2022年新教材高中数学第三章函数1.2函数的单调性课件新人教B版必修第一册(共21张PPT).pptx

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1、3.1.2函数的单调性1.理解单调函数的定义,理解增函数、减函数的定义.2.理解函数平均变化率的概念,会求函数的平均变化率.3.能用定义或应用平均变化率判断函数的单调性.4.理解函数的单调性并能进行简单应用.函数的最值一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且x0D:如果对任意xD,都有f(x)f(x0),则称f(x)的最大值为f(x0);如果对任意xD,都有f(x)f(x0),则称f(x)的最小值为f(x0).增、减函数的概念函数的平均变化率与函数单调性的关系一般地,若I是函数y=f(x)的定义域的子集,对任意x1,x2I且x1x2,记y1=f(x1),y2=f(x2),=,则:(1)y=f

2、(x)在I上是增函数的充要条件是0在I上恒成立;(2)y=f(x)在I上是减函数的充要条件是0在I上恒成立.一般地,当x1x2时,称=为函数y=f(x)在区间x1,x2(x1x2时)上的平均变化率.判断正误,正确的画“”,错误的画“”.1.增、减函数概念中的“任意x1,x2”可以改为“存在x1,x2”.()2.x1,x2为f(x)的定义域内任意两个不相等的实数,且函数f(x)满足0,则f(x)在定义域内为增函数.()3.x1,x2是f(x)定义域内的任意两个实数,x1x2且f(x2)-f(x1)(x2-x1)0,则f(x)在定义域内为减函数.()4.求平均变化率时,x=x2-x1,y=f(x2

3、)-f(x1),x,y的值可正可负也可以为零.()5.若函数y=f(x)在区间1,3上是减函数,则函数y=f(x)的最大值是f(1).()函数y=f(x)在区间1,3上是减函数,只说明1,3是函数y=f(x)的单调递减区间,但是函数y=f(x)在整个定义域上的最大值不一定是f(1).6.若函数y=f(x)在定义域上有f(1)0,都有y=y2-y10,才能确定函数y=f(x)是定义域上的增函数,不能由两个特殊的量来确定.7.若函数f(x)在区间(1,2和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.()反例:f(x)=8.函数f(x)=在定义域上是减函数.()函数f(x)=为

4、非连续函数,定义域不连续,在整个定义域上不单调,所以错误.函数单调性的判定与证明判断函数单调性的常用方法1.定义法.根据增函数、减函数的定义,按照“取值作差变形判断符号下结论”进行判断.单调性判断的等价结论:当xD时,f(x)是增函数,x1,x2D且x1x2,则(x1-x2)f(x1)-f(x2)00.当xD时,f(x)是减函数,x1,x2D且x1x2,则(x1-x2)f(x1)-f(x2)00.2.图像法.根据函数图像的升降情况进行判断.3.直接法.运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接得出.4.复合函数单调性的判断如下:(1)若u=g(x),y

5、=f(u)在相应的区间上都是增函数或都是减函数,则y=f(g(x)为增函数;(2)若u=g(x),y=f(u)在相应的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则y=f(g(x)为减函数.列表如下:复合函数单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时递增,相异时递减.u=g(x)y=f(u)y=f(g(x)增增增增减减减增减减减增破疑典例1.()利用定义证明下列函数的单调性:(1)f(x)=x3在R上是增函数;(2)f(x)=在0,+)上是增函数.思路点拨:利用定义证明函数的单调性,可通过作差、变形、判断符号来解决.证明(1)任取R上的两个实数x1,x2,且x1x2,则f(x1)-f(x2)

6、=-=(x1-x2)(+x1x2+)=(x1-x2),x1x2,x1-x20,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)=x3在R上是增函数.(2)任取0,+)上的两个实数x1,x2,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-=.0 x1x2,x1-x20,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)1时,f(x)0.(1)求f的值;(2)判断y=f(x)在(0,+)上的单调性并给出证明.思路点拨:抽象函数问题解题的关键是根据结论对x,y进行赋值,通过赋值解决.解析(1)对于任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,当x=y=1时,有f(1)=f(1)+f(1),f(1

7、)=0.当x=2,y=时,有f=f(2)+f,即f(2)+f=0,又f(2)=1,f=-1.(2)y=f(x)在(0,+)上为增函数.证明如下:任取x1,x2(0,+),且x11,f0,即f(x2)f(x1),f(x)在(0,+)上为增函数.已知函数f(x)为定义在R上的增函数.问题1.如何解不等式f(x)f?提示:f(x)f等价于x.2.如何解不等式f(1-x)f(2x-1)?提示:f(1-x)f(2x-1)等价于1-x2x-1.3.若函数f(x)为定义在区间-1,1上的增函数,如何解不等式f(x)f?提示:原不等式等价于利用函数的单调性解不等式1.利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性

8、的定义和性质,将符号“f”脱掉,列出关于未知量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域.2.解有关抽象函数的不等式问题的一般步骤:(1)将不等式化为f(x1)f(x2)的形式;(2)若函数f(x)是定义域D上的增函数,则x1,x2D,且x1x2.破疑典例1.()已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)f(1-a),则实数a的取值范围是()A.B.C.(0,2)D.(0,+)思路点拨:利用单调性结合定义域去掉“f”,进而求解不等式组.B函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,则有解得af(8x-6)-1.思路点拨:利用单调性解不等式.解析f=-1,f(8

9、x-6)-1=f(8x-6)+f=f=f(4x-3),f(2x)f(4x-3),f(x)在定义域(0,+)上为增函数,解得x,不等式的解集为x x.(1)利用单调性的定义:在单调区间内任取x1,x2,且x1x2,由f(x1)-f(x2)0)恒成立求参数的取值范围.(2)利用具体函数本身所具有的特征:如二次函数的图像被对称轴一分为二,可根据对称轴相对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式(组),解不等式(组)求参数的取值范围.注意:若某个函数在区间a,b上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.对于分段函数单调性求参问题,一般从两方面考虑:一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性,由

10、此列出相关式子;另一方面要考虑分界点处函数值之间的大小关系,由此列出另外的式子,从而解得参数的取值范围.利用单调性求参数的取值范围根据函数的单调性求参数的取值范围的方法破疑典例1.()若函数f(x)=是(-,+)上的减函数,则实数a的取值范围是()A.(-2,0)B.-2,0)C.(-,1D.(-,0)思路点拨:结合分段函数的单调性,讨论每段函数满足减函数时的条件以及两段函数分界点处函数值的关系列出不等式组求解.Bf(x)=是定义在(-,+)上的减函数,则解得-2a0.2.()(1)已知f(x)=x2-2(1-a)x+2在(-,4上是减函数,求实数a的取值范围;(2)已知f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函数,求实数a的取值范围.解析(1)要使f(x)在(-,4上是减函数,需满足x=-4,解得a-3.(2)任取x1,x2(0,1),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=(-+ax1)-(-+ax2)=(-)+a(x1-x2)=(x2-x1)(+x1x2+-a).f(x)在(0,1)上是增函数,f(x1)-f(x2)0.0 x1x20,+x1x2+3,+x1x2+-a+x1x2+,a3.