有限元方法学习.pptx

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1、1.1.利用变分法推导控制方程利用变分法推导控制方程通过上次课的推导可知，求泛函的极值问题与解微分方程的边值问题是等价的。一方面满足微分方程及边界条件的函数将使泛函取极值，另一方面从变分的角度看，使泛函取极值的函数是满足问题的控制微分方程和边界条件的解。第1页/共53页1.1.利用变分法推导控制方程利用变分法推导控制方程原理回顾 n取泛函的变分为零，有 n欧拉方程为 物理意义是系统的势能取最小或内力功与外力功之差为零 第2页/共53页1.1.利用变分法推导控制方程利用变分法推导控制方程边界条件 n几何边界条件n若几何边界任意，则有自然边界条件第3页/共53页1.1.利用变分法推导控制方程利用变

2、分法推导控制方程例、直梁受均布载荷作用已知直梁的总势能为即代入欧拉方程，有第4页/共53页1.1.利用变分法推导控制方程利用变分法推导控制方程边界条件为几何边界条件如果能求出弹性结构的总势能，则可由最小势能原理获得其控制微分方程和边界条件第5页/共53页1.1.利用变分法推导控制方程利用变分法推导控制方程如果存在一个位移函数，即满足欧拉方程，又满足边界条件，则此位移函数就是问题的精确解；实际操作中，可以不得到控制方程，而直接选择试探函数，使其满足变分为零就可以使问题得到解答；实际应用中，往往只让位移函数满足其中部分等式，剩余等式近似满足，这就是利用变分问题直接近似计算的理论依据第6页/共53页

3、2.2.里兹法里兹法该方法假设一位移函数，只令其先满足位移边界条件，然后通过n建立方程，求解方程组，得到的结果近似满足力边界条件和平衡方程n具体过程如下第7页/共53页2.2.里兹法里兹法若能找到的近似解，由一组线性无关的函数 的线性组合表示n其中1、2、3.为一族坐标函数序列，满足如下条件 1、ix1,x2且满足相应的几何边界条件；2、互相线性无关；3、是完备的，即对于任何yx1,x2，和0，存在正整数N和常数组ai，使得|y-iai|，其中i=1,2,.,N第8页/共53页2.2.里兹法里兹法1958年提出了解y由一组带有待定参数的试探函数来表示，则泛函由试探函数和待定参数表示泛函。若y=

4、iai是问题的解，则=0，泛函的变分为0，相当于将泛函对所包含的待定参数进行全微分 第9页/共53页2.2.里兹法里兹法若ai=0，则有得到一组n个方程这是与待定参数a的个数相等的方程组，可以求解a第10页/共53页3.3.伽辽金法伽辽金法在里兹法的基础上发展起来的，其特点是要求试探函数不仅满足几何边界条件，还要满足自然边界条件 问题解仍可由n个待定参数与试探函数的线性表示 那么第11页/共53页3.3.伽辽金法伽辽金法泛函的变分由于ai0，则第12页/共53页3.3.伽辽金法伽辽金法试探函数是在整个求解域上定义的，必须满足边界条件。对于复杂物理问题，寻找实验函数比较困难，因此限制了使用。n例

5、如对于受均布荷载作用的简支直梁q总势能第13页/共53页3.3.伽辽金法伽辽金法试探函数1试探函数2分别按步骤求解直梁中点的挠度精确解为试探函数1仅满足几何边界条件，而不满足自然边界条件；试探函数2则全部满足。第14页/共53页4.4.有限元法有限元法不同点：里兹法：试探函数定义在全部求解式上，满足边界条件 有限元：试探函数在单元内，无需满足边界条件。求解步骤将求解域离散或单元假定解在单元内部按某种规律变化，造插值函数推导单元方程系统方程的组建引入边界条件求解返回处理重点是插值函数选取和单元矩阵的建立 第15页/共53页4.4.有限元法有限元法1.单元离散2.插值函数#3.单元刚度矩阵及载荷列

6、向量的建立#4.整体刚度矩阵及载荷列向量5.虚位移原理的变分法第16页/共53页4.4.有限元法有限元法1.单元离散用最小势能原理，由于能量是可以分区域相叠加的，在最小势能原理中涉及的泛函，其自变量函数（宗量）和它的导数的最高幂数为二次，称为二次泛函，是积分方程，可以分区域相加如果则变分第17页/共53页2.插值函数有限元的基本思想是分片近似，对于复杂问题的解，是通过单元剖分与分片近似得到的。其中一个重要步骤是在每个单元内选择一个简单的近似函数。这种用以表示单元内部解的性态的近似函数称为插值函数。一般采用多项式插值函数。因为：1较易进行单元方程的列式等计算即微分与积分 2增加多项式的阶次可以改

7、进计算结果。这里重点介绍一维插值函数。4.4.有限元法有限元法第18页/共53页多项式插值多项式插值插值多项式第19页/共53页多项式插值多项式插值插值：要求近似函数y(x)与被近似的函数f(x)在某些点处具有相同的函数值，甚至直到某阶导数值。在有限元中，取均变量的节点值（包括其导数值）为未知量。自由度：场变量的节点值，称为节点自由度。选择a参数的个数等于单元节点自由度数。单元近似函数可以用节点上自由度表示。令ye为单元节点值向量。第20页/共53页多项式插值多项式插值1.整体坐标下，一维简单单元场变量的线性插值多项式yxx1x2xy(x)y1y2第21页/共53页多项式插值多项式插值形函数的

