用圆的参数方程.pptx

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1、（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。（2）相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。第1页/共33页（4 4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.参数方程求法参数方程求法:（1 1）建立直角坐标系）建立直角坐标系,设曲线上任一点设曲线上任

2、一点P P坐标为坐标为;（2 2）选取适当的参数）选取适当的参数;（3 3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义物理意义,建建立点立点P P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式;第2页/共33页第3页/共33页sin=cos=tan=cot=yrxryxxy1三角函数定义A(x,y)yxorsec=rxcsc=ry一 复习回顾第4页/共33页并且对于 的每一个允许值,由方程组所确定的点P(x,y),都在圆O上.5o思考1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程是什么呢？我们把方程组叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，是参数.第5页/共33页观察2(a,b)r又

3、所以第6页/共33页圆心为原点半径为圆心为原点半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程.其中参数其中参数 的几何意义是的几何意义是OMOM0 0绕点绕点OO逆时针旋转到逆时针旋转到OMOM的位置时，的位置时，OMOM0 0转过的角度转过的角度 圆心为圆心为 ，半径为半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围。另外，要注明参数及参数的取值范围。第7页/共33页例1 1、已知圆方程x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x

4、x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1x+1）2 2+（y-3y-3）2 2=1=1，参数方程为(为参数)第8页/共33页练习：1.填空：已知圆O的参数方程是(0 2 )如果圆上点P所对应的参数 ，则点P的坐标是 第9页/共33页A的圆，化为标准方程为（2，-2）1第10页/共33页xMPAyO解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),可设点可设点P坐标为坐标为(4cos,4sin)点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点公式得由中点公式得:点点M的轨迹方程为的轨迹方程为x=6+2cosy=2sinx=4c

5、osy=4sin 圆圆x2+y2=16的参数方程为的参数方程为例例2.如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点,点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?第11页/共33页解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点坐标公式得由中点坐标公式得:点点P的坐标为的坐标为(2x-12,2y)(2x-12)2+(2y)2=16即即 M的轨迹方程为的轨迹方程为(x-6)2+y2=4点点P在圆

6、在圆x2+y2=16上上xMPAyO例例2.如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点,点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?第12页/共33页例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（1）x2+y2 的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线x+y-1=0的距离d的最值。解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程表示为由于点P在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin），（1）x2+y2

7、=(3+cos)2+(2+sin)2=14+4 sin+6cos=14+2 sin(+).(其中tan =3/2)第13页/共33页 x2+y2 的最大值为14+2 ，最小值为14-2 。(2)x+y=3+cos+2+sin=5+sin（+）x+y的最大值为5+，最小值为5-。(3)显然当sin（+）=1时，d取最大值，最小值，分别为 ，。第14页/共33页参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化 第15页/共33页 把它化为我们熟悉的普通方程，有把它化为我们熟悉的普通方程，有 cos=x-3,sin=y;cos=x-3,sin=y;于是于是(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=1

8、=1，轨迹是什么就很清楚了轨迹是什么就很清楚了 在例在例1 1中，由参数方程中，由参数方程直接判断点直接判断点MM的轨迹是什么并不方便，的轨迹是什么并不方便，一般地一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；方程；曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x x，y y的取的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.把参数方程化为普通方程：把参数方程化为普通方程：把参数方程化为普通方程：把参数方程

9、化为普通方程：第16页/共33页 例例1 1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？各表示什么曲线？解解:(1)(1)由由得得代入代入得到得到这是以（这是以（1 1，1 1）为端点的一条射线；）为端点的一条射线；所以所以把把得到得到第17页/共33页(1)(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2(1)(x-2)2+y2=9(2)y=1-2x(2)y=1-2x2 2（-1x1-1x1）(3)x2-y=2（x2或x-2）练习、将下列参数方程化为普通方程：步骤：（1）消参；（2）求定义域。第18页/共33页

10、B B例例2 2 求参数方程求参数方程表示（表示（）（A A）双曲线的一支）双曲线的一支,这支过点（这支过点（1,1/21,1/2）;（B B）抛物线的一部分）抛物线的一部分,这部分过（这部分过（1,1/21,1/2）;（C C）双曲线的一支）双曲线的一支,这支过点（这支过点（1,1/2);1,1/2);（D D）抛物线的一部分）抛物线的一部分,这部分过（这部分过（1,1/2).1,1/2).第19页/共33页例例3 3 求椭圆求椭圆的参数方程：的参数方程：(1)(1)设设为参数；为参数；(2)(2)设设为参数为参数.为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？为什么两个参数方程合起来才是椭圆

11、的参数方程？第20页/共33页在在y=xy=x2 2中中，x xR,y0R,y0，因而与因而与 y=xy=x2 2不等价；不等价；练习练习:曲线曲线y=xy=x2 2的一种参数方程是（的一种参数方程是（）.在在A A、B B、C C中，中，x,yx,y的范围都发生了变化，的范围都发生了变化，而在而在D D中，中，x,yx,y范围与范围与y=xy=x2 2中中x,yx,y的范围相同，的范围相同，代入代入y=xy=x2 2后满足该方程，后满足该方程，从而从而D D是曲线是曲线y=xy=x2 2的一种参数方程的一种参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x

