点点（0 0，0 0）则则是是不不移移动动的的。K K是是一一个个常常数数，所所以以tg=kx/x=ktg=kx/x=k，即即平平行行X X轴轴的的线线段段对对X X轴轴倾倾斜斜角角度。度。=45=45度时，度时，k=1k=1。23第23页，共92页，编辑于2022年，星期四例如：例如：由下图可见，图形沿由下图可见，图形沿+Y Y方向错切，这是对在第一象限内的点方向错切，这是对在第一象限内的点而言。而言。当当 时，它使第一象限内图形沿时，它使第一象限内图形沿+X X方向错切方向错切 第一像限内图形沿第一像限内图形沿+Y Y方向错切方向错切第一像限内图形沿第一像限内图形沿+X X方向错切方向

22、错切24第24页，共92页，编辑于2022年，星期四（4 4）旋转变换）旋转变换 旋转变换是指坐标轴不动，点或图形绕坐标原点旋转旋转变换是指坐标轴不动，点或图形绕坐标原点旋转角，角，以逆时针方向取正值。如下图所示，其变换矩阵以逆时针方向取正值。如下图所示，其变换矩阵则则 25第25页，共92页，编辑于2022年，星期四逆时钟旋转逆时钟旋转=90=90度时，变换矩阵度时，变换矩阵顺时针旋转顺时针旋转=-90=-90度时，度时，=180 =180度时，度时，下图是矩阵旋转下图是矩阵旋转3030度的情况，其坐标变换如下：度的情况，其坐标变换如下：26第26页，共92页，编辑于2022年，星期四三、二

23、维图形齐次坐标矩阵变换三、二维图形齐次坐标矩阵变换1 1、齐次坐标与平移变换齐次坐标与平移变换前面四种变换都可以通过变换矩阵前面四种变换都可以通过变换矩阵来来实实现现，那那么么它它是是否否适适合合于于平平移移变变换换呢呢？若若实实现现平平移移变变换换，变换前后的坐标必须满足下面的关系：变换前后的坐标必须满足下面的关系：这这里里t tx x，t ty y是是平平移移量量，应应为为常常数数，但但是是应应用用上上述述的的变变换换矩矩阵阵对对点点进进行变换：行变换：27第27页，共92页，编辑于2022年，星期四而这里的而这里的cycy，bxbx均非常量，因此用原来的均非常量，因此用原来的2222的变

24、换矩阵是无的变换矩阵是无法实现平移变换的，我们把法实现平移变换的，我们把2222矩阵扩充为矩阵扩充为3232矩阵，即令：矩阵，即令：但这样又带来新的问题，二维图形的点集矩阵是但这样又带来新的问题，二维图形的点集矩阵是n2n2阶的，而变换阶的，而变换矩阵是矩阵是3232阶的，根据矩阵乘法规则，它们是无法相乘的。为此，阶的，根据矩阵乘法规则，它们是无法相乘的。为此，我们把点向量也作扩充，将我们把点向量也作扩充，将 扩展为扩展为 ,即把点集矩阵扩充为即把点集矩阵扩充为n3n3阶阶矩阵。这样，点集矩阵与变换矩阵即可以进行乘法运算：矩阵。这样，点集矩阵与变换矩阵即可以进行乘法运算：28第28页，共92页

25、，编辑于2022年，星期四对点进行平移变换：对点进行平移变换：对点进行平移变换：对点进行平移变换：这里这里L L，m m分别为分别为x x，y y方向的平移量。方向的平移量。为为使使二二维维变变换换矩矩阵阵具具有有更更多多的的功功能能，可可将将3232变变换换矩矩阵阵进进一步扩充成一步扩充成3333阶矩阵，即：阶矩阵，即：则平移变换矩阵为：则平移变换矩阵为：29第29页，共92页，编辑于2022年，星期四对点进行平移变换：对点进行平移变换：30第30页，共92页，编辑于2022年，星期四例：设例：设l=20l=20，m=20m=20，对下图中的字母对下图中的字母T T做平移变换得：做平移变换得

