复变函数的级数 (2)精选PPT.ppt

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1、复变函数的级数(2)第1页，讲稿共112张，创作于星期日主主 要要 内内 容容 本章介绍复变函数级数的概念本章介绍复变函数级数的概念,重点是重点是Taylor级数、级数、Laurent级数及其展开级数及其展开.第2页，讲稿共112张，创作于星期日1 1 复数列的极限复数列的极限 2 2 复数项级数概念复数项级数概念 4.14.1 复数项级数复数项级数第3页，讲稿共112张，创作于星期日1 1 复数列的极限复数列的极限称称 为复数列为复数列,简称简称 为数列为数列,记为记为 定义定义4.1设设 是数列，是数列，是常数是常数.如果如果 e e 0,存在正整数存在正整数N,使得当使得当nN 时时,不

2、等式不等式 成立成立,则称当则称当n时时,收敛于收敛于 或称或称 是是 的极限的极限,记作记作第4页，讲稿共112张，创作于星期日复数列收敛与实数列收敛的关系复数列收敛与实数列收敛的关系定理一定理一 的充分必要条件是的充分必要条件是 此定理说明此定理说明:判别复数列的敛散性可转化为判别判别复数列的敛散性可转化为判别两两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.第5页，讲稿共112张，创作于星期日2 2 复数项级数的概念复数项级数的概念为为无穷级数无穷级数.称称为该级数的为该级数的部分和部分和.设设 是复数列是复数列,则称则称 第8页，讲稿共112张，创作于星期日级数收敛与发散的概念级数收敛与发散的概念

3、定义定义4.2如果级数如果级数 的部分和数列的部分和数列 收敛于复数收敛于复数 S,则称则称级数收敛级数收敛,这时称这时称S为为级数的和级数的和,并记做并记做 如果如果 不收敛，则称不收敛，则称级数发散级数发散.第9页，讲稿共112张，创作于星期日复数项级数与实数项级数收敛的关系复数项级数与实数项级数收敛的关系定理二定理二 级数级数 收敛的充要收敛的充要条件是条件是 都收敛都收敛,并且并且 说明说明 复数项级数的收敛问题复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题 推推 论论如果级数如果级数 收敛收敛,则则 第10页，讲稿共112张，创作于星期日非绝对收敛的收敛级数称为

4、非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.定义定义4.3设设 是复数项级数是复数项级数,如果正项如果正项级数级数 收敛收敛,则称级数则称级数 绝对收敛绝对收敛.绝对收敛级数的性质绝对收敛级数的性质并且并且 定理三定理三若级数若级数 绝对收敛绝对收敛,则则 也收敛也收敛,收敛收敛 第14页，讲稿共112张，创作于星期日补充补充 因为因为 所以所以综上可得综上可得:因此因此,如果如果 和和 都绝对收敛时都绝对收敛时,也也 绝对收敛绝对收敛.绝对收敛绝对收敛 和和 都绝对收敛都绝对收敛.第16页，讲稿共112张，创作于星期日例例 1 1 下列数列是否收敛下列数列是否收敛?如果收敛如果收敛,求

5、出其极限求出其极限.第17页，讲稿共112张，创作于星期日例例 2 2 下列级数是否收敛下列级数是否收敛?是否绝对收敛是否绝对收敛.第18页，讲稿共112张，创作于星期日定理定理4.4设设 是收敛数列，则其有界是收敛数列，则其有界,即即 存在存在M0,使得使得 第19页，讲稿共112张，创作于星期日1 1 幂级数的概念幂级数的概念2 2 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径 3 3 收敛半径的求法收敛半径的求法 4.2 4.2 幂幂 级级 数数4 4 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质 第20页，讲稿共112张，创作于星期日为为复变函数项级数复变函数项级数.为该级数的为该级数的部分和部分和.设设

