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1、第1章静电场本讲稿第一页，共六十三页第一章第一章 静静 电电 场场 静电场：静电场：相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。本章任务：本章任务：阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的情况下求解阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的情况下求解 电场的各种计算方法，或者反之。电场的各种计算方法，或者反之。静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一 定条件下可类比推广到恒定电场定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。恒定磁场及时变场。静电场知识结构

2、框图静电场知识结构框图本讲稿第二页，共六十三页1.1.1 1.1.1 库仑定律库仑定律1.1 1.1 电场强度电场强度 N(牛顿牛顿)适用条件适用条件 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;无限大真空情况无限大真空情况(式中式中可推广到无限大各向同性均匀介质中可推广到无限大各向同性均匀介质中F/m)F/m)N(牛顿牛顿)结论：电场力符合矢量叠加原理结论：电场力符合矢量叠加原理图图1.1.1 1.1.1 两点电荷间的作用力两点电荷间的作用力 库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明:真空中两个静止的真空中

3、两个静止的点电荷点电荷 与与 之间的相互作用力之间的相互作用力:当真空中引入第三个点电荷当真空中引入第三个点电荷 时，试问时，试问 与与 相互间的作用力改相互间的作用力改变吗变吗?为什么？为什么？本讲稿第三页，共六十三页1.1.2 1.1.2 静电场基本物理量静电场基本物理量电场强度电场强度定义：定义：V/m(N/C)电场强度（电场强度（Electric Field Intensity)Electric Field Intensity)E 表示单位正电荷在电场中所受到表示单位正电荷在电场中所受到的力的力(F),它是空间坐标的矢量函数它是空间坐标的矢量函数,定义式给出了定义式给出了E 的的大小大

4、小、方向方向与与单位单位。a)a)点电荷产生的电场强度点电荷产生的电场强度V/mV/mV/mV/m图图1.1.2 1.1.2 点电荷的电场点电荷的电场本讲稿第四页，共六十三页 b)b)n n个点电荷产生的电场强度个点电荷产生的电场强度(注意注意:矢量叠加矢量叠加)c)c)连续分布电荷产生的电场强度连续分布电荷产生的电场强度V/m体电荷分布体电荷分布面电荷分布面电荷分布线电荷分布线电荷分布图图1.1.3 1.1.3 体电荷的电场体电荷的电场本讲稿第五页，共六十三页解解:采用直角坐标系采用直角坐标系,令令y轴经过场点轴经过场点p,导线与导线与x轴重合。轴重合。(直角坐标直角坐标)(圆柱坐标圆柱坐标

5、)图图1.1.4 1.1.4 带电长直导线的电场带电长直导线的电场例例1.1.11.1.1 真空中有长为真空中有长为L L的均匀带电直导线的均匀带电直导线,电荷线密度为电荷线密度为 ,试求试求P 点的电场点的电场.本讲稿第六页，共六十三页 无限长直均匀带电导线产生的电场为无限长直均匀带电导线产生的电场为平行平面场。平行平面场。电场强度电场强度 的矢量积分一般先转化为的矢量积分一般先转化为标量积分标量积分,然后再合成然后再合成,即即 点电荷的数学模型点电荷的数学模型 积分是对源点积分是对源点 进行的进行的,计算结果是场点计算结果是场点 的函数。的函数。点电荷是电荷体分布的极限情况点电荷是电荷体分

6、布的极限情况,可以把它看成是一个体积很小可以把它看成是一个体积很小,电荷密度电荷密度很大，总电量不变的带电小球体。很大，总电量不变的带电小球体。当当 时，电荷密度趋近于无穷大，通常时，电荷密度趋近于无穷大，通常用用冲击函数冲击函数 表示点电荷的密度分布。表示点电荷的密度分布。图图1.1.5 1.1.5 单位点电荷的密度分布单位点电荷的密度分布点电荷的密度点电荷的密度本讲稿第七页，共六十三页点点电电荷荷矢量恒等式矢量恒等式直接微分得直接微分得故故电场强度电场强度E 的旋度等于零的旋度等于零1.2 1.2 静电场环路定理和高斯定律静电场环路定理和高斯定律 1.1.静电场旋度静电场旋度1.2.1 1

