运筹学Chapter线性规划及其单纯形法.pptx
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1、2023/3/271一、线性规划问题的数学模型一、线性规划问题的数学模型在现有各项资源条件的限制下,如何确定方案,在现有各项资源条件的限制下,如何确定方案,使预期目标达到最优,这就是规划方法。使预期目标达到最优,这就是规划方法。例例1 1 美佳公司计划制造美佳公司计划制造、两种家电产品。已两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备知各制造一件时分别占用的设备A A、B B的台时、调试时的台时、调试时间、调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出间、调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况,如表一件时的获利情况,如表1-11-1所示。问该公司应制造所示。问该公司应制造两种家电
2、产品各多少件,使获取的利润为最大?两种家电产品各多少件,使获取的利润为最大?1-1 1-1 线性规划问题及其数学模线性规划问题及其数学模型型返回第一章目录第1页/共61页2023/3/2721-1 线性规划问题及其数学模型用数学语言来描述这个问题。假设美佳公司每天制造、两种家电产品的数量分别是x1和x2件。max约束条件目标函数Z2x1x25x2156x12x224x1x25x1,x20这就是例1的数学模型第2页/共61页2023/3/273运筹学基础及应用运筹学基础及应用运筹学基础及应用运筹学基础及应用第一章例第一章例第一章例第一章例2 2【例例2 2】某企业计划生产某企业计划生产I I、两
3、种产品。这两种产品都要分别在两种产品。这两种产品都要分别在A A、B B、C C、D D四种不同设备上加工。按工艺资料规定,生产每件产品四种不同设备上加工。按工艺资料规定,生产每件产品I I需占用各设备分别为需占用各设备分别为2 2、1 1、4 4、0 0小时,生产每件产品小时,生产每件产品B B,需占用各设备分别为,需占用各设备分别为2 2、2 2、0 0、4 4小时。已知设备计划小时。已知设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为期内用于生产这两种产品的能力分别为1212、8 8、1616、1212小时,又知每生产一件产品小时,又知每生产一件产品I I企业能获得企业能获得2 2元利润、每生
4、产一件产品元利润、每生产一件产品企业能获得企业能获得3 3元利润,问该企业应安排生产元利润,问该企业应安排生产两种产品各多少件,使总的利润收入为最大?两种产品各多少件,使总的利润收入为最大?第3页/共61页2023/3/274 产品产品资源资源产品产品产品产品生产能力生产能力(h)设备设备A(h)2212设备设备B(h)128设备设备C(h)4016设备设备D(h)0412利润(元利润(元/件)件)23假设:假设:计划期内生产计划期内生产 产品产品x1件,件,产品产品x2件。件。第4页/共61页2023/3/275例例2 2捷运公司拟在下一年度的捷运公司拟在下一年度的1 14 4月份的月份的4
5、 4个月内租用仓库堆放物资。已知各月份个月内租用仓库堆放物资。已知各月份所需仓库面积数。仓库租借费用随合同期而定,期限越长,折扣越大,具体数字如所需仓库面积数。仓库租借费用随合同期而定,期限越长,折扣越大,具体数字如表表1-21-2所示。租借仓库的合同每月初都可办理,每份合同具体规定租用面积和期限。所示。租借仓库的合同每月初都可办理,每份合同具体规定租用面积和期限。因此,该厂可根据需要,在任何一个月初办理租借合同。每次办理可签一份,也可因此,该厂可根据需要,在任何一个月初办理租借合同。每次办理可签一份,也可签若干份租用面积和租借期限不同的合同,试确定该公司签定租借合同的最优决策,签若干份租用面
6、积和租借期限不同的合同,试确定该公司签定租借合同的最优决策,目的是使所付租借费用最小。目的是使所付租借费用最小。第5页/共61页2023/3/276假设用xij表示捷运公司第i(i1,2,4)个月月初签订租借期为j(j1,2,4)个月的仓库面积数(单位为100m2)。则min z2800(x11+x21+x31+x41)+4500(x12+x22+x32)+6000(x13+x23)+7300 x14x11+x12+x13+x1415x12+x13+x14+x21+x22+x23 10 x13+x14+x22+x23+x31+x32 20 x14+x23+x32+x41 12xij 0 (i1