6、 是定义在区域是定义在区域D上的上的复变函数列复变函数列,称称1 1 幂级数的概念幂级数的概念第21页，讲稿共112张，创作于星期日称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果对如果对 下述极限存在下述极限存在则称级数则称级数 在在 点收敛点收敛,且且 是级数和是级数和.如果级数如果级数 在在D内处处收敛内处处收敛,则称其在则称其在 区域区域D内收敛内收敛.此时级数的和是函数此时级数的和是函数第22页，讲稿共112张，创作于星期日这类函数项级数称为这类函数项级数称为幂级数幂级数.当当 或或 时时,或或 的特殊情形的特殊情形函数项级数的形式为函数项级数的形式为第23页，讲稿共11

7、2张，创作于星期日定理一定理一(Abel定理定理)若级数若级数 在在 处收敛，则当处收敛，则当 时时,级数级数 绝对收敛绝对收敛;若级数若级数 在在 处发散，则当处发散，则当 时时,级数级数 发散发散.第24页，讲稿共112张，创作于星期日2 2 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径 (1)对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.级数在复平面内绝对收敛级数在复平面内绝对收敛.(2)对所有的正实数都发散对所有的正实数都发散.级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散.(3)既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收也存在使级数收 敛的正实数敛的正实数.设设

8、时时,级数收敛级数收敛;时时,级数发散级数发散.如图如图:由由 ,幂级数幂级数 收敛情况有三种收敛情况有三种:第26页，讲稿共112张，创作于星期日.收敛圆收敛圆 收敛半径收敛半径 幂级数幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.第27页，讲稿共112张，创作于星期日 幂级数幂级数的收敛范围是的收敛范围是因此，因此，事实上事实上,幂级数在收敛圆周上敛散性的讨幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以以 为中心的圆域为中心的圆域.收敛半径根据前面所述的三种情形收敛半径根据前面所述的三种情形,分别分别规定为规定

9、为论比较复杂论比较复杂,没有一般的结论没有一般的结论,要对具体级数要对具体级数进行具体分析进行具体分析.第28页，讲稿共112张，创作于星期日解解级数级数收敛收敛,级数级数发散发散.绝对收敛绝对收敛,且有且有在在 内内,级数级数 例例 1 1 求级数求级数 的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.所以收敛半径所以收敛半径第29页，讲稿共112张，创作于星期日3 3 收敛半径的求法收敛半径的求法 (3)当当 时时,收敛半径收敛半径 (1)当当 时时,收敛半径收敛半径 (2)当当 时时,收敛半径收敛半径 定理二定理二(比值法比值法)设级数设级数 如果如果则则形式上可以记为形式上可以记为第30页，讲稿

10、共112张，创作于星期日证明：证明：由于由于故知当故知当 时，时，收敛。根据上节的收敛。根据上节的定理三，级数定理三，级数 在圆在圆 内收敛。内收敛。正项级数达朗贝尔判别法第31页，讲稿共112张，创作于星期日当当 时。时。假设在圆假设在圆 外有一点外有一点z0,使级数使级数 收敛。收敛。反证法反证法 在圆外再取一点在圆外再取一点z1，使，使 ，那么根据，那么根据Abel 定理，级数定理，级数 必收敛。必收敛。然而然而所以所以这与这与 收敛相矛盾。收敛相矛盾。在圆在圆 外发散。外发散。由由z0的任意性知级数的任意性知级数第32页，讲稿共112张，创作于星期日(3)当当 时时,收敛半径收敛半径

11、(1)当当 时时,收敛半径收敛半径 (2)当当 时时,收敛半径收敛半径 定理三定理三(根值法根值法)设级数设级数 如果如果 则则形式上可以记为形式上可以记为第33页，讲稿共112张，创作于星期日例例 2 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径（并且讨论在收敛圆周上的情形）；（并且讨论在收敛圆周上的情形）；(并讨论并讨论z=0,2时的情形时的情形)第34页，讲稿共112张，创作于星期日由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此 可得出下面几个定理可得出下面几个定理.定定 理理(1)设级数设级数 和和 的收敛的收敛 半径分别为半径分别为 和和 则在则在 内内