26、：31第31页，共92页，编辑于2022年，星期四如上讨论，在平移变换中，我们将如上讨论，在平移变换中，我们将 扩充为扩充为 ，实际上是由二维向量变为三维向量，实际上是由二维向量变为三维向量，但但 可可以以看看作作是是z z=1 1平平面面上上的的点点，也也就就是是说说，经经此此扩扩充充后后，图图形形落落在在了了z z=1 1的的平平面面上上，它它对对图图形形的的形形状状没没有有影影响。响。这这种种用用三三维维向向量量表表示示二二维维向向量量的的方方法法叫叫做做齐齐次次坐坐标标法法。进一步推广，用进一步推广，用n+1n+1维向量表示维向量表示n n维向量的方法称之为齐次坐标法。维向量的方法称之

27、为齐次坐标法。32第32页，共92页，编辑于2022年，星期四2 2二维图形齐次坐标矩阵变换二维图形齐次坐标矩阵变换对对于于前前面面介介绍绍基基本本变变换换可可用用二二维维图图形形齐齐次次坐坐标标变变换换矩矩阵阵一一般表达式般表达式这这3333矩阵中各元素功能一共可分成四块，即矩阵中各元素功能一共可分成四块，即 这个这个2222子矩阵可以实现图形的比例、对称、子矩阵可以实现图形的比例、对称、错切、旋转等基本变换；错切、旋转等基本变换；可以实现图形平移变换；可以实现图形平移变换；可以实现图形透视变换；可以实现图形透视变换；可以实现图形全比例变换。可以实现图形全比例变换。33第33页，共92页，编

28、辑于2022年，星期四例如，用矩阵例如，用矩阵 对图形进行变换：对图形进行变换：当当s1s1s1时，图形产生整体比例缩小。时，图形产生整体比例缩小。当当s=1s=1时，图形大小不变。时，图形大小不变。由由此此表表明明，齐齐次次坐坐标标的的应应用用，扩扩大大了了变变换换矩矩阵阵功功能能，只只要要对对矩矩阵阵中中有关元素赋以不同的有关元素赋以不同的 值，即可达到预期变换目的。值，即可达到预期变换目的。34第34页，共92页，编辑于2022年，星期四35第35页，共92页，编辑于2022年，星期四对称变换36第36页，共92页，编辑于2022年，星期四四、组合变换四、组合变换 上上述述的的五五种种二

29、二维维图图形形几几何何变变换换是是二二维维图图形形几几何何变变换换中中的的最最基基本本的的几几何何变变换换，在在进进行行这这些些基基本本的的几几何何变变换换时时，我我们们给给定定了了一一些些特特定定的的约约束束条条件件，如如:旋旋转转变变换换是是指指绕绕坐坐标标原原点点的的旋旋转转，比比例例变变换换是是关关于于坐坐标标原原点点的的放放大大或或缩缩小小等等等等，因因而而是是几几何何变变换换中中的的一一些些简简单单情情形形。实实际际中中的的二二维维图图形形作作几几何何变变换换时时要要复复杂杂得得多多，往往往往是是多多种种基基本本的的几几何何变变换换复复合合而而成成的的，因因此此我我们们把把由由若若

30、干干个个基基本本的的几几何何变变换换复复合合而而成成为为一一个个几几何何变变换换的的过过程程称称为为组组合合变变换换也也称称为为几几何何变换的级联。变换的级联。37第37页，共92页，编辑于2022年，星期四1 1绕任意点旋转变换绕任意点旋转变换平平面面图图形形绕绕任任意意点点p p（x xp p，y yp p）旋旋转转角角，需需要要通通过过以以下下几几个个步步骤来实现：骤来实现：（1 1）将旋转中心平移到原点，变换矩阵为：）将旋转中心平移到原点，变换矩阵为：YXp p（x xp p，y yp p）38第38页，共92页，编辑于2022年，星期四（2 2）将图形绕坐标系原点旋转角将图形绕坐标系

