控制系统的稳定性 精选PPT.ppt

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1、关于控制系统的稳定性 第1页，讲稿共46张，创作于星期二 如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而当如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳定的，统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳定的，或不具有稳定性。或不具有稳定性。5.1系统稳定性的基本概念系统稳定性的基本概念第2页，讲稿共46张，创作于星期二 控制系统的稳定性也可以这样定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原来平衡状态

2、的性能，则称该系统为稳定；否则，称该系统为不稳定。必须指出：稳定性是系统的固有特性，它取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关。第3页，讲稿共46张，创作于星期二5.2系统稳定性的充要条件系统稳定性的充要条件 若系统初始条件为零，对系统加上理想单位脉冲信号若系统初始条件为零，对系统加上理想单位脉冲信号 ，系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数，系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数 ，就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的情况。如果当情况。如果当 时，脉冲过渡函数时，脉冲过渡函数 收敛于系收敛于系统原平衡工作点，即下式成立：统原平衡工作点，即下式成立：

3、则线性系统是稳定的。则线性系统是稳定的。第4页，讲稿共46张，创作于星期二 设系统闭环传递函数为：设系统闭环传递函数为：系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为:设特征根互不相等，设特征根互不相等，系统闭环传递函数可改写如下：系统闭环传递函数可改写如下：闭环特征根为闭环特征根为:则系统脉冲响应的拉氏变换为：则系统脉冲响应的拉氏变换为：第5页，讲稿共46张，创作于星期二得系统的脉冲过渡函数为（响应）得系统的脉冲过渡函数为（响应）(1)(1)若若 为实数为实数若系统稳定若系统稳定(2)(2)若若 为复数为复数发散发散第6页，讲稿共46张，创作于星期二线性系统稳定的充分必要条件是线性系统稳定的充分必要条

4、件是它的所有特征根都具有负实部或它的所有特征根都具有负实部或都位于都位于S S平面的左半平面，则系平面的左半平面，则系统稳定。统稳定。(3)(3)若特征根为若特征根为k k个实根，个实根，r r个复数根，个复数根，第7页，讲稿共46张，创作于星期二 控制系统稳定的充分必要条件为：系统特系统特征方程的根全部具有负实部。征方程的根全部具有负实部。系统特征方程的根就是闭环极点，所以控制系统稳定的充分必要条件也可以表示为：闭环传递函数的极点全部具闭环传递函数的极点全部具有负实部，或者说闭环传递函数的极点全部位有负实部，或者说闭环传递函数的极点全部位于平面的于平面的S S左半面内。左半面内。第8页，讲稿

5、共46张，创作于星期二例例 一个单位反馈系统的开环传递函数为一个单位反馈系统的开环传递函数为试说明系统是否稳定。试说明系统是否稳定。解：系统的闭环传递函数为解：系统的闭环传递函数为系统稳定系统稳定第9页，讲稿共46张，创作于星期二1.1.系统稳定性的初步判别系统稳定性的初步判别（必要条件）（必要条件）设系统的闭环特征方程式为如下标准形式设系统的闭环特征方程式为如下标准形式：2.2.劳斯稳定判据劳斯稳定判据5.2代数稳定性判据代数稳定性判据第10页，讲稿共46张，创作于星期二Routh稳定判据设系统的特征方程为设系统的特征方程为根据特征方程的各项系数排列成根据特征方程的各项系数排列成RouthR

6、outh判据表判据表(n=5(n=5 为例为例)：RouthRouth稳定判据：稳定判据：RouthRouth表第一列元素符号一致且不等表第一列元素符号一致且不等于于0 0。第一列元素。第一列元素符号变化的次数就是符号变化的次数就是正实部根的数目正实部根的数目。第11页，讲稿共46张，创作于星期二低阶系统的劳斯稳定判据低阶系统的劳斯稳定判据 二阶系统二阶系统劳斯阵列为：s2a0a2s1a10s0a2a00，a10，a20从而，二阶系统稳定的充要条件为：第12页，讲稿共46张，创作于星期二 三阶系统三阶系统劳斯阵列为：s3a0a2s2a1a3s1 0s0a3从而，三阶系统稳定的充要条件为从而，三