7、.2.1 静电场环路定理静电场环路定理本讲稿第八页，共六十三页 可以证明可以证明，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。表明表明 静电场是一个无旋场。静电场是一个无旋场。即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即2.2.静电场的环路定律静电场的环路定律 在静电场中在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。电场力作功与路径无关电场力作功与路径无关,静电场是保守场。静电场是保守场。无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。无旋场一定是保守场，

8、保守场一定是无旋场。由斯托克斯定理，得由斯托克斯定理，得 二者等价。二者等价。本讲稿第九页，共六十三页3.3.电位函数电位函数 在静电场中可通过求解电位函数在静电场中可通过求解电位函数(Potential)（标量），（标量），再利用上式可方便地求得电场强再利用上式可方便地求得电场强度度E。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。2)2)已知电荷分布，求电位：已知电荷分布，求电位：点电荷群点电荷群连续分布电荷连续分布电荷1)1)电位的引出电位的引出以以点电荷点电荷为例推导电位：为例推导电位：根据矢量恒等式根据矢量恒等式本讲稿第十页，共六十三页3

9、)3)E与与 的微分关系的微分关系 在静电场中，任意一点的电场强度在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。方向，其大小等于电位的最大变化率。在直角坐标系中：在直角坐标系中：？()()？()()4)4)E与与 的积分关系的积分关系设设P0为为参考点参考点 根据根据 E 与与 的微分关系，试问静电场中的某一点的微分关系，试问静电场中的某一点图图1.2.1 1.2.1 E与与 的积分关系的积分关系本讲稿第十一页，共六十三页5)5)电位参考点的选择原则电位参考点的选择原则 场中任意两点的电位差与参考点无关。场中任意两点的

10、电位差与参考点无关。同一个物理问题，只能选取一个参考点。同一个物理问题，只能选取一个参考点。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。例如例如：点电荷产生的电场：点电荷产生的电场：表达式无意义表达式无意义 电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。本讲稿第十二页，共六十三页6)6)电力线与等位线（面）电力线与等位线（面）E 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E

11、 E的方向一致，若的方向一致，若 是电力线的是电力线的长度元，长度元，E E 矢量将与矢量将与 方向一致，方向一致，故电力线微分方程故电力线微分方程在直角坐标系中：在直角坐标系中：微分方程的解即为微分方程的解即为电力线电力线 E E 的方程。的方程。当取不同的当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。值时，可得到不同的等位线（面）。在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即等位线等位线(面面)方程方程:例例1.2.11.2.1 画出电偶极子的等位线和电力线画出电偶极子的等位线和电力线 。电偶极子：两个相距很近的等量异种电荷组成的整体。电偶极子：两

12、个相距很近的等量异种电荷组成的整体。本讲稿第十三页，共六十三页在球坐标系中：在球坐标系中：电力线微分方程电力线微分方程（球坐标系）：（球坐标系）：代入上式，得代入上式，得解得解得线方程为线方程为将将 和和代入上式，代入上式，等位线方程等位线方程（球坐标系）：（球坐标系）：用二项式展开，又有用二项式展开，又有，得，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。图图1.2.2 1.2.2 电偶极子电偶极子r1r1r2r2本讲稿第十四页，共六十三页电力线与等位线（面）的性质：电力线与等位线（面）的性质：E线不能相交线不能相交;E线起始于正电荷，终止于负电荷线起始于正

13、电荷，终止于负电荷;E线愈密处，场强愈大线愈密处，场强愈大;E线与等位线（面）正交；线与等位线（面）正交；图图1.2.3 1.2.3 电偶极子的等位线和电力线电偶极子的等位线和电力线图图1.2.4 1.2.4 点电荷与接地导体的电场点电荷与接地导体的电场图图1.2.5 1.2.5 点电荷与不接地导体的电场点电荷与不接地导体的电场本讲稿第十五页，共六十三页图图1.2.6 1.2.6 均匀场中放进了介质球的电场均匀场中放进了介质球的电场图图1.2.7 1.2.7 均匀场中放进了导体球的电场均匀场中放进了导体球的电场图图1.2.8 1.2.8 点电荷位于一块介质上方的电场点电荷位于一块介质上方的电场

