线性代数高等代数知识点总结.pptx

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1、概念概念不同行不同列的元素的乘积的代数和。不同行不同列的元素的乘积的代数和。性质性质经转置行列式的值不变；经转置行列式的值不变；互换两行行列式变号；互换两行行列式变号；某行有公因子可提到行列式符号外；某行有公因子可提到行列式符号外；拆成行列式的和；拆成行列式的和；消法变换。消法变换。第1页/共54页展开第2页/共54页计算计算数字数字型型抽象抽象型型三角化法；三角化法；重要行列式法；重要行列式法；加边法；加边法；递推法。递推法。用行列式性质；用行列式性质；用矩阵性质；用矩阵性质；用特征值；用特征值；利用矩阵相似。利用矩阵相似。【热点热点】注意与矩阵的运算相联系的一些行列式注意与矩阵的运算相联系

2、的一些行列式的计算及其证明的计算及其证明.第3页/共54页证证|A|=0AX=0有非零解；有非零解；反证法；反证法；R(A)n;A可逆；可逆；|A|=-|A|；A的列向量组线性相关；的列向量组线性相关；0是是A的特征值；的特征值；第4页/共54页应用应用AX=0有非零解；有非零解；伴随矩阵求逆法；伴随矩阵求逆法；克拉姆法则克拉姆法则;A可逆的证明；可逆的证明；线性相关线性相关(无关无关)的判定；的判定；特征值计算。特征值计算。第5页/共54页二、特殊行列式的值二、特殊行列式的值 第6页/共54页第7页/共54页第8页/共54页第9页/共54页三、有关行列式的几个重要公式三、有关行列式的几个重要

3、公式1、若A是n阶矩阵，则2、若A,B是n阶矩阵，则3、若A是n阶矩阵，则4、若A是n阶可逆矩阵，则5、若A是n阶矩阵，是A的n个特征值，则6、若A与B相似，则第10页/共54页行列式的计算（重点）行列式的计算（重点）常用方法：常用方法：u三角化法三角化法u展开降阶法（和消元相结合最为有效）展开降阶法（和消元相结合最为有效）u加边法加边法u归纳法归纳法u化为已知行列式（一些有固定形式的行列式，化为已知行列式（一些有固定形式的行列式，如：三角形、爪型、如：三角形、爪型、“范德蒙范德蒙”行列式等）行列式等）第11页/共54页本章所需掌握的题型：本章所需掌握的题型：u行列式计算行列式计算（重点）（重

4、点）1、具体阶数行列式计算、具体阶数行列式计算2、较简单的、较简单的n阶行列式计算阶行列式计算u与行列式定义、性质有关的问题与行列式定义、性质有关的问题u需利用行列式进行判定的问题需利用行列式进行判定的问题如：如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况法则判定方程组的解况2、矩阵可逆性、矩阵可逆性3、向量组相关性（向量个数向量维数）、向量组相关性（向量个数向量维数）4、两个矩阵相似的必要条件、两个矩阵相似的必要条件5、矩阵正定、半正定的必要条件、矩阵正定、半正定的必要条件第12页/共54页矩阵运算行列式初等变换和标准形特殊矩阵13第13页/共54页转置转置取逆取逆伴随伴随加法(A+B)T=

5、AT+BT数乘(kA)T=k AT(kA)1=k 1A 1(kA)*=kn 1A*乘法(AB)T=BT AT(AB)1=B 1 A 1(AB)*=B*A*转置(AT)T=A(AT)1=(A 1)T(AT)*=(A*)T取逆(A 1)1=A(A 1)*(A*)1伴随(A*)*=|A|n 2A*其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|I当当A可逆时，可逆时，A*|A|A 114第14页/共54页行列式行列式秩数秩数加法r(A+B)r(A)+r(B)数乘|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k0)乘法|AB|=|A|B|r(A)+r(B)-nr(AB)r(A),r(B)转置|AT|=|A

6、|r(AT)=r(A)取逆|A 1|=|A|1伴随|A*|=|A|n 1 n,若若r(A)=n r(A*)=1,若若r(A)=n 1 0,若若r(A)0 p=n A=PTP k0第18页/共54页第19页/共54页1.错（不满足消去律）2 对 3 错（不满足交换律）4.错（不一定是方阵）5.对6 错（同4）7对8 对9 错（不存在关于加法的公式，同理行列式也不存在关于加法的公式）10对第20页/共54页向量线性关系线性相关线性无关线性表示等价极大无关组秩数21第21页/共54页线性表示：列向量组1,.,r可由1,.,s线性表示当且仅当有矩阵C使得(1,.,r)=(1,.,s)C.进一步，C的第

7、k列恰为k的表示系数 线性表示有传递性 被表示者的秩数表示者的秩数向量组等价：对于向量组S，T，下列条件等价1.S和T等价，即S,T可以互相表示2.S,T的极大无关组等价3.S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示22第22页/共54页线性相关与线性表示：1,.,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示若,1,.,r线性相关,而1,.,r线性无关,则可由1,.,r线性表示,且表法唯一线性无关：对于向量组1,.,r下列条件等价 1,.,r线性无关 当c1,.,cr不全为0时，必有c11+.+crr0 当c11+.+crr0时，必有c1.cr0 1,.,r的秩数等于r(1,.,r)是列满秩矩阵

8、23第23页/共54页极大无关组与秩数：1.1,.,rS是S的一个极大无关组当且仅当1,.,r线性无关S的每个向量都可由1,.,r线性表示2.秩S极大无关组中向量的个数3.若秩Sr,则任何r个无关的向量都是极大无关组4.矩阵的秩数行向量组的秩数列向量组的秩数24第24页/共54页有有非非零零解解判定方程判定方程线性相关性的判别线性相关性的判别特别当向量组的特别当向量组的“向量个数向量维数向量个数向量维数”时，则有：时，则有：当当向量维数向量维数向量个数向量个数”时，则有向量组必时，则有向量组必线性相关线性相关.第25页/共54页u“短短”向量组无关必有向量组无关必有“长长”向量组无关向量组无关