12、x，y y的的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.解：解：第21页/共33页 练习练习 P P是双曲线是双曲线 (t(t是参数是参数)上任一点，上任一点，F F1 1,F,F2 2是该焦点：求是该焦点：求F F1 1F F2 2的重心的重心GG的轨迹的普通方程。的轨迹的普通方程。第22页/共33页 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：法有三种：1.1.代入法：代入法：利用解方程的技巧求出参数利用解方程的技巧求出参数t,t,然后代入消去参数然后代入消去参数2.2.三角法：三角法：利用三角恒

13、等式消去参数利用三角恒等式消去参数3.3.整体消元法：整体消元法：根据参数方程本身的结构特征根据参数方程本身的结构特征,整体上消去整体上消去 化参数方程为普通方程为化参数方程为普通方程为F(x,y)=0F(x,y)=0：在消参过程中：在消参过程中注意注意变量变量x x、y y取值范围的一致性取值范围的一致性，必须根据参数的取值，必须根据参数的取值范围，确定范围，确定f(t)f(t)和和g(t)g(t)值域得值域得x x、y y的取值范围。的取值范围。小小 结结第23页/共33页小小 结结:1、圆的参数方程2、参数方程与普通方程的概念3、圆的参数方程与普通方程的互化4、求轨迹方程的三种方法：相关

14、点点问题（代入法）；参数法；定义法5、求最值第24页/共33页解：解：x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程化为标准方程,(x+1),(x+1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1参数方程为参数方程为(为参数为参数)例例1 1 已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0,+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。将它化为参数方程。练习：练习：第25页/共33页 例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ解：设点解：设

15、点MM的坐标是的坐标是(x,y),(x,y),则点则点P P的坐标是的坐标是(2cos(2cos,2sin,2sin).).由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得因此，点因此，点MM的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是第26页/共33页例例3 3 已知已知x x、y y满足满足,求求的最大值和最小值的最大值和最小值解：由已知圆的参数方程为解：由已知圆的参数方程为第27页/共33页2 2 点点P(x,y)P(x,y)是曲线是曲线为参数为参数)上任意一点，则上任意一点，则的最大值为的最大值为()()A 1 B 2 C DA 1 B 2 C D练习练习1 P(x,y)1 P(x,y)是曲线是曲线(为参

16、数为参数)上任意一点上任意一点,则则的最大值为的最大值为()()A AA A36 B36 B6 C6 C26 D26 D2525D D3 3 圆圆的圆心的轨迹是的圆心的轨迹是()()A A圆圆 B B直线直线 C C椭圆椭圆 D D双曲线双曲线A A第28页/共33页(为参数为参数)上任意一点上任意一点,则则4 4 点点P(x,y)P(x,y)是曲线是曲线的最大值为的最大值为 .5 5 已知点已知点P P是圆是圆 上一个动点上一个动点,定点定点A(12,0)A(12,0)，点点MM在线段在线段PAPA上，且上，且2|PM|=|MA|2|PM|=|MA|，当点，当点P P在圆上运动在圆上运动 时

17、，求点时，求点MM的轨迹的轨迹解：设点解：设点MM的坐标是的坐标是(x,y),(x,y),则点则点P P的坐标是的坐标是(4cos(4cos,4sin,4sin).).2|PM|=|MA|,2|PM|=|MA|,由题设由题设(x-12,y)=(x-12,y)=因此，点因此，点MM的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是第29页/共33页 例例4(1)4(1)点点P(m,n)P(m,n)在圆在圆x x2 2+y+y2 2=1=1上运动上运动,求点求点Q(m+n,Q(m+n,2mn)2mn)的轨迹方程的轨迹方程;(2)(2)方程方程x x2 2+y+y2 2-2(m+3)x+2(1-4m-2(m+3)

18、x+2(1-4m2 2)y+16m)y+16m4 4+9=0.+9=0.若该若该方程表示一个圆方程表示一个圆,求求mm的取值范围和圆心的轨迹方程的取值范围和圆心的轨迹方程.已知已知P(x,y)P(x,y)圆圆C C：x x2 2+y+y2 26x6x4y+12=04y+12=0上的点。上的点。(1)(1)求求 的最小值与最大值的最小值与最大值(2)(2)求求x xy y的最大值与最小值的最大值与最小值例例5 5 最值问题最值问题例例6 6 参数法求轨迹参数法求轨迹 已知点已知点A(2,0),PA(2,0),P是是x x2 2+y+y2 2=1=1上任一点上任一点,的平分的平分线交线交PAPA于于QQ点点,求求QQ点的轨迹点的轨迹.AQ:QP=2:1第30页/共33页 例例7 7 已知已知A A（11，0 0）、）、B B（1 1，0 0）,P,P为圆为圆上的一点上的一点,求求 的最大值和最小值以及对应的最大值和最小值以及对应P P点的点的坐标坐标.第31页/共33页练习练习 将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程(2)(2)第32页/共33页感谢您的观看！第33页/共33页