7、阶系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数大于零，且：特征方程的各项系数大于零，且：a1a2-a0a30 第13页，讲稿共46张，创作于星期二例例 系统特征方程系统特征方程为为试用劳斯判据判别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下:解：解：(1)(1)特征方程的所有系数均为正实数特征方程的所有系数均为正实数第一列的系第一列的系数都为正数，数都为正数，系统稳定系统稳定第14页，讲稿共46张，创作于星期二例例 系统特征方程为系统特征方程为试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况。(2)(2)列写劳

8、斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下:解：解：(1)(1)系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。有两个根位于有两个根位于s平平面的右半平面面的右半平面第15页，讲稿共46张，创作于星期二练习练习 系统特征方程系统特征方程为为试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，则确定试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，则确定具有正实部根的个数。具有正实部根的个数。答案：答案：系统不稳定系统不稳定,有两个根有两个根具有正实部具有正实部,即有两个即有两个根位于根位于s s平面的右半平平面的右半平面面第16页，讲稿共46张，创作于星期二劳斯判据的特殊情况劳斯判据的特

9、殊情况、劳斯表中某一行第一列元素为零，其余不为零或不、劳斯表中某一行第一列元素为零，其余不为零或不全为零，这时可用一个很小的正数来代替这个零，全为零，这时可用一个很小的正数来代替这个零，然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号，然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号，则系统临界稳定，否则不稳定。则系统临界稳定，否则不稳定。第17页，讲稿共46张，创作于星期二解：解：(1)(1)系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。例例 系统特征方程为系统特征方程为判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。第一列为第一列为零零(2)(2)列写劳斯阵列表如

10、下列写劳斯阵列表如下:系统不稳定，系统不稳定，且有两个根且有两个根具有正实部具有正实部第18页，讲稿共46张，创作于星期二练习练习 系统特征方程为系统特征方程为判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。系统不稳定，系统不稳定，且有两个根且有两个根具有正实部具有正实部第19页，讲稿共46张，创作于星期二 若劳斯阵列表中某一行（设为第若劳斯阵列表中某一行（设为第k k行）的所有系数均为行）的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称的根。对称的根。(3)(3)解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的根。解辅助方程，得到所有数值相同

11、、符号相异的根。(1)(1)用用(k-1)(k-1)行元素构成辅助方程，辅助方程的最高阶行元素构成辅助方程，辅助方程的最高阶次为次为(n-k+2)(n-k+2)，然后，然后s s的次数递降的次数递降2 2。(2)(2)将辅助方程对将辅助方程对s s求导，其系数作为全零行的元素，求导，其系数作为全零行的元素，继续完成劳斯表。继续完成劳斯表。第20页，讲稿共46张，创作于星期二(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下:解：解：(1)(1)特征方程的所有系数均为正实数特征方程的所有系数均为正实数例例 系统特征方程为系统特征方程为判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。解辅助方程得解辅助方程得:第

12、21页，讲稿共46张，创作于星期二例例 系统特征方程为系统特征方程为判别系统的稳定性。若不稳定，则确定具有正实部根的判别系统的稳定性。若不稳定，则确定具有正实部根的个数。个数。第22页，讲稿共46张，创作于星期二 练习练习 系统特征方程为系统特征方程为第23页，讲稿共46张，创作于星期二设一单位反馈控制系统如图所示，求使系统稳定的设一单位反馈控制系统如图所示，求使系统稳定的k k的范围的范围解解(1)系统的传递函数为：系统的传递函数为：特征方程为：特征方程为：(2)(2)列劳斯阵列表列劳斯阵列表系数都为正实数系数都为正实数第24页，讲稿共46张，创作于星期二(2)列劳斯阵列表列劳斯阵列表0 0

13、 K K 30,0 0，30-30-K K 0 0第25页，讲稿共46张，创作于星期二按稳定要求确定按稳定要求确定 T T 的临界值。的临界值。解解 劳斯阵列表为劳斯阵列表为即必须即必须 T 25T 25系统才能稳定。系统才能稳定。例例11 11 系统特征方程式为系统特征方程式为第26页，讲稿共46张，创作于星期二第四节第四节 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据1.1.辅助函数辅助函数控制系统的方框图控制系统的方框图开环频率特性开环频率特性闭环特征方程闭环特征方程一、奈奎斯特稳定判据的数学基础一、奈奎斯特稳定判据的数学基础设开环传递函数为设开环传递函数为取辅助函数：取辅助函数：第27页，讲稿共4