8、特点（1）形函数在其相关的节点，其值为1，在其他的节点，其值为0.（2）Ni=1为形函数完备性要求，如各节点值相等时 第22页/共53页多项式插值多项式插值2.采用局部坐标线性插值多项式常常需要在单元内对形函数及其导数进行积分，采用局部坐标简化积分运算x1x2yiyj-110第23页/共53页多项式插值多项式插值上式中可以很容易写出N第24页/共53页多项式插值多项式插值3.自然坐标下的插值函数（线性）与单元形状有关的无因次坐标x1x2l2l1(1,0)(0,1)单元内一点P的位置用如下自然坐标表示l为单元长度，L1、L2为P点到节点2和节点1的距离。第25页/共53页多项式插值多项式插值一维

9、单元只有一个独立坐标，L1、L2不独立 n对于线性单元，自然坐标就是形函数对于线性单元，自然坐标就是形函数 第26页/共53页多项式插值多项式插值4.采用自然坐标的高次单元 (1,0)(0,1)(1/2,1/2)具有二次或二次以上插值多项式的单元，称为告辞单元。为使插值多项式的广义坐标数（形函数的个数）与节点自由度数相匹配，除端点外还要采用中间节点。形函数二次单元第27页/共53页多项式插值多项式插值第28页/共53页多项式插值多项式插值(1,0)(0,1)(2/3,1/3)(1/3,2/3)形函数三次单元第29页/共53页拉格朗日插值函数拉格朗日插值函数仅以场变量本身在节点处的值作为未知量所

10、构造的插值函数。一维单元有n+1个节点，则单元内场变量的近似函数第30页/共53页拉格朗日插值函数拉格朗日插值函数讨论：（形函数）第31页/共53页拉格朗日插值函数拉格朗日插值函数讨论：（形函数）第32页/共53页拉格朗日插值函数拉格朗日插值函数(3)用自然坐标表示(4)理解fi(L1,L1i)和fi(L1k,L1i)的意义，对今后构造其他形式的Langrange单元的插值数是很有帮助的。第33页/共53页拉格朗日插值函数拉格朗日插值函数例一：二次单元(1,0)(0,1)(1/2,1/2)第34页/共53页拉格朗日插值函数拉格朗日插值函数例二：三次单元(1,0)(0,1)(2/3,1/3)(1

11、/3,2/3)第35页/共53页拉格朗日插值函数拉格朗日插值函数(5)列出各节点的直线方程根据形函数的特性在j,k,l处保证等于0，在i点等于1，求出C第36页/共53页多项式插值多项式插值-Hermite-Hermite插值函数插值函数不但取场变量在某点处的值，而且还取场变量的前几阶导数在节点处的值为未知量所构造的插值函数，称为几阶Hermite插值函数。对于二节点单元n阶导数有 第37页/共53页多项式插值多项式插值-Hermite-Hermite插值函数插值函数对n个节点，共有2n个条件，可定出2n个系数的多项式H(x)是x的2n+1次多项式nl表示第l 阶哈密特多项式，k表示求k阶导数

12、ni，j表示节点号第38页/共53页多项式插值多项式插值-Hermite-Hermite插值函数插值函数第39页/共53页多项式插值多项式插值-Hermite-Hermite插值函数插值函数举例说明：对于梁结构，梁单元为二节点单元，每个节点上的自由度是位移和转角，即需要满足场变量及一阶导数连续 第40页/共53页多项式插值多项式插值-Hermite-Hermite插值函数插值函数各项哈密特常数可以通过数学手册查出，最后得到 n形函数反映了梁弯曲变形时梁挠度的形状形函数反映了梁弯曲变形时梁挠度的形状 第41页/共53页4.4.有限元法有限元法-单元刚度矩阵建立单元刚度矩阵建立对于梁，在每个单元上

13、的势能 第42页/共53页4.4.有限元法有限元法-单元刚度矩阵建立单元刚度矩阵建立因此第43页/共53页4.4.有限元法有限元法-整体刚度矩阵建立整体刚度矩阵建立使用单元扩维法建立整体刚度矩阵第44页/共53页4.4.有限元法有限元法-整体刚度矩阵建立整体刚度矩阵建立对于弹性体的总势能，考虑到场变量y(x)由节点未知场变量插值近似后，则可以表示成节点场变量的泛函。如果这些场变量满足平衡方程，由最小势能原理 第45页/共53页4.4.有限元法有限元法-整体刚度矩阵建立整体刚度矩阵建立第46页/共53页4.4.有限元法有限元法-虚位移原理的变分法虚位移原理的变分法 在虚位移原理的应用中，主要是求

14、刚度阵（单元）；同样需要选择场变量的插值函数；在线性弹性力学中，最小势能原理与虚位移原理是等价的。第47页/共53页4.4.有限元法有限元法-虚位移原理的变分法虚位移原理的变分法 一端固定的拉杆，拉长a，对其进行应力分析。LAxn其总势能为：nu(x)为位移函数，边界条件有n因此，由变分原理可知，求解上述边界条件下的拉杆应力，相当于求泛函的极小值问题。第48页/共53页4.4.有限元法有限元法-虚位移原理的变分法虚位移原理的变分法（1）划分有限单元n将全长L划分为四等份，节点编号分别为0,1,2,3,4n（2）构造插值函数（i单元）第49页/共53页4.4.有限元法有限元法-虚位移原理的变分法虚位移原理的变分法 n（3）总体势能第50页/共53页4.4.有限元法有限元法-虚位移原理的变分法虚位移原理的变分法 n（4）求泛函极值n则n其中第51页/共53页4.4.有限元法有限元法-虚位移原理的变分法虚位移原理的变分法 n（5）求解，得第52页/共53页感谢您的观看！第53页/共53页