14、图图1.2.9 1.2.9 点电荷位于一块导平面上方的电场点电荷位于一块导平面上方的电场本讲稿第十六页，共六十三页 对上式等号两端取散度；对上式等号两端取散度；利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质，得利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质，得1.2.2 1.2.2 真空中的高斯定律真空中的高斯定律1.1.静电场的散度静电场的散度高斯定律的微分形式高斯定律的微分形式真空中高斯定律的微分形式真空中高斯定律的微分形式点电荷产生的电场点电荷产生的电场其物理意义表示为其物理意义表示为 高斯定律说明了高斯定律说明了静电场是一个有源场静电场是一个有源场，电荷就是场的散度（通量源），电力线从正，电荷就是场的散度

15、（通量源），电力线从正电荷发出，终止于负电荷。电荷发出，终止于负电荷。本讲稿第十七页，共六十三页2.2.高斯定律的积分形式高斯定律的积分形式式中式中 n n 是闭合面包围的点电荷总数。是闭合面包围的点电荷总数。散度定理散度定理图图1.2.11 1.2.11 闭合曲面的电通量闭合曲面的电通量 E的的通量仅与闭合面通量仅与闭合面S 所包围的净电荷所包围的净电荷有关。有关。图图1.2.12 1.2.12 闭合面外的电荷对场的影响闭合面外的电荷对场的影响 S面上的面上的E是由系统中是由系统中全部电荷产生的。全部电荷产生的。电荷成对称分布时求解电场：电荷成对称分布时求解电场：P40P40：例：例2-3-

16、12-3-1和例和例2-3-22-3-2本讲稿第十八页，共六十三页电场强度垂直于导体表面；电场强度垂直于导体表面；导体是等位体，导体表面为等位面；导体是等位体，导体表面为等位面；导体内电场强度导体内电场强度E为零，静电平衡；为零，静电平衡；电荷分布在导体表面，且电荷分布在导体表面，且 任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。（）一导体的电位为零，则该导体不带电。一导体的电位为零，则该导体不带电。（）接地导体都不带电。（接地导体都不带电。（）1.2.3.1.2.3.电介质中的高斯定律电介质中的高斯定律1.1.静电场中导体的性质静电场中导体的

17、性质2.2.静电场中的电介质静电场中的电介质图图1.2.13 1.2.13 静电场中的导体静电场中的导体本讲稿第十九页，共六十三页 电介质电介质在外电场在外电场E作用作用下发生下发生极化极化，形成有向排列的电偶极矩；，形成有向排列的电偶极矩；电介质内部和表面产生极化电荷；电介质内部和表面产生极化电荷；极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。式中式中 为体积元为体积元 内电偶极矩的矢量和，内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向的方向从负极化电荷指向正极化电荷。正极化电荷。无极性分子无极性分子有极性分子有极性分子图图1.2.14 1.2.14 电介质的极化电介

18、质的极化用用极化强度极化强度P P表示电介质的极化程度，即表示电介质的极化程度，即C/mC/m2 2电偶极矩体密度电偶极矩体密度本讲稿第二十页，共六十三页均匀均匀：媒质参数不随空间坐标：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。而变化。各向同性各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性；反之称为各向异性；线性线性：媒质的参数不随电场的值而变化；：媒质的参数不随电场的值而变化；一个电偶极子产生的电位：一个电偶极子产生的电位：极化强度极化强度 P 是电偶极矩体密度，根据叠是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积加原理，体积V V内电偶极子产生的电位为：内

19、电偶极子产生的电位为：式中式中图图1.2.15 1.2.15 电偶极子产生的电位电偶极子产生的电位 实验结果表明，实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中在各向同性、线性、均匀介质中 电介质的极化率电介质的极化率,无量纲量。无量纲量。本讲稿第二十一页，共六十三页矢量恒等式：矢量恒等式：图图1.2.16 1.2.16 体积体积V V内电偶极矩产生的电位内电偶极矩产生的电位散度定理散度定理 令令极化电荷体密度极化电荷体密度极化电荷面密度极化电荷面密度本讲稿第二十二页，共六十三页 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度 根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和根据

