倍长中线与截长补短法教案.pptx

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1、会计学1倍长中线与截长补短法倍长中线与截长补短法初中几何常见辅助线作法口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。第1页/共15页三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。第2页/共15页解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。第3页

2、/共15页1、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图4-1：AD为ABC的中线，且1=2，3=4，求证：BE+CFEF一、倍长法第4页/共15页证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF。在BDE和CDM中，BD=CD （中点定义）1=5 （对顶角相等）ED=MD （辅助线作法）BDECDM （SAS）又1=2，3=4（已知）1+2+3+4=180（平角的定义）3+2=90即：EDF=90 FDM=EDF=90在EDF和MDF中 ED=MD （辅助线作 法）EDF=FDM （已证）DF=DF （公共边）EDFMDF （SAS）EF=MF（全等三角形对应

3、边相等）在CMF中，CF+CMMF（三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF第5页/共15页在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1：AD为 ABC的中线，求证：AB+AC2AD分析：要证AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CD AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去 第6页/共15页证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE AD为ABC的中线 （已知）BD=CD （中线定义）在ACD和EBD中 BD=CD （

4、已证）1=2 （对顶角相等）AD=ED （辅助线作法）ACDEBD （SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等）在ABE中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）AB+AC2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）第7页/共15页练习练习n n已知已知ABCABC，ADAD是是BCBC边上的边上的中线，分别以中线，分别以ABAB边、边、ACAC边为边为直角边各向外作等腰直角三角直角边各向外作等腰直角三角形，如图形，如图5-25-2，求证求证EF=2ADEF=2AD。第8页/共15页二、截长补短法作辅助线二、截长补短法作辅助线 要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。截长

5、法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。第9页/共15页让我们来大显身手吧！让我们来大显身手吧！例如：已知如图6-1：在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任一点 求证：求证：AB-ACPB-PCAB-ACPB-PC。第10页/共15页要证：要证：AB-ACPB-PCAB-ACPB-PC，想到，想到利用三角形三边关系定利用三角形三边关系定理证明。理证明。因为欲证的线段之差，故用因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，两边之差小于第三边，从而想到构造第三边从而想到构造第三边AB-AB-ACAC故可

6、在故可在ABAB上截取上截取ANAN等于等于ACAC，得，得AB-AC=BNAB-AC=BN再连接再连接PNPN，则，则PC=PNPC=PN，又，又在在PNBPNB中，中，PB-PNBNPB-PNPB-PCAB-ACPB-PC。思路导航思路导航第11页/共15页证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN 在APN和APC中 AN=AC（辅助线作法）1=2（已知）AP=AP（公共边）APNAPC（SAS）PC=PN（全等三角形对应边相等）在BPN中，有 PB-PNBN（三角形两边之差小于第三边）BP-PCPM-PC(三角形两边之差小于第三边)AB-ACPB-PC。第13页/共15页第14页/共15页