用能量法计算自振频率.pptx

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1、设图设图11-54所示简支梁具有分布质所示简支梁具有分布质量和若干个质点量和若干个质点mi。体系按某一。体系按某一自振频率作自由振动，以自振频率作自由振动，以Y(x)表表示梁上任意一点示梁上任意一点x处的振幅处的振幅(即振即振型函数型函数)，则位移可表示为，则位移可表示为 y(x,t)=Y(x)sin(t+)速度为速度为 (x,t)=Y(x)cos(t+)体系的动能为体系的动能为 式中式中Yi为质点为质点mi的振幅。的振幅。动能的最大值为动能的最大值为 第1页/共18页体系的弯曲应变能为体系的弯曲应变能为 应变能的最大值为应变能的最大值为 由由 =得得(11-97)利用式利用式(11-97)计

2、算自振频率时，必须知道振幅曲线计算自振频率时，必须知道振幅曲线Y(x)，但，但Y(x)事先通常未知，事先通常未知，故只能假设一个故只能假设一个Y(x)来进行计算。来进行计算。若所假设的若所假设的Y(x)恰好与第一振型吻合，则可求恰好与第一振型吻合，则可求得第一频率的精确值；若恰好与第二振型吻合，则可求得第二频率的精确值；得第一频率的精确值；若恰好与第二振型吻合，则可求得第二频率的精确值；。但假设的曲线往往是近似的，故求得的频率亦为近似值。由于假设高频率的振。但假设的曲线往往是近似的，故求得的频率亦为近似值。由于假设高频率的振型较困难型较困难，常使误差很大，故这种方法常使误差很大，故这种方法适宜

3、于计算第一频率适宜于计算第一频率。第2页/共18页在假设振幅曲线在假设振幅曲线Y(x)时，时，至少应使它满足位移边界条件，并尽可能满足力的至少应使它满足位移边界条件，并尽可能满足力的边界条件。边界条件。通常可取结构在某种静荷载通常可取结构在某种静荷载(x)作用下的挠曲线作为作用下的挠曲线作为Y(x)，此时应，此时应变能可以更简便地用外力实功来代替，即变能可以更简便地用外力实功来代替，即 而式而式(11-97)可改写为可改写为 (11-98)如果取结构自重作用下的变形曲线作为如果取结构自重作用下的变形曲线作为Y(x)，则式，则式(11-97)可改写为可改写为 (11-99)如果是求水平方向振动的

4、频率，则重力应沿水平方向作用如果是求水平方向振动的频率，则重力应沿水平方向作用。第3页/共18页例例11-17 试用能量法求图试用能量法求图11-53a所示等截面简支梁的第一频率。所示等截面简支梁的第一频率。解：解：(1)假设振幅曲线假设振幅曲线Y(x)为抛物线为抛物线 所选择的振幅曲线满足位移边界条件：所选择的振幅曲线满足位移边界条件：Y(0)=0，Y(l)=0；但不满足简支梁端弯矩等于零；但不满足简支梁端弯矩等于零的边界条件：的边界条件：，。第4页/共18页将上式代入式将上式代入式(11-97)，得，得 第5页/共18页(2)取均布荷载取均布荷载q作用下的挠曲线作为作用下的挠曲线作为Y(x

5、)，即，即 它既满足位移边界条件，也满足力的边界条件。代入式它既满足位移边界条件，也满足力的边界条件。代入式(11-98)，得，得 第6页/共18页(3)设振幅曲线设振幅曲线Y(x)为正弦曲线，即为正弦曲线，即 代入式代入式(11-97)，得，得 第7页/共18页(4)讨论讨论 正弦曲线是第一主振型的精确解正弦曲线是第一主振型的精确解，因此由它求得的是第一频率的精确值。，因此由它求得的是第一频率的精确值。用近似的振幅曲线用近似的振幅曲线Y(x)求得的频率值均比精确值大求得的频率值均比精确值大，这是因为用近似的振幅曲线去代，这是因为用近似的振幅曲线去代替真实的振幅曲线时，相当于在体系上增加了约束

6、，使体系的刚度增大，导致求得替真实的振幅曲线时，相当于在体系上增加了约束，使体系的刚度增大，导致求得的频率高于精确值。的频率高于精确值。取均布荷载取均布荷载q作用下的挠曲线作为作用下的挠曲线作为Y(x)求得的求得的 具有很高的精度，本例的误差具有很高的精度，本例的误差仅为仅为0.075%。第8页/共18页例例11-18 用能量法求例用能量法求例11-12刚架的第一频率。刚架的第一频率。已知：该刚架如图已知：该刚架如图11-55a所示，集中在各层横梁上的质量分别为所示，集中在各层横梁上的质量分别为m1=m2=270103kg、m3=180103kg，各层的相对侧移刚度分别为，各层的相对侧移刚度分