20、电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为 这就是电介质极化后，由面极化电荷这就是电介质极化后，由面极化电荷 和体极化电荷和体极化电荷 共同作用在共同作用在真空真空 中产生的电位。中产生的电位。本讲稿第二十三页，共六十三页3.3.电介质中的高斯定律电介质中的高斯定律a a）高斯定律的微分形式）高斯定律的微分形式（真空中）（真空中）（电介质中）（电介质中）定义定义电位移矢量电位移矢量（Displacement Displacement）则有则有电介质中高斯定律的微分形式电介质中高斯定律的微分形式代入代

21、入 ,得得其中其中相对介电常数；相对介电常数；介电常数，单位（介电常数，单位（F/mF/m）在各向同性介质中在各向同性介质中 D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。本讲稿第二十四页，共六十三页图示平行板电容器中放入一块介质后，其图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、线、E 线和线和P 线的分布。线的分布。D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；线的起

22、点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；D线线E线线P线线图图1.2.17 D、E与与 P 三者之间的关系三者之间的关系本讲稿第二十五页，共六十三页()()()()()()q qq q D 的通量与介质无关，但不能认为的通量与介质无关，但不能认为D 的分布与介质无关。的分布与介质无关。D 通量只取决于高斯面内的自由电荷，通量只取决于高斯面内的自由电荷，而高斯面上的而高斯面上的 D 是由高斯面内、外的系统所是由高斯面内、外的系统所有电荷共同产生的。有电荷共同产生的。B B）高斯定律的积分形式高斯定律的积分形式散度定理散度定理图图1.2.19 1.2.19 点电荷点电荷qq分别置于金属球壳

23、的内外分别置于金属球壳的内外图图1.2.18 1.2.18 点电荷的电场中置入任意一块介质点电荷的电场中置入任意一块介质本讲稿第二十六页，共六十三页例例1.2.21.2.2 求电荷线密度为求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。的无限长均匀带电体的电场。解：电场分布特点：解：电场分布特点：D 线皆垂直于导线，呈线皆垂直于导线，呈辐射辐射状态；状态；等等 r 处处D 值相等；值相等；取取长为长为L L，半径为，半径为 r r 的封闭圆柱面为高斯面。的封闭圆柱面为高斯面。由由 得得图图1.2.20 1.2.20 电荷线密度为电荷线密度为 的无限长均匀带电体的无限长均匀带电体4.4.高斯定律的应用

24、高斯定律的应用计算技巧计算技巧：a a）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。b b）选择适当的闭合面选择适当的闭合面作为高斯面，使作为高斯面，使 容易积分。容易积分。高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解对称性的场才能得到解析解。本讲稿第二十七页，共六十三页图图1.2.22 1.2.22 球壳内球壳内的电场的电场图图1.2.21 1.2.21 球壳外球壳外的电场的电场例例1.2.31.2.3 试分析图试分析图1.2.211.2.21与与1.2.221.2.22的电场能否直

25、接用高斯定律来求解场的分布？的电场能否直接用高斯定律来求解场的分布？图图1.2.21 1.2.21 点电荷点电荷q q置于金属球壳内任意位置的电场置于金属球壳内任意位置的电场图图1.2.22 1.2.22 点电荷点电荷q q分别置于金属分别置于金属球壳内的中心处与球壳外的电场球壳内的中心处与球壳外的电场本讲稿第二十八页，共六十三页1.3 1.3 静电场的基本方程静电场的基本方程 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件1.3.1 1.3.1 静电场的基本方程静电场的基本方程 静电场是一个静电场是一个无旋、有源场无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：，静止电荷就是静