7、,2,4;j1,2,4)租借期为一个月的仓库面积租借期为二个月的仓库面积租借期为三个月的仓库面积租借期为四个月的仓库面积一月份拥有的租借面积二月份拥有的租借面积三月份拥有的租借面积四月份拥有的租借面积一月份仓库需求面积约束二月份仓库需求面积约束三月份仓库需求面积约束四月份仓库需求面积约束非负约束第6页/共61页2023/3/277组成线性规划模型的三个要素组成线性规划模型的三个要素max Z2x1x25x2156x12x224x1x25x1,x20目标函数:约束条件(1 1 1 1)变量(决策变量)变量(决策变量)变量(决策变量)变量(决策变量):它是规划中要确定的未知量,是用数量方它是规划中
8、要确定的未知量,是用数量方它是规划中要确定的未知量,是用数量方它是规划中要确定的未知量,是用数量方式来表示的方案或措施,可由决策者决定式来表示的方案或措施,可由决策者决定式来表示的方案或措施,可由决策者决定式来表示的方案或措施,可由决策者决定和控制。和控制。和控制。和控制。(2 2 2 2)目标函数:)目标函数:)目标函数:)目标函数:它是决策变量的函数,是决策者在一定它是决策变量的函数,是决策者在一定它是决策变量的函数,是决策者在一定它是决策变量的函数,是决策者在一定的限制条件下希望得到的结果。的限制条件下希望得到的结果。的限制条件下希望得到的结果。的限制条件下希望得到的结果。(3 3 3
9、3)约束条件:)约束条件:)约束条件:)约束条件:指决策变量取值时受到的各种资源条件的指决策变量取值时受到的各种资源条件的指决策变量取值时受到的各种资源条件的指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制,通常用等式或不等式来表达。限制,通常用等式或不等式来表达。限制,通常用等式或不等式来表达。限制,通常用等式或不等式来表达。其中,其中,x xij ij00叫做非负约束。叫做非负约束。由由由由于于于于目目目目标标标标函函函函数数数数是是是是决决决决策策策策变变变变量量量量的的的的线线线线性性性性函函函函数数数数,约约约约束束束束条条条条件件件件是是是是含含含含决决决决策策策策变变变变量量量量的的的的
10、线线线线性性性性等等等等式式式式或或或或不不不不等等等等式式式式,所所所所以以以以此此此此类类类类模模模模型型型型称称称称为为为为线线线线性性性性规规规规划划划划的的的的数学模型。数学模型。数学模型。数学模型。实际问题中,线性的含义有二:实际问题中,线性的含义有二:实际问题中,线性的含义有二:实际问题中,线性的含义有二:一一一一是是是是严严严严格格格格的的的的比比比比例例例例性性性性,即即即即某某某某种种种种产产产产品品品品对对对对资资资资源源源源的的的的消消消消耗耗耗耗量量量量和和和和可可可可获获获获得得得得的的的的利利利利润润润润与与与与其其其其生产数量严格成比例。生产数量严格成比例。生产
11、数量严格成比例。生产数量严格成比例。二二二二是是是是可可可可迭迭迭迭加加加加性性性性。即即即即生生生生产产产产多多多多种种种种产产产产品品品品对对对对某某某某种种种种资资资资源源源源的的的的消消消消耗耗耗耗量量量量等等等等于于于于各各各各产产产产品品品品对对对对该该该该项资源的消耗量之和。项资源的消耗量之和。项资源的消耗量之和。项资源的消耗量之和。第7页/共61页2023/3/278模型中,cj称为价值系数。bi是资源限制量。aij称为技术系数或工艺系数。二、线性规划模型的一般形式二、线性规划模型的一般形式假设线性规划问题中含有假设线性规划问题中含有假设线性规划问题中含有假设线性规划问题中含有
12、n n个变量,个变量,个变量,个变量,mm个约束方程。则个约束方程。则个约束方程。则个约束方程。则线性规划模型的一般形式为:线性规划模型的一般形式为:线性规划模型的一般形式为:线性规划模型的一般形式为:max(或min)zc1x1+c2x2+cnxna11x1+a12x2+a1nxn(或,)b1a21x1+a22x2+a2nxn(或,)b2am1x1+am2x2+amnxn(或,)bmx1,x2,xn0简写为:向量形式:矩阵形式:第8页/共61页2023/3/279三、线性规划问题的标准形式三、线性规划问题的标准形式若得出的线性规划模型不是标准形式,应通过下列方法将其化为标准形式:1.目标函数