12、,4 4 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质第35页，讲稿共112张，创作于星期日 例例 3 设有幂级数设有幂级数 与与求求 的收敛半径的收敛半径第36页，讲稿共112张，创作于星期日(2)设级数设级数 的收敛半径为的收敛半径为 r.如果在如果在 内内,函数函数 解析解析,并且并且则当则当 时时,前面关于级数前面关于级数 的性质的性质,如果将如果将 换成换成之后之后,对于级数对于级数 当然也成立当然也成立.说明说明:上述运算常应用于将函数展开成幂级数上述运算常应用于将函数展开成幂级数.第37页，讲稿共112张，创作于星期日例例 4 4 把函数把函数 表示成形如表示成形如的幂级数的幂级数,其中

13、其中a与与b是不相等的复常数是不相等的复常数.代数变形代数变形,使其分母中出现使其分母中出现 凑出凑出 把函数把函数 写成如下的形式写成如下的形式:第38页，讲稿共112张，创作于星期日当当 即即 时时,所以所以第39页，讲稿共112张，创作于星期日补补 例例 把函数把函数 在在 的的 范围表示成形如范围表示成形如 的幂级数。的幂级数。第40页，讲稿共112张，创作于星期日定理四定理四 设幂级数设幂级数 的收敛半径为的收敛半径为R，那么那么是收敛圆：是收敛圆：内的解析函数。内的解析函数。在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到，即求导得到，即1）它的和函数）它的

14、和函数f(z),即即第41页，讲稿共112张，创作于星期日补补 例例 把函数把函数 在在 的的 范围表示成形如范围表示成形如 的幂级数。的幂级数。第42页，讲稿共112张，创作于星期日3）f(z)在收敛圆内可以逐项积分，即在收敛圆内可以逐项积分，即或或第43页，讲稿共112张，创作于星期日4.3 4.3 泰勒泰勒级数级数第44页，讲稿共112张，创作于星期日 幂级数在收敛幂级数在收敛 圆域内收敛于解析函数。圆域内收敛于解析函数。函数是否能够展开成幂级数。函数是否能够展开成幂级数。解析解析能能第45页，讲稿共112张，创作于星期日 R为为 到到D边界的最短距离边界的最短距离 定定 理理 (Tay

15、lor展开定理展开定理)设设 在区域在区域D内解析内解析,为为D内的一点内的一点,.R(D是全平面时是全平面时,R=+),则则 在在 内可内可展开为幂级数展开为幂级数 其中其中系数系数cn按上述表示的幂级数称为按上述表示的幂级数称为在在 点的点的Taylor级数级数.第46页，讲稿共112张，创作于星期日.C.R证明证明 对对 内任意一点内任意一点z,存在存在 r0,使得使得 并且并且 以以z0为圆心为圆心,r为半径为半径作正向圆周作正向圆周由由 第47页，讲稿共112张，创作于星期日因为当因为当 时时,.C.R第48页，讲稿共112张，创作于星期日从而从而实际上积分号下的级数可在实际上积分号

16、下的级数可在C上逐项积分上逐项积分.第49页，讲稿共112张，创作于星期日50第50页，讲稿共112张，创作于星期日 R为为 到到D边界的最短距离边界的最短距离 定定 理理 (Taylor展开定理展开定理)设设 在区域在区域D内解析内解析,为为D内的一点内的一点,.R(D是全平面时是全平面时,R=+),则则 在在 内可内可展开为幂级数展开为幂级数 其中其中系数系数cn按上述表示的幂级数称为按上述表示的幂级数称为在在 点的点的Taylor级数级数.第51页，讲稿共112张，创作于星期日此定理此定理给给出了函数在出了函数在 z0点的点的邻邻域内展开成域内展开成Taylor级数的公式级数的公式,同时

17、给出了展开式的收敛半同时给出了展开式的收敛半 径径R=|z0-a a|,其中其中a a 是离是离z0 0最近的最近的 f(z)的奇点的奇点.第52页，讲稿共112张，创作于星期日Taylor展开式的唯一性定理展开式的唯一性定理 定定 理理设设 是是 D上的解析函数上的解析函数,是是 D内的点，且在内的点，且在 内可展成幂级数内可展成幂级数则这个幂级数是则这个幂级数是 在在点的点的Taylor级数，即级数，即注注 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数。任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数。第53页，讲稿共112张，创作于星期日考虑考虑f(z)的任意展开式的任意展开式 显然显然又又所以

