时正射影和三垂线定理.pptx

《时正射影和三垂线定理.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《时正射影和三垂线定理.pptx（28页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、温故夯基温故夯基1直线直线a平面平面的判定定理为的判定定理为mnO，m，n，am，ana.2若若ab，a，则，则_3若若a，b，则，则_b.ab.第1页/共29页知新益能知新益能1过一点向平面引过一点向平面引_，_叫做这个点在这个叫做这个点在这个平面内的射影这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面内的射影这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的平面的_2一条直线和一个平面一条直线和一个平面_，但不和这个平面，但不和这个平面_时，这条直线就叫做这个平面的时，这条直线就叫做这个平面的_，斜线和平面的，斜线和平面的交点叫交点叫_从平面外一点向平面引斜线，这点与从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫

2、做这点到这个平面的斜足间的线段叫做这点到这个平面的_垂线垂线垂足垂足垂线段垂线段相交相交垂直垂直斜线斜线斜足斜足斜线段斜线段第2页/共29页3在在_的一条直线，如果和这个平面的的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的一条斜线的_垂直，那么它也和这条垂直，那么它也和这条_垂直；反之，如果和这个平面的一条垂直；反之，如果和这个平面的一条_垂直，垂直，那么它也和这条斜线的那么它也和这条斜线的_垂直垂直平面内平面内射影射影射影射影斜线斜线斜线斜线第3页/共29页问题探究问题探究1从平面外同一点出发的斜线段在该平面内的射影从平面外同一点出发的斜线段在该平面内的射影长受斜线段长的影响吗？长受斜线段长的影响吗

3、？提示：提示：受影响相等的斜线段的射影也相等，较长受影响相等的斜线段的射影也相等，较长的斜线段的射影也较长，反之射影相等的斜线段相的斜线段的射影也较长，反之射影相等的斜线段相等，射影较长的斜线段也较长等，射影较长的斜线段也较长第4页/共29页2“三垂线定理三垂线定理”及及“逆定理逆定理”中中“平面内平面内”这个条件能否这个条件能否省略？省略？提示：提示：两个定理中两个定理中“平面内平面内”这个条件不能省略，否则不这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明这是因为：由三垂线定理一定成立，需要进一步证明这是因为：由三垂线定理及其逆定理的证明过程可知，只有平面内的直线若能满及其逆定理的证明过程

4、可知，只有平面内的直线若能满足和斜线的射影垂直，才能保证和斜线与垂线所在平面足和斜线的射影垂直，才能保证和斜线与垂线所在平面垂直，只有线面垂直才能保证线线垂直垂直，只有线面垂直才能保证线线垂直第5页/共29页题型一题型一 图形在某个平面上的射影图形在某个平面上的射影课堂互动讲练课堂互动讲练图形在某个平面上的投影就是从图形上每个点向图形在某个平面上的投影就是从图形上每个点向平面引垂线，垂足点所形成的图形一般是找图平面引垂线，垂足点所形成的图形一般是找图形各顶点的射影点形各顶点的射影点第6页/共29页 如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，P为为正方体的中心，则正方体的中心，

5、则PAC在该正方体各个面上的射在该正方体各个面上的射影可能是影可能是_(要求：把可能的图的序号要求：把可能的图的序号都填上都填上)【思路点拨思路点拨】找图形边界点的投影点，再连线找图形边界点的投影点，再连线例例1 1第7页/共29页【解析解析】由于由于A、C在下底面上的射影是它们各自本在下底面上的射影是它们各自本身，身，P在下底面上的射影是在下底面上的射影是AC中点，故中点，故PAC在下底面在下底面上的射影是下底面对上的射影是下底面对角线角线AC.因此，图因此，图是可能的，是可能的，且且PAC在上底面上的射影是在上底面上的射影是上底面对角线上底面对角线A1C1也是图也是图的的情形；而情形；而A

6、在侧面在侧面BC1上的射影是上的射影是B，P在侧面在侧面BC1上的上的射影是侧面射影是侧面BC1的中心，故图的中心，故图也是可能的同理，可也是可能的同理，可知知PAC在其他三个侧面上的射影也都是图在其他三个侧面上的射影也都是图的情形，的情形，于是图于是图、是不可能的因此，所有可能的情形是图是不可能的因此，所有可能的情形是图、图、图.【答案答案】第8页/共29页【名师点评名师点评】本题侧重于考查数学语言向图形本题侧重于考查数学语言向图形语言的转化，并根据这两种语言提供的信息展开语言的转化，并根据这两种语言提供的信息展开空间想象，去伪存真，它对于空间想象能力和思空间想象，去伪存真，它对于空间想象能