26、电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：解：根据解：根据静电场的旋度恒等于零静电场的旋度恒等于零的性质的性质,例例1.3.11.3.1 已知已知 试判断它能否表示个静电场？试判断它能否表示个静电场？对应静电场的基本方程对应静电场的基本方程 ，矢量，矢量 A 可以表示一个静电场。可以表示一个静电场。能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?本讲稿第二十九页，共六十三页 以分界面上点以分界面上点P P作为观察点，作一作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（小扁圆柱高斯面（）。）。2 2、电场强度、电场强度E的衔接条件的衔接条件 以点以点P P 作为观

27、察点，作一小矩形作为观察点，作一小矩形回路（回路（）。）。1.3.2 1.3.2 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件1 1、电位移矢量电位移矢量D的衔接条件的衔接条件分界面两侧分界面两侧 E 的切向分量连续。的切向分量连续。分界面两侧的分界面两侧的 D 的法向分量不连续。当的法向分量不连续。当 时，时，D 的法向分量连续。的法向分量连续。图图1.3.2 1.3.2 在电介质分界面上应用环路定律在电介质分界面上应用环路定律则有则有 根据根据 根据根据 则有则有 图图1.3.1 1.3.1 在电介质分界面上应用高斯定律在电介质分界面上应用高斯定律本讲稿第三十页，共六十三页 表明：表明：（1 1）

28、导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（量；（2 2）导体表面上任一点的）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度就等于该点的自由电荷密度 。当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为：当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为：图图1.3.3a 1.3.3a 导体与电介质分界面导体与电介质分界面在交界面上不存在在交界面上不存在 时，时，E、D满足折射定律。满足折射定律。折射定律折射定律图图1.3.3 1.3.3 分界面上分界面上E线的折射线的折射本讲稿第三十一页，共六十三页因此因此表

29、明表明:在介质分界面上，电位是连续的。在介质分界面上，电位是连续的。3 3、用电位函数、用电位函数 表示分界面上的衔接条件表示分界面上的衔接条件 设点设点1 1与点与点2 2分别位于分界面的两侧，其间分别位于分界面的两侧，其间距为距为d d，,则则表明表明:一般情况下一般情况下 ,电位的导数是不连续的。电位的导数是不连续的。图图1.3.4 1.3.4 电位的衔接条件电位的衔接条件本讲稿第三十二页，共六十三页解：忽略边缘效应解：忽略边缘效应图（图（a a）图（图（b b）例例1.3.21.3.2 如图如图(a)(a)与图与图(b)(b)所示平行板电容器所示平行板电容器,已知已知 和和 ,图图(a

30、)(a)已知极板间电压已知极板间电压U0 ,图图(b)(b)已知极板上总电荷已知极板上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。试分别求其中的电场强度。（a a）（b b）图图1.3.5 1.3.5 平行板电容器平行板电容器 本讲稿第三十三页，共六十三页1.4 1.4 静电场边值问题静电场边值问题 唯一性定理唯一性定理1.4.1 1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程泊松方程与拉普拉斯方程推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：泊松方程泊松方程 泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。例

31、例1.4.11.4.1 列出求解区域的微分方程列出求解区域的微分方程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程拉普拉斯算子拉普拉斯算子1.4.2 1.4.2 静电场的边值问题静电场的边值问题图图1.4.1 1.4.1 三个不同媒质区域的静电场三个不同媒质区域的静电场本讲稿第三十四页，共六十三页 为什么说第二类边界条件与导体上给定电荷分布或边界是电力线的条件是等价的？已知场域边界上各点电位值图1.4.2 边值问题框图自然自然边界条件边界条件参考点电位 有限值边值问题微分方程边界条件场域场域边界条件边界条件分界面分界面衔接条件衔接条件第一类第一类边界条件边界条件第二类第二类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界

32、条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即本讲稿第三十五页，共六十三页边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法数值法实测法模拟法定性定量积分法积分法分离变量法分离变量法镜像法、电轴法镜像法、电轴法微分方程法微分方程法保角变换法保角变换法有限差分法有限差分法有限元法有限元法边界元法边界元法矩量法矩量法模拟电荷法模拟电荷法数学模拟法数学模拟法物理模拟法物理模拟法图1.4.3 边值问题研究方法框图本讲稿第三十六页，共六十三页 例例1.4.21.4.2 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，的正方形，铅皮半径为