18、所以第56页，讲稿共112张，创作于星期日显然显然又又所以所以又又第57页，讲稿共112张，创作于星期日即即第58页，讲稿共112张，创作于星期日将函数展开为将函数展开为Taylor级数的方法级数的方法:1.直接方法直接方法;2.间接方法间接方法.1.直接方法直接方法 由由Taylor展开定理计算级数的系数展开定理计算级数的系数然后将函数然后将函数 f(z)在在z0 展开成幂级数展开成幂级数.第59页，讲稿共112张，创作于星期日 例例 求求在在的的Taylor展开式展开式.所以它在所以它在 处的处的Taylor级数为级数为并且收敛半径并且收敛半径 因为因为在复平面上解析，且在复平面上解析，且

19、 第60页，讲稿共112张，创作于星期日2.间接方法间接方法 借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式,结合解析结合解析函数的性质函数的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质(逐项求导逐项求导,逐项逐项积分等积分等)和其它的数学技巧和其它的数学技巧(代换等代换等),求函数的求函数的Taylor展开式展开式.间接法的优点间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直因而比直接展开更为简洁接展开更为简洁,使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛.第61页，讲稿共112张，创作于星期日例例利用利用 并且收敛半径并且收敛半径同理同理本例利用直接方法也很简单本例利用直接

20、方法也很简单以及上节以及上节 可得可得 第62页，讲稿共112张，创作于星期日 例例 1求求 在在点邻域内点邻域内 的的Taylor级数级数.解解是是的唯一奇点的唯一奇点,且且 故收故收敛敛半径半径在在 中，用中，用z替换替换-z,则则 逐项求导，得逐项求导，得 第63页，讲稿共112张，创作于星期日 例例 2 求对数函数的主值求对数函数的主值 在在z=0点点的的Taylor级数级数.负实轴向左的射线的区域内解析负实轴向左的射线的区域内解析.因因为为 并且由并且由 有有 函数函数 在复平面中割去从点在复平面中割去从点-1沿沿 第64页，讲稿共112张，创作于星期日所以所以根据根据 ，把上式逐项

21、积分，得，把上式逐项积分，得第65页，讲稿共112张，创作于星期日 例例 3求幂函数求幂函数(a a为复数为复数)的主值支的主值支 在在z=0点的点的Taylor展开式展开式.第66页，讲稿共112张，创作于星期日 解法一解法一 待定系数法待定系数法由于由于 可知可知f(z)满足微分方程满足微分方程 设设（）（）第67页，讲稿共112张，创作于星期日将将（）带入带入（）得得即即比较上式的系数比较上式的系数第68页，讲稿共112张，创作于星期日第69页，讲稿共112张，创作于星期日所以所求得展开式为所以所求得展开式为第70页，讲稿共112张，创作于星期日实轴向左的射线的区域内解析实轴向左的射线的

22、区域内解析.因此在因此在 内内,可展开为可展开为z的幂级数的幂级数.根据复合函数求导法则根据复合函数求导法则,按照直接方法展开如下按照直接方法展开如下:显然显然,在复平面中割去从点在复平面中割去从点-1沿负沿负 解法二解法二 第71页，讲稿共112张，创作于星期日令令z=0,有有 第72页，讲稿共112张，创作于星期日于是于是第73页，讲稿共112张，创作于星期日附附:常见函数的常见函数的Taylor展开式展开式第74页，讲稿共112张，创作于星期日第75页，讲稿共112张，创作于星期日1 1 Laurent级数的概念级数的概念2 2 函数的函数的Laurent级数展开级数展开3 3 典型例题

