矩阵分析线性变换精选文档.ppt

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1、矩阵分析线性变换 7.27.2 线性变换的运算线性变换的运算线性变换的运算线性变换的运算本讲稿第一页，共二十三页1定义定义设设为线为线性空性空间间V的两个的两个线线性性变换变换，定，定义义它它们们事事实实上，上，一、一、线性变换的乘积线性变换的乘积 的的乘积乘积 为为：则则 也是也是V的的线线性性变换变换.本讲稿第二页，共二十三页基本性质基本性质（1）满足结合律：满足结合律：（2），E为单位变换为单位变换（3）交换律一般不成立，即一般地，交换律一般不成立，即一般地，本讲稿第三页，共二十三页例例1.线线性空性空间间中，中，线线性性变换变换 而，而，即即本讲稿第四页，共二十三页例例2.设设A、B为

2、为两个取定的矩两个取定的矩阵阵，定，定义变换义变换则则皆皆为为的的线线性性变换变换，且，且对对有有本讲稿第五页，共二十三页则则 也是也是V的的线线性性变换变换.二、二、线性变换的和线性变换的和 1定义定义设设为线为线性空性空间间V的两个的两个线线性性变换变换，定，定义义它它们们的的和和 为为：事事实实上，上，本讲稿第六页，共二十三页（3）0为为零零变换变换.（4）乘法乘法对对加法加法满满足左、右分配律：足左、右分配律：2基本性质基本性质（1）满满足交足交换换律：律：（2）满满足足结结合律：合律：本讲稿第七页，共二十三页3负变换负变换设设为线为线性空性空间间V的的线线性性变换变换，定，定义变换义

3、变换为为：则则 也也为为V的的线线性性变换变换，称之，称之为为的的负变换负变换.注：注：本讲稿第八页，共二十三页三、三、线性变换的数量乘法线性变换的数量乘法 1定义定义的的数量乘积数量乘积 为为：则则 也是也是V的线性变换的线性变换.设设为线为线性空性空间间V的的线线性性变换变换，定，定义义 k 与与本讲稿第九页，共二十三页2基本性质基本性质注：注：线线性空性空间间V上的全体上的全体线线性性变换变换所成集合所成集合对对于于线线性性变换变换的加法与数量乘法构成数域的加法与数量乘法构成数域P上的一个上的一个线线性性空空间间，记记作作本讲稿第十页，共二十三页四、四、线性变换的逆线性变换的逆 则称则称

4、为为可逆可逆变换变换，称，称为为的逆的逆变换变换，记记作作1定义定义设设为线为线性空性空间间V的的线线性性变换变换，若有，若有V的的变换变换使使2基本性质基本性质(1)可逆可逆变换变换的逆的逆变换变换也是也是V的的线线性性变换变换.本讲稿第十一页，共二十三页证证：对对 是是V的的线线性性变换变换.本讲稿第十二页，共二十三页(2)线线性性变换变换可逆可逆线线性性变换变换是一一是一一对应对应.证证：设设为线为线性空性空间间V上可逆上可逆线线性性变换变换.任取任取 若若 则则有有为单为单射射.其次，其次，对对令令则则且且为满为满射射.故故为为一一一一对应对应.本讲稿第十三页，共二十三页若若为为一一一

5、一对应对应，易，易证证的逆映射也的逆映射也为为V的的线线性性变换变换，且，且故可逆，故可逆，.线线性性变换变换，则则可逆当且可逆当且仅仅当当(3)设设是是线线性空性空间间V的一的一组组基，基，为为V的的线线性无关性无关.证证：设设于是于是因因为为可逆，由可逆，由(2)，为单为单射，又射，又本讲稿第十四页，共二十三页而而线线性无关，所以性无关，所以故故线线性无关性无关.若若线线性无关，性无关，则则它它也也为为V的一的一组组基基.因而，因而，对对有有即有即有为满为满射射.本讲稿第十五页，共二十三页线线性无关性无关若若 则则有有其次，任取其次，任取 设设即即由由(2)，为为可逆可逆变换变换.故故为为

6、一一一一对应对应.从而，从而，为单为单射射.本讲稿第十六页，共二十三页(4)可逆可逆线线性性变换变换把把线线性无关的向量性无关的向量组变组变成成线线性无关性无关的向量的向量组组.线线性无关性无关.若若证证：设设为线为线性空性空间间V的可逆的可逆变换变换，则有，则有，又可逆，于是是一一对应，且又可逆，于是是一一对应，且 故故 线性无关线性无关.由由 线性无关，有线性无关，有本讲稿第十七页，共二十三页当时，规定（单位变换）当时，规定（单位变换）.五、线性变换的多项式五、线性变换的多项式 1线性变换的幂线性变换的幂设设为线为线性空性空间间V的的线线性性变换变换，n为为自然数，定自然数，定义义称之称之

7、为为的的n次幂次幂.本讲稿第十八页，共二十三页 易易证证注：注：当当为为可逆可逆变换时变换时，定，定义义的的负负整数整数幂幂为为 一般地，一般地，本讲稿第十九页，共二十三页设设 为为V的一个线性变换，则的一个线性变换，则2线性变换的多项式线性变换的多项式多项式多项式.也是也是V的一个线性变换，称的一个线性变换，称 为线性变换的为线性变换的本讲稿第二十页，共二十三页注：注：在在 中，若中，若则有，则有，即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.对对有有本讲稿第二十一页，共二十三页证明：证明：练习：练习：设为线性变换，若设为线性变换，若证：对证：对k作数学归纳法作数学归纳法.当当k=2时，若时，若对对两端左乘，得两端左乘，得对对两端右乘，得两端右乘，得上两式相加，即得上两式相加，即得本讲稿第二十二页，共二十三页对对两端左乘，得两端左乘，得对对两端右乘两端右乘 得得，得，得假设命题对时成立，即假设命题对时成立，即由由归纳归纳原理，命原理，命题题成立成立.本讲稿第二十三页，共二十三页