立体几何中的向量方法PPT课件.pptx

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1、1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线l上的向量e或与e_的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有_个(2)平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，此时向量n叫做平面的法向量显然一个平面的法向量也有_个，且它们是_向量课前自主导学第1页/共67页(3)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则lmabakb，kR；lmabab0；lauau0；lauaku，kR；uvukv，kR；uvuv0.第2页/共67页在求平面法向量时，所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何处理？第3页/共67页下

2、列命题是否正确若n1，n2分别是平面、的法向量，则n1n2()若n1，n2分别是平面、内的向量，则n1n2()若n1是直线l的一个方向向量，n2是平面的一个法向量，则ln1n2()若n1(7,3,4)，n2(x，y,8)分别是两直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则xy8()第4页/共67页第5页/共67页第6页/共67页(3)求二面角的大小()如图，AB、CD是二面角l的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_.()如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足coscosn1，n2或cosn1，n2取值范围是0，第7页/共67页第8页/共67页3.求空间的

3、距离(1)点到平面的距离如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则点B到平面的距离d_.(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解第9页/共67页在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2,1)，已知点P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于_.第10页/共67页1.理解直线的方向向量与平面的法向量2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.第11页

4、/共67页1个必知趋势用向量法解立体几何问题是新课标高考形式的主趋势，掌握向量法解立体几何问题的方法，可以使几何论证问题化难为易，可以使立体几何中空间角、空间距离的求法公式化2个必记提醒1.用向量证明平行、垂直时，要注意解题的规范性如证明线面平行时，仍需要表明一条直线在平面内、另一条直线在平面外2.当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角第12页/共67页3种必会方法1.求两异面直线a、b的夹角，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos|cosa，b|.2.求直线l与平面所成的角，可先求出平面的法向量n与直线

5、l的方向向量a的夹角则sin|cosn，a|.3.求二面角l的大小，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则n1,n2或n1，n2.第13页/共67页核心要点研究第14页/共67页例12012福建高考如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长第15页/共67页审题视点(1)证明两直线的方向向量数量积为零；(2)设存在点P(0,0，z0)，构建z0的方程，若能求出z0的值，说明点P存在；(3)先

6、求出两平面的法向量，利用二面角的平面角的度数即可得到关于a的方程，从而可求出a的值第16页/共67页第17页/共67页第18页/共67页第19页/共67页第20页/共67页第21页/共67页1利用向量法证明空间的平行或垂直问题，建系是关键的一步，通常借助于几何图形中的垂直关系选择坐标原点和坐标轴，并让尽可能多的顶点在坐标轴上2用向量法证线面平行还可以使用证明直线的一个方向向量与平面内的某一向量是共线(平行)向量，也可以证明直线的方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题中可选择较简单的解法第22页/共67页变式探究如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，且PAAD

7、，E、F分别为线段AB、PD的中点求证：(1)AF平面PEC；(2)AF平面PCD.第23页/共67页第24页/共67页第25页/共67页例22012重庆高考如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点(1)求点C到平面A1ABB1的距离；(2)若AB1A1C，求二面角A1CDC1的平面角的余弦值审题视点以D为原点建立空间直角坐标系，用空间向量法解题第26页/共67页第27页/共67页第28页/共67页第29页/共67页第30页/共67页奇思妙想：本例条件不变，若AB1A1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值第31页/共67页第32页/共67页求两异面直线所成的

8、角，用向量法就是求两直线上的两方向向量的夹角，但需注意二者范围的区别同样地，利用向量法求二面角的大小，就是求两个半平面的法向量的夹角(或夹角的补角)在空间直角坐标系中，常采用待定系数法求平面的法向量第33页/共67页第34页/共67页第35页/共67页第36页/共67页第37页/共67页例32012北京高考如图1，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.(1)求证：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP

9、与平面A1BE垂直？说明理由第38页/共67页解(1)DEBC，ACBC，DEAC，DEA1D，DECD，A1DCDD，DE面A1CD，DEA1C.又A1CCD，CDDED，A1C面BCDE.第39页/共67页第40页/共67页第41页/共67页第42页/共67页立体几何开放性问题求解方法有以下两种：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在第43页/共67页变式探究已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形

10、，且AD2，AB1，PA平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点(1)证明：PFFD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD.第44页/共67页第45页/共67页第46页/共67页第47页/共67页课课精彩无限第48页/共67页第49页/共67页第50页/共67页第51页/共67页第52页/共67页【备考角度说】No.1角度关键词：审题视角(1)通过证明线线垂直得到线面垂直，进而得到待证的线线垂直(2)根据垂直关系建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过计算两个法向量所成的角的余弦值即可求出二面角的大小第53页/共67页No.2角度关键词：模板构建第1步：证明线线垂

11、直得到线面垂直第2步：由线面垂直得到待证的线线垂直第3步：根据垂直关系建立适当的空间直角坐标系第4步：确定或设出待证点的坐标第5步：求出两个法向量第54页/共67页第6步：通过两个法向量夹角的余弦值确定二面角大小第7步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范第(1)问中，利用勾股定理或三角形相似判定线线垂直，在考题中频频出现第(2)问中，没有线段的长度，可以设出，使问题变得简单易处理第55页/共67页1.若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()A.a(1,0,0)，n(2,0,0)B.a(1,3,5)，n(1,0,1)C.a(0,2,1)，n(1,0，1)D.a(1，1,3)，

12、n(0,3,1)答案：D解析：若l，则an0.而A中an2，B中an156，C中an1，只有D选项中an330.经典演练提能 第56页/共67页2.2012陕西高考如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()第57页/共67页答案：A第58页/共67页答案：A第59页/共67页第60页/共67页第61页/共67页答案：C第62页/共67页第63页/共67页5.2012四川高考如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_第64页/共67页答案：90第65页/共67页第66页/共67页感谢您的观看！第67页/共67页