31、原点旋转角 ，变换矩阵为：变换矩阵为：YX（3 3）将旋转中心平移回到原来位置，变换矩阵为：将旋转中心平移回到原来位置，变换矩阵为：YX39第39页，共92页，编辑于2022年，星期四因此，绕任意点因此，绕任意点p p的旋转变换矩阵为：的旋转变换矩阵为：显然，当显然，当x xp p=0=0，y yp p=0=0时，即为对原点的旋转变换矩阵。时，即为对原点的旋转变换矩阵。40第40页，共92页，编辑于2022年，星期四2 2对任意点做比例变换对任意点做比例变换 设任意一点设任意一点p p（x xp p，y yp p），作比例变换需通过以下步骤来完成：作比例变换需通过以下步骤来完成：（1 1）将）

32、将P P点移到坐标原点，变换矩阵为：点移到坐标原点，变换矩阵为：YX41第41页，共92页，编辑于2022年，星期四（2 2）作关于原点的比例变换，变换矩阵为：）作关于原点的比例变换，变换矩阵为：（3 3）对原点作反平移变换，移到原来的位置：）对原点作反平移变换，移到原来的位置：YXYX42第42页，共92页，编辑于2022年，星期四对任意点对任意点P P作比例变换，其变换矩阵为作比例变换，其变换矩阵为 43第43页，共92页，编辑于2022年，星期四3 3对任意直线对称变换对任意直线对称变换如如下下图图所所示示，设设任任意意直直线线的的方方程程为为：Ax+By+C=0Ax+By+C=0，直直

33、线线在在X X轴轴和和Y Y轴轴上上的的截截矩矩分分别别C/AC/A和和C/BC/B，直直线线与与X X轴轴的的夹夹角角为为，=arctg=arctg(A/B)A/B)。YX-C/B-C/A44第44页，共92页，编辑于2022年，星期四对任意直线的对称变换由以下几个步骤来完成：对任意直线的对称变换由以下几个步骤来完成：（1 1）平平移移直直线线，使使其其通通过过原原点点（可可以以沿沿X X向向和和Y Y向向平平移移，这这里里沿沿X X向将直线平移到原点），变换矩阵为：向将直线平移到原点），变换矩阵为：YX45第45页，共92页，编辑于2022年，星期四（2 2）绕原点旋转，使直线与某坐标轴重

34、合（这里以与）绕原点旋转，使直线与某坐标轴重合（这里以与X X轴重合为轴重合为例），变换矩阵如下：例），变换矩阵如下：YX46第46页，共92页，编辑于2022年，星期四（3 3）对坐标轴对称变换（这里是对）对坐标轴对称变换（这里是对X X轴），其变换矩阵为：轴），其变换矩阵为：YX47第47页，共92页，编辑于2022年，星期四（4 4）绕绕原原点点旋旋转转，使使直直线线回回到到原原来来与与X X轴轴成成角角的的位位置置，变变换换矩矩阵为：阵为：YX48第48页，共92页，编辑于2022年，星期四（5 5）平移直线，使其回到原来的位置，变换矩阵为：）平移直线，使其回到原来的位置，变换矩阵为：

35、X49第49页，共92页，编辑于2022年，星期四通通过过以以上上五五个个步步骤骤，即即可可实实现现图图形形对对任任意意直直线线的的对对称称变变换换，其其组合变换矩阵如下：组合变换矩阵如下：50第50页，共92页，编辑于2022年，星期四综综合合上上述述，复复杂杂变变换换是是通通过过基基本本变变换换组组合合而而成成的的，由由于于矩矩阵阵乘乘法法不不适适用用于于交交换换律律，即即，因因此此，组组合合变变换换顺顺序序不不能能颠颠倒倒，顺顺序序不不同同，则则变换结果不同。变换结果不同。51第51页，共92页，编辑于2022年，星期四例例4 43 3 各各顶顶点点坐坐标标A A（3 3，0 0），B