23、典型例题3.4 3.4 Laurent级数级数第76页，讲稿共112张，创作于星期日1 1 Laurent 级数的概念级数的概念本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数,即即Laurent级数级数.它将在后面讨论孤立奇点与留数它将在后面讨论孤立奇点与留数中起重要作用中起重要作用.问题：问题：解析函数能否在奇点处展开成幂级数？解析函数能否在奇点处展开成幂级数？如果能应为何种形式？如果能应为何种形式？第77页，讲稿共112张，创作于星期日负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分这种双边幂级数的形式为这种双边幂级数的形式为同时收敛同时收敛Laurent级数级数收敛

24、收敛主要部分主要部分解析部分解析部分第78页，讲稿共112张，创作于星期日收敛半径收敛半径R收敛域收敛域收敛半径收敛半径R2收敛域收敛域两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分第79页，讲稿共112张，创作于星期日结论结论:.常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域:.第80页，讲稿共112张，创作于星期日(1)(1)幂级数的收敛幂级数的收敛域域是圆域是圆域,且和函数在且和函数在收敛收敛域域 内解析内解析.(2)(2)在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数.对于对于Laurent级数，已经知道：级数，已经知道：Laurent级数的收敛

25、级数的收敛域域是圆环域，且和函数是圆环域，且和函数在圆环域内解析在圆环域内解析.问题问题:在圆环域内解析的函数是否可以展开在圆环域内解析的函数是否可以展开成成Laurent级数级数?对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题:第81页，讲稿共112张，创作于星期日2 2 函数的函数的Laurent 级数展开级数展开定理定理3.15(Laurent展开定理展开定理)设设 函数函数f(z)在圆环域在圆环域 内解析内解析,则函数则函数f(z)在此环域内可展开为在此环域内可展开为Laurent级数级数 其中其中C是圆是圆 周周 的正向的正向.第82页，讲稿共112张，创作

26、于星期日注注 函数函数f(z)展开成展开成Laurent级数的系数级数的系数 与展开成与展开成Taylor级数的系数在形式上完全相同。级数的系数在形式上完全相同。当当 f(z)在圆环域在圆环域 内解析内解析,如果函数如果函数 f(z)在在内解析，则根据内解析，则根据所以所以Laurent级数包含了级数包含了Taylor级数级数.cn不能写为不能写为 第88页，讲稿共112张，创作于星期日Laurent展开式的唯一性定理展开式的唯一性定理定理定理3.16 设函数设函数f(z)在圆环域在圆环域内解析内解析,并且可以展开成双边幂级数并且可以展开成双边幂级数则则 其中其中C的正向的正向.是圆周是圆周注

27、注 函数在圆环域内函数在圆环域内Laurent展开式是唯一的展开式是唯一的.因此因此为函数展开成为函数展开成Laurent级数的间接方法奠定了基础级数的间接方法奠定了基础.第89页，讲稿共112张，创作于星期日方法方法,可以证明双边幂级数也可以在可以证明双边幂级数也可以在C上逐项积上逐项积 分分.设设 是函数是函数 f(z)在在 内的双边幂级数展内的双边幂级数展开式，则在开式，则在 上上,证明证明利用证明利用证明 的的 第90页，讲稿共112张，创作于星期日于是在于是在C上取积分得上取积分得 根据根据所以所以第91页，讲稿共112张，创作于星期日(1)直接方法直接方法 直接直接计算展开式系数计

28、算展开式系数然后写出然后写出Laurent展开式展开式这种方法只有理论意义这种方法只有理论意义,而没有实用价值而没有实用价值.就是就是 说说,只有在进行理论推导时只有在进行理论推导时,才使用这种表示方法才使用这种表示方法.将函数展开为将函数展开为Laurent级数的方法级数的方法:1.直接方法直接方法;2.间接方法间接方法.第92页，讲稿共112张，创作于星期日 根据解析函数根据解析函数 Laurent 级数展开式的唯一性级数展开式的唯一性,可运用代数运算、代换、求导和积分等方法去将可运用代数运算、代换、求导和积分等方法去将函数展开成函数展开成Laurent 级数级数.(2)间接方法间接方法这