7、力和思维判断能力有着较高的要求，是近几年高考题型维判断能力有着较高的要求，是近几年高考题型改革较为成功的一种题型改革较为成功的一种题型第9页/共29页题型二题型二 三垂线定理及逆定理的应用三垂线定理及逆定理的应用三垂线定理及其逆定理主要用来证明线线垂直时省去三垂线定理及其逆定理主要用来证明线线垂直时省去其中线面垂直的过程其中线面垂直的过程从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面直线垂直、证明异面直线垂直的问题，逆定理相反直线垂直、证明异面直线垂直的问题，逆定理相反利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图利用三垂线定理及其逆定理的关键是要

8、善于从各种图形中找出形中找出“平面的垂线平面的垂线”“平面的斜线平面的斜线”“斜线的射影斜线的射影”第10页/共29页 (2010年高考陕西卷改编年高考陕西卷改编)如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，PA平面平面ABCD，APAB2，BC2 ，E、F分别是分别是AD、PC的中点的中点证明：证明：PC平面平面BEF.【思路点拨思路点拨】结合量的计算寻找结合量的计算寻找PCBF、PCBE.例例2 2第11页/共29页【证明证明】PA平面平面ABCD，PAAB，PAAB2PB2 .PBBC.又又F为为PC的中点，的中点，BFPC.连结连结AC.设设ACBEG

9、，AC为为PC在平面在平面ABCD上的射影上的射影第12页/共29页【思维总结思维总结】运用三垂线定理及逆定理，其关运用三垂线定理及逆定理，其关键是准确识别或作出构成定理的五个元素键是准确识别或作出构成定理的五个元素第13页/共29页在本例中，求证：在本例中，求证：BCPB、CDPD.证明：证明：PA面面ABCD.AB为为PB在面在面ABCD上的射影，上的射影，BC面面ABCD且且BCAB，BCPB，同理可证同理可证CDPD.互动探究互动探究互动探究互动探究第14页/共29页题型三题型三 点到平面的距离点到平面的距离平面外一点向平面引垂线，这点与垂足之间的长度平面外一点向平面引垂线，这点与垂足

10、之间的长度是这点到平面的距离，一般转化为直角三角形的直是这点到平面的距离，一般转化为直角三角形的直角边来求角边来求 已知已知P为为ABC外一点，外一点，PA、PB、PC两两垂两两垂直，直，PAPBPCa，求点，求点P到平面到平面ABC的距离的距离【思路点拨思路点拨】欲求点到平面的距离，可先过点作欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长平面的垂线，进一步求出垂线段的长例例3 3第15页/共29页【解解】过过P作作PO平面平面ABC于于O点，连结点，连结AO，BO，CO，POOA，POOB，POOC，PAPBPCa，PAOPBOPCO，OAOBOC，O为为ABC的外心的外心第

11、16页/共29页【思维总结思维总结】求点到平面的距离较常用的方法有两求点到平面的距离较常用的方法有两种：种：(1)作出垂线段，求垂线段的长度；作出垂线段，求垂线段的长度；(2)求出几何体求出几何体的体积，利用等积法转化成求点到平面的距离的体积，利用等积法转化成求点到平面的距离第17页/共29页错误运用三垂线定理或逆定理条件错误运用三垂线定理或逆定理条件 在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，D1DDC，判定对角线判定对角线BD1和和B1D是否一定垂直，请说明理由是否一定垂直，请说明理由例例思维误区警示思维误区警示第18页/共29页【错解错解】连结连结C1D，D1C，B1C1面面CDD

12、1C1，C1D为为B1D在平面在平面CDD1C1上的射影上的射影D1DDC，D1CC1D，D1CB1D.又又D1C为为BD1在平面在平面CDD1C1的射影，的射影，B1DBD1.【错因错因】B1DD1C，虽然，虽然D1C是斜线是斜线BD1在面在面CDD1C1上的射影，但上的射影，但B1D 面面CDD1C1，用错三垂线定理，用错三垂线定理【自我挑战自我挑战】在长方体中，体对角线不一定垂直要在长方体中，体对角线不一定垂直要使使B1DBD1，必须有，必须有BB1BD.第19页/共29页1准确认识三垂线定理及其逆定理准确认识三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理及其逆定理是解、证与线线三垂线定理及其逆定