36、B（4 4，2 2），C C（6 6，0 0）使使其绕原点转其绕原点转9090度，再向度，再向X X方向平移方向平移2 2，Y Y方向平移方向平移1 1。因因=90=90O O 则变换矩阵：则变换矩阵：52第52页，共92页，编辑于2022年，星期四如果先进行平移变换，再进行旋转变换，则矩阵为：如果先进行平移变换，再进行旋转变换，则矩阵为：由于变换顺序不同，其结果也不同。由于变换顺序不同，其结果也不同。53第53页，共92页，编辑于2022年，星期四例例4 44 4 设设有有一一三三角角形形ABCABC，其其三三个个顶顶点点坐坐标标为为A A（2 2，4 4），B B（2 2，2 2），），C

37、 C（5 5，2 2），），求对于直线求对于直线2 2x+3y+3=0 x+3y+3=0的对称变换后的对称变换后其中其中 =arcty(-A/B)=arcty(2/3)=arcty(-A/B)=arcty(2/3)33330 0414154第54页，共92页，编辑于2022年，星期四变换后的如下图所示。变换后的如下图所示。55第55页，共92页，编辑于2022年，星期四4.6 4.6 二维图像裁剪二维图像裁剪一、概述一、概述1 1、定义、定义 为为了了描描述述图图形形对对象象，我我们们必必须须存存储储它它的的全全部部信信息息，但但有有时时为为了了达达到到分分区区描描述述或或重重点点描描述述某某

38、一一部部分分的的目目的的，往往往往将将要要描描述述的的部部分分置置于于一一个个窗窗口口之之内内，而而将将窗窗口口之之外外部部“剪剪掉掉”，这这个个处处理理过过程程叫做裁剪。叫做裁剪。裁裁剪剪实实质质上上是是从从数数据据集集合合中中抽抽取取信信息息的的过过程程，这这个个过过程程是是通通过过一一定定计计算算方方法法实实现现的的。裁裁剪剪就就是是将将指指定定窗窗口口作作为为图图形形边边界界，从从一一幅幅大大的的画画面面中中抽抽取取所所需需的的具具体体信信息息，以以显显示示某某一一局局部部画画面面或或视图。视图。第四章第四章 二维图形生成和变换技术二维图形生成和变换技术 4.1 4.1 基本绘图元素基

39、本绘图元素 4.2 4.2 直线段的生成直线段的生成 4.3 4.3 曲线的生成曲线的生成 4.4 4.4 区域填充区域填充 4.5 4.5 二维图形变换二维图形变换 4.6 4.6 二维图像剪裁二维图像剪裁 56第56页，共92页，编辑于2022年，星期四 在实际应用中，经常会遇到一些大而复杂的图形，如集成在实际应用中，经常会遇到一些大而复杂的图形，如集成电路布线图、建筑结构图、地形地貌图等。由于显示屏幕的尺电路布线图、建筑结构图、地形地貌图等。由于显示屏幕的尺寸及其分辨率限制，这样复杂的图形往往不能全部显示出来，寸及其分辨率限制，这样复杂的图形往往不能全部显示出来，即使将它们采用比例变换后

40、全部显示在同一屏幕上，也只能表即使将它们采用比例变换后全部显示在同一屏幕上，也只能表现一个大致轮廓，并且图形拥挤不清。因此对复杂图形，一般现一个大致轮廓，并且图形拥挤不清。因此对复杂图形，一般只能显示它的局部内容，我们在研究某复杂图形时，往往对某只能显示它的局部内容，我们在研究某复杂图形时，往往对某特定画面感兴趣，在这种情况下，我们将这一特定区域放大后特定画面感兴趣，在这种情况下，我们将这一特定区域放大后显示出来，而把周围画面部分全部擦除，这样可清晰地观察其显示出来，而把周围画面部分全部擦除，这样可清晰地观察其细节部分细节部分 57第57页，共92页，编辑于2022年，星期四我我们们假假定定裁