29、是将函数展开成这是将函数展开成Laurent 级数的级数的常用方法常用方法.给定函数给定函数与复平面内的一点与复平面内的一点以后以后,函函数在各个不同的圆环域中有不同的数在各个不同的圆环域中有不同的Laurent展开式展开式(包括包括Taylor展开式作为特例展开式作为特例).这与这与Laurent展开式展开式的唯一性并不矛盾的唯一性并不矛盾,在同一圆环域内的展开式唯一在同一圆环域内的展开式唯一.第93页，讲稿共112张，创作于星期日内展开成内展开成Laurent级数级数.例例 1 1 将函数将函数在圆环域在圆环域处都解析处都解析,并且可分解为并且可分解为 3.4.3 3.4.3 典型例题典型

30、例题函数函数f(z)在在z=1和和z=2处不解析处不解析,在其它点在其它点第94页，讲稿共112张，创作于星期日oxy1(1)在在 内内,有有 则则 于是在于是在 内，内，第95页，讲稿共112张，创作于星期日12oxy(2)在在 内内,有有 第96页，讲稿共112张，创作于星期日2oxy于是在于是在 内内,(3)在在 内内,有有 第97页，讲稿共112张，创作于星期日于是在于是在 内内,第98页，讲稿共112张，创作于星期日2oxy.1(4)由由 知知,展开的级数形式应为展开的级数形式应为 所以在所以在 内内,第99页，讲稿共112张，创作于星期日 例例 2 将将 在在 内展开内展开 为为L

31、aurent级数级数.解除解除z=0点之外点之外,f(z)在复平面内处处解析在复平面内处处解析,对任何复数对任何复数z z,于是在于是在 内内,第100页，讲稿共112张，创作于星期日利用洛朗级数求积分：利用洛朗级数求积分：函数函数f(z)展开成展开成Laurent级数的系数级数的系数 当当n=-1时时即即第101页，讲稿共112张，创作于星期日例例 3 求下列各积分的值求下列各积分的值第102页，讲稿共112张，创作于星期日内展开成内展开成Laurent级数级数.解解 补例补例1 1 将将在圆环域在圆环域(1)当当 时时,第103页，讲稿共112张，创作于星期日(2)在在 内内,第104页，

32、讲稿共112张，创作于星期日第105页，讲稿共112张，创作于星期日补例补例2将函数将函数 在区域在区域 内展开成内展开成Laurent级数级数.解因为在解因为在 内展开内展开,所以所以 展开的级数形式应为展开的级数形式应为 因为因为 第106页，讲稿共112张，创作于星期日所以在所以在 内内,第107页，讲稿共112张，创作于星期日复数项级数复数项级数函数项级数函数项级数充充要要条条件件必必要要条条件件幂级数幂级数收敛半径收敛半径R复复 变变 函函 数数绝绝对对收收敛敛运算与性质运算与性质收敛条件收敛条件条条件件收收敛敛复数列复数列收敛半径的计算收敛半径的计算Taylor 级数级数Laure

33、nt级数级数本章内容总结本章内容总结第108页，讲稿共112张，创作于星期日1.函数展开成函数展开成Taylor级数与级数与Laurent级数级数本章的重点本章的重点第109页，讲稿共112张，创作于星期日第三章第三章 完完第110页，讲稿共112张，创作于星期日Niels Henrik Abel(1802.8.5-1829.4.6)挪威数学家挪威数学家.牧师的儿子牧师的儿子,家家境贫困境贫困.Abel 15岁读中学时岁读中学时,优秀优秀的数学教师的数学教师B.Holmboe(1795-1850)发现了发现了Abel的数的数学天才学天才,对他给予指导对他给予指导.1821年进入克利斯安那大学年进入克利斯安那大学.1824年年,他解决了用根式求解五次方程的不可能性他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题问题.Abel短暂的一生中在分析和代数领域作出了短暂的一生中在分析和代数领域作出了极其出色的贡献极其出色的贡献,然而他的数学成就在当时没有得然而他的数学成就在当时没有得到应有的注意到应有的注意,生活悲惨生活悲惨,在贫病交迫中早逝在贫病交迫中早逝.第111页，讲稿共112张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看第112页，讲稿共112张，创作于星期日