13、理是解、证与线线(面面)垂垂直有关问题的重要而有效的工具，三垂线定理的直有关问题的重要而有效的工具，三垂线定理的基本要素是基本要素是“一面四线一面四线”，一面：基础平面；四线：，一面：基础平面；四线：斜线、垂线、射影、面内直线斜线、垂线、射影、面内直线规律方法总结规律方法总结第20页/共29页(2)应用三垂线定理及其逆定理解题通常要遵循的应用三垂线定理及其逆定理解题通常要遵循的“三步曲三步曲”：定定“线面线面”：确定一个基础平面和这个平面内的一：确定一个基础平面和这个平面内的一条直线；条直线；找找“三线三线”：找这个平面的一条垂线、一条斜线及：找这个平面的一条垂线、一条斜线及这条斜线在这个平面

14、内的射影；这条斜线在这个平面内的射影；证证“垂直垂直”：证明平面内的这条直线与斜线或斜线：证明平面内的这条直线与斜线或斜线在平面内的射影垂直在平面内的射影垂直第21页/共29页2三垂线定理及其逆定理的区别三垂线定理及其逆定理的区别三垂线定理是先有平面内的直线三垂线定理是先有平面内的直线a垂直于射影的条件，垂直于射影的条件，然后得出然后得出a垂直于斜线的结论而逆定理则是已知平垂直于斜线的结论而逆定理则是已知平面内的直线垂直于斜线，再推出平面内的直线垂直于面内的直线垂直于斜线，再推出平面内的直线垂直于射影，即三垂线定理是射影，即三垂线定理是“线与射影垂直线与射影垂直线与斜线垂线与斜线垂直直”，逆定

15、理正好相反，在引用时注意不要混淆，逆定理正好相反，在引用时注意不要混淆第22页/共29页1(2010年长春调研年长春调研)下面有四个命题：下面有四个命题：(1)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；长；(2)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；也较长；(3)垂线段比任何一条线段都短；垂线段比任何一条线段都短；(4)斜线在平斜线在平面内的射影可能是一条直线，也可能是一个点其中正面内的射影可能是一条直线，也可能是一个点其中正确的命题有确的命题有()A0个个B1个个C3个个 D4个个随堂

16、即时巩固随堂即时巩固第23页/共29页解析：选解析：选A.(1)、(2)、(3)均不正确垂线段和斜均不正确垂线段和斜线段长定理中涉及的垂线段和斜线段都是从平面线段长定理中涉及的垂线段和斜线段都是从平面外同一点引出的，离开了这个前提，结论就不成外同一点引出的，离开了这个前提，结论就不成立立(4)也不对，斜线在平面内的射影必为直线，也不对，斜线在平面内的射影必为直线，只有点或垂线在平面内的射影才是点故本题应只有点或垂线在平面内的射影才是点故本题应选选A.第24页/共29页2ABC在平面在平面内，点内，点P在平面在平面外，外，PO于于O，且，且P到到A、B、C的距离相等，则的距离相等，则O为为ABC

17、的的()A外心外心 B内心内心C垂心垂心 D重心重心解析：选解析：选A.由由PO于于O，知，知AO、BO、CO分别为分别为斜线段斜线段PA、PB、PC在平面在平面内的射影，又内的射影，又PAPBPC，所以，所以AOBOCO，即，即O为为ABC的外心的外心第25页/共29页3(2010年吉林高二统考年吉林高二统考)如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M、N分别是分别是A1A、AB上的点，若上的点，若NMC190，那么，那么NMB1的大小是的大小是()A小于小于90B等于等于90C大于大于90D不能确定不能确定解析：选解析：选B.由已知由已知C1M是平面是平面ABB1A1的斜线，而的斜线，而C1B1平面平面ABB1A1，所以，所以MB1是斜线是斜线C1M在平面在平面ABB1A1内的射内的射影，又影，又NMC190，即，即C1MMN，由三垂线定理的逆，由三垂线定理的逆定理知定理知MB1MN，所以，所以NMB190.第26页/共29页4如图所示，在如图所示，在ABC中，中，ABC90，SA平面平面ABC，则，则CA、CB、CS在平面在平面SAB上的射影依次是上的射影依次是_答案：答案：AB、点、点B、SB第27页/共29页课时活页训练课时活页训练第28页/共29页