重积分概念及性质.pptx

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1、理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心第1页/共29页第九章第九章 重重 积积 分分第2页/共29页教学内容和基本要求 理解二重积分、三重积分的概念，及其性质理解二重积分、三重积分的概念，及其性质,掌握积分中值定理掌握积分中值定理。掌握二重积分的计算方法掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标直角坐标、极坐标).).会用重积分求一些几何量与物理量会用重积分求一些几何量与物理量(如面积如面积、体积、体积、曲面面积、物体的质量、重心、转动惯量、引力等曲面面积、物体的质量、重心、转动惯量、引力等)。了解三重积分的计算方法了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、直角坐标、柱面坐标、球面坐标球

2、面坐标)。第3页/共29页重点与难点重点与难点重点：二重积分的计算方法,三重积分的计算方法.难点：三重积分计算方法三重积分计算方法,重积分在几何及物理方面的应用重积分在几何及物理方面的应用.第4页/共29页回忆定积分.设一元函数 y=f(x)在a,b可积.则0 xyabxixi+1 iy=f(x)f(i)其中 ixi,xi+1,xi=xi+1 xi,表小区间xi,xi+1的长,f(i)xi表示小矩形的面积.9.1 二重积分的概念与性质第5页/共29页多元函数积分学的内容简介 一元积分学是讨论确定形式和式的极限，并用此思想得出了一些量的计算。这种讨论和式的极限的思想可以推广到定义在区域、曲线及曲

3、面上的多元函数的情形。本章将推广到定义在空间区域上多元函数积分学为重积分。包含二重积分、三重积分等。下章将推广到定义在曲线及曲面上多元函数积分学为线积分、面积分学。第6页/共29页柱体体积=底面积高特点：平顶柱体体积=？特点：曲顶1.曲顶柱体的体积一、问题的提出曲顶柱体第7页/共29页曲顶柱体：以曲面：z=f(x,y)为顶，一般z=f(x,y)在D上连续。以平面有界区域D为底，侧面是柱面，该柱面以D为准线，母线平行于z轴。还有其他类型的柱面。求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，第8页/共29页设有一立体.其底面是 xy 面上的区域D,其侧面为母线平行于 z 轴的柱面,其顶是曲面

4、z=f(x,y)0,连续.0yzxz=f(x,y)D如何求曲顶柱体的体积V.第9页/共29页步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，具体步骤见下页具体步骤见下页:第10页/共29页(i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1,D2,Dn,每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.如图z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi第11页/共29页(ii)由于Di很小,z=f(x,y)连续,小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.(i,i)Di.小平顶柱体的高=f(i,i).若记 i=Di的面积.则小平顶柱体的体积=f(i,i)I 小曲顶柱体体积 f

5、(i,i)(i,i)Diz=f(x,y)第12页/共29页(iii)因此,大曲顶柱体的体积 分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值V,若分割得无限细,则右端近似值会无限接近于精确值V.也就是第13页/共29页(iv)其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.其中 (i,i)Di,i=Di 的面积.xyDi如图第14页/共29页 当平面薄板的质量是均匀分布时,平面薄板的质量=面密度面积.2.平面薄板的质量 M.若平面薄板的质量不是均匀分布的.这时,薄板的质量不能用上述公式算,应如何算该薄板的质量M第15页/共29页(i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1,D2,Dn,设一平面薄板,所占区域

6、为D,面密度(x,y)0 连续.(x,y)D.求该平面薄板的质量M.0 xyDDiDi的面积记作 i.第16页/共29页0 xyDDi由于(x,y)0 连续,从而当Di很小时,(x,y)在Di上的变化不大,可近似看作(x,y)在Di上是不变的.从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di这一小块质量的近似值.第17页/共29页(ii)即,(i,i)Di,以(i,i)作为Di 这一 小片薄板的面密度.从而,第 i 片薄板的质量 mi (i,i)i(iii)故,平面薄板的质量(iv)第18页/共29页设z=f(x,y)是定义在有界闭区域DR2上的有界函数.将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(I=1

7、,2,n),其面积记为 i.(i,i)Di,作积f(i,i)i,二、二重积分的概念与性质 1.定义第19页/共29页若对任意的分法和任意的取法,当 0时,和式的极限存在且极限值都为I,则称f(x,y)在D上可积,记为f(x,y)R(D),并称此极限值 I 为f(x,y)在D上的二重积分.记作即积分区域被积函数面积微元二重积分符号积分变量积分和第20页/共29页注1.定积分二重积分区别在将小区间的长度 xi 换成小区域的面积 i,将一元函数 f(x)在数轴上点 i 处的函数值 f(i)换成二元函数 f(x,y)在平面上点(i,i)处的函数值 f(i,i).可见,二重积分是定积分的推广.第21页/

8、共29页注2.若将D用两族平行于x轴和y轴的 直线分割.(如图)DiD则除边界上区域外,Di的面积i=xi yi,故也将二重积分写成是我们常用的写法第22页/共29页注3.可以证明若f(x,y)在D上连续,则f(x,y)在D 上可积,若f(x,y)在D上有界,且在D内只有有限个不连续点,或只在有限条曲线上不连续,则f(x,y)可积.2.二重积分的性质设D为有界闭区域,以下涉及的积分均存在.性质1.第23页/共29页性质2.性质3.性质4.第24页/共29页若在D上有f(x,y)g(x,y),则特别:(i)若在D上f(x,y)0,则(ii)这是因为|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|积分后即得.性质5.第25页/共29页若在D上 m f(x,y)M,则设 f(x,y)C(D),则(,)D,使得性质6.性质7.第26页/共29页3.二重积分的几何意义(i)z=f(x,y)0,(ii)z=f(x,y)0,(iii)=(D1上曲顶柱体体积)(D2上曲顶柱体体积)设 x,y 在 D上可积,则第27页/共29页第28页/共29页感谢您的观看！第29页/共29页