41、裁剪剪是是针针对对用用户户坐坐标标中中窗窗口口边边界界进进行行的的，裁裁剪剪完完成成后后，再再把把窗窗口口内内图图形形映映射射到到视视区区。所所以以裁裁剪剪的的目目的的是是显显示示可可见见点点和和可可见见部部分分，删删除除视视区区外外的的部部分分。例例如如，下下图图（a a）定定义义了了一一个个矩矩形形窗窗口口A AB BC CD D，窗窗口口内内会会有有EFGEFG的的一一部部分分，而而直直线线段段EGEG、FGFG都都有有一一部部分分在在窗窗口口外外。然然后后将将落落在在窗窗口口内内这这部部分分图图形形传传送送到到视视图图区区内内显显示示，如如图图（b b）所所示示。此此时时，窗窗口口外那

42、部分被裁剪掉。外那部分被裁剪掉。58第58页，共92页，编辑于2022年，星期四二、二、窗口区和视图区窗口区和视图区用户域：在进行图形设计时，图形输出程序中的图形都用户域：在进行图形设计时，图形输出程序中的图形都 是在用户坐标系中定义的。此坐标系拥有的区是在用户坐标系中定义的。此坐标系拥有的区 域在理论上是无限的，在使用时我们可以把它域在理论上是无限的，在使用时我们可以把它 当作是一个有限的矩形区，即用户域。当作是一个有限的矩形区，即用户域。窗口区：用户可以在用户域中指定任意区域输出到屏幕窗口区：用户可以在用户域中指定任意区域输出到屏幕 上，这个指定区域称为窗口区，简称窗口（上，这个指定区域称

43、为窗口区，简称窗口（WindowWindow）如如图图所所示示的的矩矩形形 ABCD ABCD 就就是是我我们们定定义义的的一一个个窗窗口口。我我们们可可用用该该矩矩形形的的左左下下角角和和右右上上角角两两点点坐坐标标来来定定义义其其大大小小和和位位置置。因因此此，定定义义窗窗口口的的目目的的就就是是选选取取用用户户所所定定义义的的图图形形中中需需要要观察的那一部分图形。观察的那一部分图形。窗口区，用左窗口区，用左下角和右上角下角和右上角来定义来定义59第59页，共92页，编辑于2022年，星期四视视图图区区：简简称称视视图图（ViewportViewport），是是在在屏屏幕幕上上定定义义的

44、的一一个个小小于于或或等等于于屏屏幕幕区区域域一一个个矩矩形形块块。同同样样也也是是用用该该矩矩形形左左下下角角和和右右上上角角两两点点坐坐标标来来定定义义大大小小和和位位置置。视视图图区区可可用用来来显显示示某某一一窗窗口口内内图图形形。所所以以人人们们利利用用窗窗口口来来选选择择需需要要观观察察那那一一部部分分图图形形，而而利利用用视视图图区区来来指指定定这这一一部部分分图图形形在在屏屏幕幕上上显显示示位位置置。下下图图表表示示窗窗口与视图关系。口与视图关系。屏幕屏幕视图区视图区窗口区窗口区60第60页，共92页，编辑于2022年，星期四 在在交交互互式式图图形形设设计计中中，通通常常把把

45、一一个个屏屏幕幕分分为为几几个个视视图图区区，每每个个视视图图区区都都有有各各自自用用途途，如如图图所所示示，视视图图区区1 1为为用用户户图图形形区区，视视图图区区2 2为为命命令令区区，视视图图区区3 3是是信信息息区区。同同时时用用户户图图形形区区还还可可分分为各个子区，以满足用户显示多层窗口的需要。为各个子区，以满足用户显示多层窗口的需要。由由于于窗窗口口和和视视图图是是在在不不同同坐坐标标系系中中定定义义的的，因因此此，在在把把窗窗口口中中图图形形信信息息送送到到视视图图区区之之前前，必必须须进进行行坐坐标标变变换换，即即把把用用户户坐坐标标系系的的坐坐标标值值转转化化为为设设备备（