13、为求极小值的情况,即本教材规定,线性规划模型的标准形式为:本教材规定,线性规划模型的标准形式为:其特点是:(1)目标函数求极大;(2)约束条件取等式;(3)变量非负;(4)约束条件右边常数为正值。化为标准形式的方法是,令zz,则第9页/共61页2023/3/2710三、线性规划问题的标准形式3.3.约束条件为不等式的情况约束条件为不等式的情况。当约束条件为“”时,在约束符号的左边加上一个松弛变量,将“”变为“”;如6x1+2x224,化为标准形式为6x1+2x2x324,x30。当约束条件为“”时,在约束符号的左边减去一个剩余变量,将“”变为“”;如10 x1+12x218,化为标准形式为10
14、 x1+12x2x318,x30。4.4.对变量无约束的情况对变量无约束的情况。如x在(,)之间变化,即x的取值可正可负时,令xxx代入线性规划模型即可,其中x0,x0。5.5.对于对于x 00的情况的情况,令xx,显然x0。2.2.若若约约束束条条件件右右边边常常数数项项bim),其秩为其秩为m,B是矩阵是矩阵A中的一个中的一个mm阶的满秩子矩阵,称阶的满秩子矩阵,称B是线性规划问题的一个基是线性规划问题的一个基。系数系数系数系数矩阵矩阵矩阵矩阵基基基基:图解法返回第一章目录第15页/共61页2023/3/2716一、线性规划问题的解的概念一、线性规划问题的解的概念基B中的每一个列向量Pj(
15、j=1,2,m)称为基向量基向量基向量基向量,与基向量Pj对应的变量xj称为基变量基变量基变量基变量;除基变量以外的变量称为非基变量非基变量非基变量非基变量。基解基解基解基解:在约束方程中,将非基变量移到等式右边:P1P2Pm令非基变量xm+1xm+2xn0,得可解得可解得可解得可解得mm个基变量的唯一解为个基变量的唯一解为个基变量的唯一解为个基变量的唯一解为:X XB B(x x1 1,x x2 2,x xmm)T T。加上非基变量取加上非基变量取加上非基变量取加上非基变量取0 0的值,得的值,得的值,得的值,得X X(x x1 1,x,x2 2,,x xmm,0,0,0,0)T T。这就是
16、线性规划问题的基解这就是线性规划问题的基解这就是线性规划问题的基解这就是线性规划问题的基解。第16页/共61页2023/3/2717基可行解基可行解:满足非负约束的解称为基可行解。可行基可行基:对应于基可行解的基称为可行基。例:找出下述线性规划问题的全部基解,指出其中的基找出下述线性规划问题的全部基解,指出其中的基可行解,并确定最优解可行解,并确定最优解。max z2x1+3x2+x3x1+x35x1+2x2+x410 x2+x54x150一、线性规划问题的解的概念一、线性规划问题的解的概念解解解解:用穷举法找出该线性规划问题的全部基解。打者为基可行解。最优解为:x12,x24,x33,x40
17、,x50与最优解对应的目标函数值为z19第17页/共61页2023/3/2718凸集凸集设设C C为为n n维欧氏空间的一个点集。若对于维欧氏空间的一个点集。若对于C C中任意两点中任意两点X X1 1,X X2 2满足满足X X1 1+(1-)X+(1-)X2 2C (0C (01)1)则称则称C C为凸集为凸集。也就是说,如果也就是说,如果X X1 1CC,X X2 2CC,则线段则线段X X1 1X X2 2上的所有点上的所有点X X也属于也属于C C。即即:X XXX1 1+(1-)X+(1-)X2 2C (0C (01)1)称称C C为凸集为凸集。从直观上看,凸集没有凹入部分,其内部
18、没有孔洞。二、凸集和顶点二、凸集和顶点凸集凸集凸集凸集凸集凸集第18页/共61页2023/3/2719不是凸集不是凸集不是凸集不是凸集二、凸集和顶点二、凸集和顶点顶点顶点顶点顶点设设设设K K K K为凸集为凸集为凸集为凸集,XCXCXCXC,若若若若X X X X不能用不能用不能用不能用C C C C中不同的两点中不同的两点中不同的两点中不同的两点X X X X1 1 1 1,X X X X2 2 2 2的线性组合表示为的线性组合表示为的线性组合表示为的线性组合表示为X X X XXXXX1 1 1 1+(1-)X+(1-)X+(1-)X+(1-)X2 2 2 2 C (0 C (0 C (
19、0 C (01)1)1)1)则称则称则称则称X X X X为为为为C C C C的一个顶点(或极点)。即的一个顶点(或极点)。即的一个顶点(或极点)。即的一个顶点(或极点)。即X X X X不能成为不能成为不能成为不能成为C C C C中任何线段的内点。中任何线段的内点。中任何线段的内点。中任何线段的内点。第19页/共61页2023/3/2720三、三、线性规划的基本定理线性规划的基本定理定理定理定理定理1 1 1 1:若线性规划问题存在可行解,则问题的可行域是凸集。:若线性规划问题存在可行解,则问题的可行域是凸集。:若线性规划问题存在可行解,则问题的可行域是凸集。:若线性规划问题存在可行解,