33、铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两导体之间接有电源，并且在两导体之间接有电源 U U0 0，试写出该电缆中静电场的边值问题。，试写出该电缆中静电场的边值问题。解：解：根据场分布对称性，确定场域。根据场分布对称性，确定场域。（阴影区域）（阴影区域）场的边值问题场的边值问题图图1.4.4 1.4.4 缆心为正方形的缆心为正方形的同轴电缆同轴电缆横截面横截面本讲稿第三十七页，共六十三页边界条件边界条件积分之，得通解积分之，得通解 例例1.4.31.4.3 设有电荷均匀分布在半径为设有电荷均匀分布在半径为a a的介质球型区域中，电荷体密度的介质球型

34、区域中，电荷体密度为为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解解:采用球坐标系采用球坐标系,分区域建立方程分区域建立方程参考点电位参考点电位图图1.4.5 1.4.5 体电荷分布的球形域电场体电荷分布的球形域电场 本讲稿第三十八页，共六十三页解得解得 电场强度电场强度（球坐标梯度公式）：（球坐标梯度公式）：对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；方程积分两次，得到通解；然后利用边界

35、条件求得积分常数，得到电位的解；再由再由 得到电场强度得到电场强度E的分布。的分布。电位：电位：本讲稿第三十九页，共六十三页2.2.唯一性定理的重要意义唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性：可判断静电场问题的解的正确性：例例1.4.11.4.1 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？答案答案：（：（C C ）唯一性定理为静电场问题的多种解法唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。图图1.4.7 1.4.7 平板电容器外加电源平板电容器外加电源U U0 0

36、1.4.3 1.4.3 唯一性定理唯一性定理证明证明：（反证法）（反证法）本讲稿第四十页，共六十三页1.8 1.8 电容及部分电容电容及部分电容 电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。电容的计算思路：电容的计算思路：工程上的实际电容工程上的实际电容：电力电容器电力电容器，电子线路用的各种小电容器。，电子线路用的各种小电容器。1.8.1 1.8.1 电容电容定义定义：单位：单位：例例1.8.11.8.1 试求球形电容器的电容。试求球形电容器的电容。解：设内导体的电荷为解：设内导体的电荷为 ,则则同心导体间的电压

37、同心导体间的电压球形电容器的电容球形电容器的电容当当时时（孤立导体球的电容）（孤立导体球的电容）图图1.8.1 1.8.1 球形电容器球形电容器本讲稿第四十一页，共六十三页1.8.2 1.8.2 多导体系统、部分电容多导体系统、部分电容1.1.已知导体的电荷，求电位和电位系数已知导体的电荷，求电位和电位系数中的其余带电体，与外界无任何联系，即中的其余带电体，与外界无任何联系，即 静电独立系统静电独立系统D线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统 线性、线性、多导体多导体(三个以上导体三个以上导体)组成的系统；组成的系统；部分电容概念部分电容概念以接地

38、导体为电位参考点以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上的电荷的关系为导体的电位与各导体上的电荷的关系为图图1.8.2 1.8.2 三导体静电独立系统三导体静电独立系统本讲稿第四十二页，共六十三页 以此类推以此类推（n+1)个多导体系统只有个多导体系统只有n n个电位线性独立方程个电位线性独立方程，即，即电位系数，电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；表明各导体电荷对各导体电位的贡献；自有电位系数自有电位系数，表明导体，表明导体上电荷对导体上电荷对导体电位的贡献；电位的贡献；互有电位系数互有电位系数，表明导体，表明导体上的电荷对导体上的电荷对导体电位的贡献电位的贡献 ；写成矩阵形式为

39、写成矩阵形式为（非独立方程非独立方程）注注：的值可以通过给定各导体电荷的值可以通过给定各导体电荷 ,计算各导体的电位计算各导体的电位 而得。而得。本讲稿第四十三页，共六十三页2.2.已知带电导体的电位，求电荷和感应系数已知带电导体的电位，求电荷和感应系数静电感应系数静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；，表示导体电位对导体电荷的贡献；自有感应系数自有感应系数，表示导体，表示导体 电位对导体电位对导体 电荷的贡献；电荷的贡献；互有感应系数互有感应系数，表示导体，表示导体电位对导体电位对导体电荷的贡献。电荷的贡献。通常，通常，的值可以通过给定各导体的电位的值可以通过给定各导体的电位 ，测量各