14、6张，创作于星期二(3)F(s)(3)F(s)与开环传递函数与开环传递函数 只相差常量只相差常量1 1，的几何意义为：的几何意义为：平面的坐标原点就是平面的坐标原点就是 平面上的平面上的 点。点。辅助函数辅助函数F(s)F(s)的特点：的特点：(1)F(s)(1)F(s)的零点和极点分别为闭环极点、开环极点。的零点和极点分别为闭环极点、开环极点。(2)F(s)(2)F(s)的零点、极点个数相同（的零点、极点个数相同（n n个个)。第28页，讲稿共46张，创作于星期二 假设复变函数假设复变函数 为单值，且除了为单值，且除了S S平面上有限平面上有限的奇点外，处处都连续的奇点外，处处都连续,也就是

15、说也就是说 在在S S平面上除奇点外处处平面上除奇点外处处解析，那么，对于解析，那么，对于S S平面上的每一个解析点，在平面上的每一个解析点，在 平面上必平面上必有一点（称为映射点）与之对应。有一点（称为映射点）与之对应。映射的概念：映射的概念：例如，当系统的开环传递函数为例如，当系统的开环传递函数为第29页，讲稿共46张，创作于星期二 S S平面上的点在平面上的点在 F(SF(S）平面上的映射）平面上的映射第30页，讲稿共46张，创作于星期二设设 在在S S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续函平面上，除有限个奇点外，为单值的连续函数，若在数，若在S S平面上任选一封闭曲线平面上任选一封闭曲

16、线 ，并使，并使 不通过不通过 的奇点，则的奇点，则S S平面上的封闭曲线平面上的封闭曲线 映射到映射到F(s)F(s)平面平面上也是一条封闭曲线上也是一条封闭曲线 。当解析点。当解析点s s按顺时针方向沿按顺时针方向沿 变化一周时，则在变化一周时，则在 平面上，平面上，曲线按逆时针方曲线按逆时针方向旋转的周数向旋转的周数N N（每旋转（每旋转2 2 弧度为一周），或弧度为一周），或 按逆按逆时针方向包围时针方向包围 F(s)F(s)平面原点的次数，等于封闭曲线平面原点的次数，等于封闭曲线 内包含内包含F(s)F(s)的极点数的极点数P P与零点数与零点数Z Z之差。即之差。即 若若N0N0，

17、则，则 按逆时针方向绕按逆时针方向绕F(s)F(s)平面坐标原点平面坐标原点N N周；周；若若N0N0，则，则 按顺时针方向绕按顺时针方向绕 F(s)F(s)平面坐标原点平面坐标原点N N周；周；若若N=0N=0，则，则 不包围不包围F(s)F(s)平面坐标原点。平面坐标原点。顺包次数N=Z-P第31页，讲稿共46张，创作于星期二5.映射定理在闭环系统稳定性分析中的应用映射定理在闭环系统稳定性分析中的应用开环传递函数开环传递函数 与闭环特征方程与闭环特征方程当当 时，时，。因而，。因而，研究研究 对原点对原点 的包围情况，与研的包围情况，与研究究 对点对点 的包围情况相同。的包围情况相同。这样

18、，这样，对闭环控制系统稳定性对闭环控制系统稳定性的研究，就转化为开环传递函数的研究，就转化为开环传递函数 对点对点 的包围情况的研究。的包围情况的研究。第32页，讲稿共46张，创作于星期二封闭曲线的选择研究闭环控制系统的稳定性，也可以归结为研究 在S平面右半平面内有无零点。根据映射定理，如果选择一条封闭曲线L能包围 在S平面右半平面内的所有可能的零点和极点，根据 对原点的包围情况即G(S)H(S)对点（-1，j0）的包围情况，便可推断F(S)在右半平面有无零点和极点或它们的差值情况，进而可推断闭环系统的稳定性。G(s)H(s)在虚轴上无极点的封闭曲线在虚轴上有极点的封闭曲线0S平面S平面0第3

19、3页，讲稿共46张，创作于星期二闭环系统稳定的充分必要条件是，闭环系统稳定的充分必要条件是，GH GH 平面上的奈奎斯平面上的奈奎斯特曲线特曲线 当当 时，按逆时针时，按逆时针方向包围方向包围 点点P P周周。（。（P P为右半平面极点个数）为右半平面极点个数）三、奈奎斯特稳定判据三、奈奎斯特稳定判据应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况：应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况：1.1.当系统开环传递函数当系统开环传递函数 的全部极点都位于的全部极点都位于S S平面左半平面左半部时部时(P=0P=0）,如果系统的奈氏曲线如果系统的奈氏曲线 不包围不包围GHGH平面的