9、u“长长”向量组相关必有向量组相关必有“短短”向量组相关向量组相关u向量组向量组“部分相关部分相关”必有必有“整体相关整体相关”u向量组向量组“整体无关整体无关”必有必有“部分无关部分无关”u“大大”向量组被向量组被“小小”向量组表出，向量组表出，“大大”向量组向量组线性相关线性相关.u“线性无关线性无关”的向量组只可能被的向量组只可能被“不小于不小于”它的向它的向量组线性表出量组线性表出.u任何向量组只可能被任何向量组只可能被“秩不小于它的秩秩不小于它的秩”的向量组的向量组线性表出线性表出.u“等价无关组等价无关组”具有相同的具有相同的“大、小大、小”通通俗俗记记忆忆第26页/共54页求向量

10、组秩、极大无关组，表示方式求向量组秩、极大无关组，表示方式行阶梯型矩阵一个极大无关组一个极大无关组原向量组一个极大无关组原向量组一个极大无关组第27页/共54页第一等价链第一等价链第28页/共54页第二等价链第二等价链第29页/共54页与初始向量组等价与初始向量组等价第30页/共54页正交矩阵正交矩阵定义：定义：正交矩阵的性质：正交矩阵的性质：第31页/共54页线性方程组线性方程组的表示方程式：矩阵式：Ax=b,其中A=(aij)mn,x=(xi)n1,b=(bi)m1向量式：x11+.+xnn=b,其中i是xi的系数列32第32页/共54页解的判定:1.n元线性方程组Ax=b有解系数矩阵与增

11、广矩阵的秩数相等.具体地，当秩A秩(A b)时，方程组无解当秩A秩(A b)n时，方程组有唯一解当秩A秩(A b)n时，方程组有无穷解2.线性方程组有解常数列可由系数列线性表示.此时,解恰为表示的系数33第33页/共54页解法Cramer法则Gauss-Jordan消元法：用行变换和列换法变换将增广矩阵化成行最简形写出行最简形对应的方程组取每个方程的第一个变量为主变量，其余的为自由变量，并解出主变量写出参数解或通解34第34页/共54页解的结构齐次线性方程组Ax=0：解空间：解的集合基础解系：解空间的基底通解：设1,s是一个基础解系,则通解为=c11+.+css，其中c1,.,cs是任意常数解

12、空间的维数未知数个数系数矩阵的秩数设秩A=r,则Ax=0的任何n-r个无关的解都是基础解系35第35页/共54页一般线性方程组Ax=b：Axb和Ax=0的解的关系：Axb的两个解之差是Ax=0的解Axb的解与Ax=0的解之和是Ax=b的解Ax=b的解的线性组合是设Sb和S0分别表示Axb和Ax=0的解集合，则SbS0+，Sb通解：设1,s是一个基础解系,是Ax=b的一个解,则通解为=c11+.+css+，其中c1,.,cs是任意常数Ax=0的解，当系数和0时；Ax=b的解，当系数和1时.36第36页/共54页矩阵计算行列式：化三角形；展开+递推求逆矩阵：行变换；伴随求秩数：初等变换；定义37计

13、算第37页/共54页方程组的计算1.求基础解系：Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法)已知秩Ar，则任何r个无关解都是基础解系2.求通解：Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法)3.带参数的方程组：先化简，再判定.可先考虑唯一解的情形.特别是有系数行列式时.38第38页/共54页向量的计算设S：1,.,s是n元向量组(无论行或列)求S的秩数：S的秩数=它组成的矩阵的秩数 判断S的相关性：设x11+.+xss=0,将其转化成x的方程组.若方程组有非零解，则S相关；否则，无关.求S的秩数.若秩Ss,则相关；若秩Ss,则无关 线性表示：令=x11+.+xss,将其转化成x的方程组.

14、若方程组有(唯一)解，则可由S(唯一)表示，且方程组的解就是表示的系数；否则，不可由S表示.39第39页/共54页 求极大无关组：若已知秩Sr，则在S中找出r的无关的向量即可 将S中的向量写成列的形式组成矩阵，对矩阵作行变换，化成阶梯形，则S与阶梯矩阵的列向量组线性关系一致.40第40页/共54页第41页/共54页第42页/共54页第43页/共54页第44页/共54页第45页/共54页1错（至少有一组，非任意）2对3错（同1）4错（是当且仅当，即只存在唯一一组）5对6对7错（无穷不等于任意）8错（或 ）9对10错（整体无关，部分无关；部分相关，整体相关。反之皆未必）11错（同上）12错（这样的

15、不全为0的数组不唯一）13错（是至少有一组，不是全部）14错（还要条件：线性无关）15错（同上）16错（比如3行4列矩阵，秩为3 时）17错18错19错20对第46页/共54页第47页/共54页第48页/共54页第49页/共54页 学习过程中常见的失误学习过程中常见的失误1.未必可换 有意义，但 无意义，有意义，均为 阶矩阵，但 第50页/共54页2.A2=A A=0 或 A=E AB=0,A 方阵|A|=0 或 B 0 第51页/共54页 3.Ax=b 中 求错,原因直接在 Ax=b 中 令自由未知量为 4.求初等变换时,作 参数 可能为零 第52页/共54页 5.矩阵与行列式记号混淆 等于“”与“”混淆.6.7.第53页/共54页54感谢您的观看！第54页/共54页