40、导体的电荷，测量各导体的电荷 而得。而得。本讲稿第四十四页，共六十三页 3.3.已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容（矩阵形式矩阵形式）式中：式中：C部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；（互有部分电容）；（互有部分电容）；（自有部分电容）。（自有部分电容）。部分电容性质部分电容性质:所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的的 值有关；值有关；互有部分电容互有部分电容 ，即，即为对称阵；为对称阵；(n+1)(n+1)

41、个导体静电独立系统中，共应有个导体静电独立系统中，共应有 个部分电容；个部分电容；部分电容是否为零部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。取决于两导体之间有否电力线相连。本讲稿第四十五页，共六十三页 例例1.8.21.8.2 试计算考虑大地影响时，二线传输线的各部分电容试计算考虑大地影响时，二线传输线的各部分电容及二线输电线的等效电容。已知及二线输电线的等效电容。已知 如图示：如图示：解解:部分电容个数部分电容个数,如图如图(b)(b)。由对称性得由对称性得线电荷与电位的关系为线电荷与电位的关系为图图1.8.4 1.8.4 两线输电线及其电容网络两线输电线及其电容网络静电网络与等效电

42、容静电网络与等效电容本讲稿第四十六页，共六十三页 令令则则利用镜像法利用镜像法，输电线两导体的电位，输电线两导体的电位图图1.8.5 1.8.5 两线输电线对大地的镜像两线输电线对大地的镜像本讲稿第四十七页，共六十三页联立解之得联立解之得二线间的等效电容：二线间的等效电容：图图1.8.4 1.8.4 两线输电线及其电容网络两线输电线及其电容网络 美国有一腿断的残废军人，用电子仪器驾驶汽车，有一次，路过高压美国有一腿断的残废军人，用电子仪器驾驶汽车，有一次，路过高压输电线时，突然翻车了，为什么？输电线时，突然翻车了，为什么？本讲稿第四十八页，共六十三页 4.4.静电屏蔽静电屏蔽 应用应用部分电容

43、部分电容还可以说明静电屏蔽问题。还可以说明静电屏蔽问题。令令号导体接地，得号导体接地，得这说明了这说明了只与只与有关，有关，只与只与有关，即有关，即1 1号导体与号导体与2 2号导体号导体之间无静电联系，达到了静电屏蔽的要求。之间无静电联系，达到了静电屏蔽的要求。静电屏蔽在静电屏蔽在工程上有广泛应用工程上有广泛应用。图图1.8.5 1.8.5 静电屏蔽静电屏蔽本讲稿第四十九页，共六十三页1.9 1.9 静电能量与力静电能量与力 1.1.带电体系统中的静电能量带电体系统中的静电能量 静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。1)1)连

44、续分布电荷系统的静电能量连续分布电荷系统的静电能量假设：假设：电荷系统中的介质是线性的；电荷系统中的介质是线性的；1.9.1 1.9.1 静电能量静电能量 电场的建立与充电过程无关电场的建立与充电过程无关,导体上电荷与电位的最终值为导体上电荷与电位的最终值为 、,在充电过在充电过程中，程中，与与 的增长比例为的增长比例为 m，。建立电场过程缓慢（建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射忽略动能与能量辐射）。）。本讲稿第五十页，共六十三页 这个功转化为静电能量储存在电场中。这个功转化为静电能量储存在电场中。体电荷系统的静电能量体电荷系统的静电能量 t 时刻，场中时刻，场中P点的电位为点的电位为 若将