20、平面的 点（点（N=0N=0），则闭环系统是稳定的），则闭环系统是稳定的(z=p-N=0z=p-N=0），否则是不稳定的；），否则是不稳定的；第34页，讲稿共46张，创作于星期二2.2.当系统开环传递函数当系统开环传递函数 有有p p个位于个位于S S平面右半部的极平面右半部的极点时，如果系统的奈氏曲线点时，如果系统的奈氏曲线 逆时针包围逆时针包围 点的周数等点的周数等于位于于位于S S平面右半部的开环极点数平面右半部的开环极点数(N=P)(N=P)，则闭环系统是稳，则闭环系统是稳定的定的(Z=P-N=0),(Z=P-N=0),否则是不稳定的；否则是不稳定的；4.4.在有些情况下，在有些情况下

21、，曲线恰好通过曲线恰好通过GHGH平面的平面的 点（注意不是包围），此时如果系统无位于点（注意不是包围），此时如果系统无位于S S平面右半部的开平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。环极点，则系统处于临界稳定状态。3.3.如果系统的奈氏曲线如果系统的奈氏曲线 顺时针包围点顺时针包围点 （N0N0(Z=P-N0）。）。第35页，讲稿共46张，创作于星期二5.6.5奈奎斯特稳定判据例奈奎斯特稳定判据例例例5-9设单位反馈系统的开环传递函数为设单位反馈系统的开环传递函数为:当 或 时，用奈奎斯特判据判定系统的稳定性。解:系统的开环频率特性为:第36页，讲稿共46张，创作于星期二G(s)平面图

22、5-35 例5-9的奈奎斯特图00K1第37页，讲稿共46张，创作于星期二当 或 时作出 的的,()曲线如图5-35所示。由于()在右半平面有一个极点()即 ，属于开环不稳定情况。当 时，曲线按逆时针方向包围 一周(图中为半周；)，按奈奎斯特稳定判据，可判定闭环系统稳定而曲线未对 包围，可知这时闭环系统不稳定。另外，由劳斯判据知闭环系统稳定的条件为 ，这也进一步证明了如上分析的正确性。第38页，讲稿共46张，创作于星期二如图5-41所开环频率特性曲线 穿过左边的实轴时称“穿越”。当 增大 时，奈奎斯特曲线从上向下穿越负实轴上 的区段(曲线上升，增大)时称“正穿越”，反之，奈奎斯特曲线从下向上穿

23、越负实轴上的区段（曲线下降，减小）时称“负穿越”。“正穿越”一次等价奈奎斯特曲线逆时针包围一次，“负穿越”一次等价奈奎斯特曲线顺时针包围一次。当 时，奈奎斯特曲线穿越 一次，等价 ,时奈奎斯特曲线对点包围两次。另外，奈奎斯特曲线始于或终于点时 ，为半穿越，正负穿越按前后的曲线趋势判定。第39页，讲稿共46张，创作于星期二第40页，讲稿共46张，创作于星期二第41页，讲稿共46张，创作于星期二第42页，讲稿共46张，创作于星期二第43页，讲稿共46张，创作于星期二第44页，讲稿共46张，创作于星期二1.1.相角裕度相角裕度指幅值穿越频率所对应的相移指幅值穿越频率所对应的相移 与与1801800

24、0角的差值，即角的差值，即(4-30)(4-30)对于最小相位系统，如果相角裕度对于最小相位系统，如果相角裕度 ，系统是稳定的，且，系统是稳定的，且 值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角裕度值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角裕度 ，系统，系统则不稳定。当则不稳定。当 时，系统的开环频率特性曲线穿过时，系统的开环频率特性曲线穿过 点，系统处于临界稳定状态。点，系统处于临界稳定状态。使系统达到临界稳定状态时的开环频率特性的相角使系统达到临界稳定状态时的开环频率特性的相角 减小减小（对应稳定系统）或增加（对应不稳定系统）的数值。（对应稳定系统）或增加（对应不稳定系统）的数值。相角裕度的含义相角裕度的含义第45页，讲稿共46张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第46页，讲稿共46张，创作于星期二