46、屏屏幕幕）坐坐标标系系的的坐坐标标值值，这这个个变变换换称称窗窗口口视图变换。视图变换。61第61页，共92页，编辑于2022年，星期四如如图图所所示示，设设在在用用户户坐坐标标系系下下定定义义的的窗窗口口为为：左左下下角角点点坐坐标标（W Wxlxl，W Wybyb），右右上上角角点点坐坐标标（W Wxrxr，W Wytyt）；在在设设备备坐坐标标系系中中定定义义的的视视区区为为：左左下下角角点点坐坐标标（V Vxlxl，V Vybyb），右右上上角角点点坐坐标标（V Vxrxr ，V Vytyt）。）。62第62页，共92页，编辑于2022年，星期四由图可知：由图可知：由（由（4-244-

47、24）式得窗口中一点）式得窗口中一点P(xP(xW W,y,yW W)变换到视区中对应的点变换到视区中对应的点V(xV(xV V,y,yV V)二者之间的关系为：二者之间的关系为：设设:63第63页，共92页，编辑于2022年，星期四则（则（4.254.25）式可写成：）式可写成：写成矩阵形式：写成矩阵形式：64第64页，共92页，编辑于2022年，星期四由此可见窗口由此可见窗口视图变换是比例变换和平移变换的组合变视图变换是比例变换和平移变换的组合变换。先进行平移变换将窗口左下角坐标移到用户坐标原点，换。先进行平移变换将窗口左下角坐标移到用户坐标原点，接着进行比例变换，使窗口中各点比例变换到设

48、备坐标系接着进行比例变换，使窗口中各点比例变换到设备坐标系（屏幕）中，最后再作平移交换，使原点移到视图左下角。（屏幕）中，最后再作平移交换，使原点移到视图左下角。通过窗口通过窗口视图变换，我们就实现了将用户坐标系中窗口区视图变换，我们就实现了将用户坐标系中窗口区中任意一点转换成设备坐标系中屏幕视图区中一点变换，从而中任意一点转换成设备坐标系中屏幕视图区中一点变换，从而就可以把实际物体图形显示在显示器上，但要注意：为了使经就可以把实际物体图形显示在显示器上，但要注意：为了使经过窗口过窗口视图变换后的图形在视图区中输出时不产生失视图变换后的图形在视图区中输出时不产生失真现象，在定义窗口和视图时，必

49、须保证使窗口和视图区真现象，在定义窗口和视图时，必须保证使窗口和视图区高度和宽度之间比例相同。高度和宽度之间比例相同。65第65页，共92页，编辑于2022年，星期四三、三、直线段裁剪直线段裁剪 1 1、点的剪裁、点的剪裁 裁裁剪剪的的过过程程就就是是对对窗窗口口内内每每个个图图形形元元素素都都得得划划分分一一下下可可见见部部分分和和不不可可见见部部分分。裁裁剪剪可可以以在在各各种种不不同同类类型型的的图图形形元元素素上上实实现现，如点、向量、直线段、字符以及多边形等。如点、向量、直线段、字符以及多边形等。裁剪算法中最基本的情况是点的裁剪。判断某一点裁剪算法中最基本的情况是点的裁剪。判断某一点

50、P P（x x，y y）是否可见，可以利用下列一对不等式来确定该点是否在窗口是否可见，可以利用下列一对不等式来确定该点是否在窗口范围内。范围内。如图所示如图所示:W Wxl xl x xW W W Wxrxr W Wyb yb y yW W W Wytyt 满满足足上上述述两两个个不不等等式式的的点点即即在在窗窗口口内内，属属于于可可见见的的点点，应应该保留；反之，则该点不可见，应予舍弃。该保留；反之，则该点不可见，应予舍弃。WytWybWxlWxr66第66页，共92页，编辑于2022年，星期四 2 2、直线段与窗口关系、直线段与窗口关系 点点的的裁裁剪剪虽虽然然很很简简单单，但但要要把把所