45、电荷增量若将电荷增量 从无穷远处移至该点，从无穷远处移至该点，外力作功外力作功t t时刻时刻电荷增量电荷增量为为即即电位为电位为 本讲稿第五十一页，共六十三页 式中式中 是元电荷所在处的电位，积分对源进行。是元电荷所在处的电位，积分对源进行。点电荷的自有能为无穷大。点电荷的自有能为无穷大。自有能自有能互有能互有能 自有能是将许多元电荷自有能是将许多元电荷 “压紧压紧”构成构成 q q 所需作的功。互有能是由于多所需作的功。互有能是由于多个带电体之间的相互作用引起的能量。个带电体之间的相互作用引起的能量。自有能与互有能的概念自有能与互有能的概念 是所有导体（含是所有导体（含K K号导体）表面上的

46、电荷在号导体）表面上的电荷在K K号导体产生的电位。号导体产生的电位。本讲稿第五十二页，共六十三页2.2.静电能量的分布及能量密度静电能量的分布及能量密度V扩大到无限空间，扩大到无限空间，S所有带电体表面。所有带电体表面。将式将式(2)(2)代入式代入式(1),(1),得得应用散度定理应用散度定理得得矢量恒等式矢量恒等式（焦耳）（焦耳）静电能量静电能量图图1.9.1 1.9.1 推导能量密度用图推导能量密度用图能量密度能量密度：凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量。结论结论本讲稿第五十三页，共六十三页例例1.9.11.9.1 试求真空中体电荷密度为试求真

47、空中体电荷密度为 ，半径为，半径为 的介质球产生的静电能量。的介质球产生的静电能量。有限有限，应用高斯定理，得应用高斯定理，得 解法一解法一由微分方程法得电位函数为由微分方程法得电位函数为解法二解法二本讲稿第五十四页，共六十三页 例例1.9.21.9.2 一个原子可以看成是由带正电荷一个原子可以看成是由带正电荷 的原子核和被总电量等于的原子核和被总电量等于 且均匀分布于球形体积内的负电荷云包围，如图所示。试求原子结合能。且均匀分布于球形体积内的负电荷云包围，如图所示。试求原子结合能。解：解：表示将正负电荷从无穷远处移来置于原子中位置时外力必须做的功。表示将正负电荷从无穷远处移来置于原子中位置时

48、外力必须做的功。图图1.9.2 1.9.2 原子结构模型原子结构模型 ：正电荷从无穷远处移至此处不需要电场力作功：正电荷从无穷远处移至此处不需要电场力作功,故原子结合能未包故原子结合能未包 括原子核正电荷本身的固有能量。括原子核正电荷本身的固有能量。注意注意本讲稿第五十五页，共六十三页1.9.2 1.9.2 静电力静电力2.2.虚位移法虚位移法(Virtual Displacement Method)虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法。虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法。广义坐标广义坐标：距离、面积、体积、角度。：距离、面积、体积、角度。广义力广义力：企图改变某一个广义坐标的力。广义力

49、的正方向为广义：企图改变某一个广义坐标的力。广义力的正方向为广义 坐标坐标增加增加的方向。的方向。二者关系：二者关系：广义坐标广义坐标 距距 离离 面面 积积 体体 积积 角角 度度 广义力广义力 机械力机械力 表面张力表面张力 压强压强 转矩转矩 （单位）（单位）（N）（N/m）（N/m2）Nm广义力广义力广义坐标广义坐标=功功1.1.由电场强度由电场强度E的定义求静电力的定义求静电力，即，即本讲稿第五十六页，共六十三页常电荷系统常电荷系统（K打开）：打开）：它表示取消外源后，电场力做功必它表示取消外源后，电场力做功必须靠减少电场中静电能量来实现。须靠减少电场中静电能量来实现。常电位系统常电

50、位系统（K合上）：合上）：外源提供能量的增量外源提供能量的增量静电能量的增量静电能量的增量 外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。另一半用于电场力做功。设设(n+1)(n+1)个导体组成的系统个导体组成的系统,只有只有P P号导体发号导体发生位移生位移 ，此时系统中带电体的电压或电荷将，此时系统中带电体的电压或电荷将发生变化，其功能关系为发生变化，其功能关系为外源提供能量外源提供能量静电能量增量静电能量增量=+电场力所作功电场力所作功图图1.9.4 1.9.4 多导体系统多导体系统本讲稿第五十七页，共六十三页 上述两个公式所得结果