20、则问题的可行域是凸集。引理引理引理引理 线性规划的可行解线性规划的可行解线性规划的可行解线性规划的可行解X=(=(=(=(x1 1 1 1,x2 2 2 2,xn)为基可行解的充要条件是为基可行解的充要条件是为基可行解的充要条件是为基可行解的充要条件是X 的正分量所对应的系数列向量线性独立。的正分量所对应的系数列向量线性独立。的正分量所对应的系数列向量线性独立。的正分量所对应的系数列向量线性独立。定理定理定理定理2 2 2 2:线性规划的基本可行解对应于其可行域的顶点。:线性规划的基本可行解对应于其可行域的顶点。:线性规划的基本可行解对应于其可行域的顶点。:线性规划的基本可行解对应于其可行域的
21、顶点。定理定理定理定理 3 3 3 3 若线性规划问题有最优解,一定存在一个基可行解是最优解。若线性规划问题有最优解,一定存在一个基可行解是最优解。若线性规划问题有最优解,一定存在一个基可行解是最优解。若线性规划问题有最优解,一定存在一个基可行解是最优解。单纯形法迭代原理第20页/共61页2023/3/2721定理定理1 1 1 1:若线性规划问题存在可行解,则问题的可行域是凸:若线性规划问题存在可行解,则问题的可行域是凸集。集。证明证明 若满足线性规划约束条件若满足线性规划约束条件线性规划的基本定理的证明线性规划的基本定理的证明Pjxjbj=1n的所有点组成的的所有点组成的集合集合C C C
22、 C是凸集是凸集,则则C C C C内任意两点内任意两点X X X X1 1 1 1,X X X X2 2 2 2连线上的点也必然在连线上的点也必然在C C C C内。内。设设X X X X1 1 1 1=(x=(x=(x=(x11111111,x,x,x,x12121212,,x x x x1n1n1n1n)T T T T,X,X,X,X2 2 2 2=(x=(x=(x=(x21212121,x,x,x,x22222222,,x x x x2n2n2n2n)T T T T为为C C C C内任意两点,即内任意两点,即X X X X1 1 1 1CCCC,X X X X2 2 2 2CCCC,
23、将将X X X X1 1 1 1 ,X X X X2 2 2 2代入约束条件,有代入约束条件,有Pjx1jbj=1nPjx2jbj=1n;(1-9)X X1 1,X X2 2连线上任意一点可表示为:连线上任意一点可表示为:Xa aX1(1a a)X2 (00a1a1)(1-10)(1-10)将(1-91-9)代入(1-101-10)得:所以 X X1 1CC,X X2 2CC。由于集合中任意两点连线上的点均在集合内,所以C C为凸集。第21页/共61页2023/3/2722引理引理引理引理 线性规划的可行解线性规划的可行解线性规划的可行解线性规划的可行解X X =(=(=(=(x x1 1,x
24、 x2 2,x xn n)为基可为基可为基可为基可行解的充要条件是行解的充要条件是行解的充要条件是行解的充要条件是X X 的正分量所对应的系数列向量的正分量所对应的系数列向量的正分量所对应的系数列向量的正分量所对应的系数列向量线性独立。线性独立。线性独立。线性独立。证:(证:(证:(证:(1 1 1 1)必要性。由基可行解的定义得证。)必要性。由基可行解的定义得证。)必要性。由基可行解的定义得证。)必要性。由基可行解的定义得证。(2 2 2 2)充充充充分分分分性性性性。若若若若向向向向量量量量P P1 1,P,P2 2,P,Pk k线线线线性性性性独独独独立立立立,则则则则必必必必有有有有k
25、mkm时时时时;当当当当k=k=mm时时时时,它它它它们们们们恰恰恰恰好好好好构构构构成成成成一一一一个个个个基基基基,从从从从而而而而X=X=(x(x1 1,x,x2 2,x xmm,0,0,0),0),0),0)T T T T为相应的基可行解。为相应的基可行解。为相应的基可行解。为相应的基可行解。当当当当k k mm时时时时,则则则则一一一一定定定定可可可可以以以以从从从从其其其其余余余余列列列列向向向向量量量量中中中中找找找找出出出出(mm-k k)个个个个与与与与P P1 1,P,P2 2,P,Pk k构构构构成成成成一一一一个个个个基基基基,其其其其对对对对应应应应的的的的解解解解恰
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