7、别为k1=245106N/m、k2=196106N/m、k3=98106N/m。第9页/共18页解：将各层重量解：将各层重量m mi ig g作为水平力作用于各横梁上作为水平力作用于各横梁上(图图11-55b)11-55b)，以此水平力作，以此水平力作用下各横梁产生的水平位移作为用下各横梁产生的水平位移作为m mi i的振幅的振幅Y Yi i，分别求得如下：，分别求得如下：第10页/共18页=0.0693 (m)第11页/共18页代入式代入式(11-99)得得=185.769 =13.63 s1 比精确值比精确值13.47(见例见例11-12)只大只大1.2%。第12页/共18页本章小结本章小

8、结 结构动力计算与静力计算的主要不同之处是动力计算结构动力计算与静力计算的主要不同之处是动力计算要考虑惯性力要考虑惯性力(有时也包括有时也包括阻尼力阻尼力)和时间因素。动力计算包括自由振动和强迫振动两部分内容。和时间因素。动力计算包括自由振动和强迫振动两部分内容。(1)动力计算的基本未知量是质点的位移。动力计算的基本未知量是质点的位移。确定体系在振动过程中任一时刻所有质点位确定体系在振动过程中任一时刻所有质点位置所需的独立几何参数的数目，称为体系的动力自由度置所需的独立几何参数的数目，称为体系的动力自由度，也就是动力计算基本未知量的个，也就是动力计算基本未知量的个数。数。(2)进行动力计算要建

9、立体系的运动方程。建立运动方程的基本方法是进行动力计算要建立体系的运动方程。建立运动方程的基本方法是动静法动静法，它，它是根据达朗贝尔原理，在运动体系的质点上加入假想的惯性力。用动静法列运动方程两是根据达朗贝尔原理，在运动体系的质点上加入假想的惯性力。用动静法列运动方程两种方式：若体系的柔度系数比较容易求得，就列位移方程种方式：若体系的柔度系数比较容易求得，就列位移方程(柔度法柔度法)；若体系的刚度系数；若体系的刚度系数比较容易求得，就列动力平衡方程比较容易求得，就列动力平衡方程(刚度法刚度法)。第13页/共18页 (3)熟练掌握单自由度体系自振频率和周期的计算方法。自振频率为熟练掌握单自由度

10、体系自振频率和周期的计算方法。自振频率为 自振周期为自振周期为 体系的自振频率和周期只与体系的刚度和质量有关，而与引起自由振动的初始条体系的自振频率和周期只与体系的刚度和质量有关，而与引起自由振动的初始条件件(初位移或初速度初位移或初速度)、荷载情况荷载情况无关，是体系的固有特性。无关，是体系的固有特性。第14页/共18页 (4)阻尼对一般土木工程结构的自振频率和周期的影响很小，通常忽略不计。阻尼对一般土木工程结构的自振频率和周期的影响很小，通常忽略不计。(5)对于简谐荷载作用于质点的单自由度体系，熟练掌握用动力系数法计算动位移对于简谐荷载作用于质点的单自由度体系，熟练掌握用动力系数法计算动位

11、移和动内力和动内力(以动弯矩为例以动弯矩为例)的最大值：的最大值：在共振区外可不考虑阻尼，动力系数在共振区外可不考虑阻尼，动力系数按下式计算：按下式计算：必须注意，必须注意，上述动力系数法只适用于单自由度体系在质点处受简谐荷载作用上述动力系数法只适用于单自由度体系在质点处受简谐荷载作用的情况。的情况。对于干扰力不是简谐荷载，或简谐荷载不作用于质点的单自由度体对于干扰力不是简谐荷载，或简谐荷载不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系系，以及多自由度体系(不论何种荷载不论何种荷载)，均不能采用这一方法。因为在这些，均不能采用这一方法。因为在这些情况下没有统一的动力系数。情况下没有统一的动力系数

12、。第15页/共18页 (6)对于任意动荷载作用于质点的单自由度体系，质点的动位移用杜哈梅积分计对于任意动荷载作用于质点的单自由度体系，质点的动位移用杜哈梅积分计算。应注意理解杜哈梅积分中各参数的含义。算。应注意理解杜哈梅积分中各参数的含义。(7)多自由度体系自由振动计算的主要目的是求自振频率和确定主振型。重点掌多自由度体系自由振动计算的主要目的是求自振频率和确定主振型。重点掌握两个自由度体系的计算。如果求体系的柔度系数方便，就采用柔度法；如果求体系握两个自由度体系的计算。如果求体系的柔度系数方便，就采用柔度法；如果求体系的刚度系数方便，就采用刚度法。的刚度系数方便，就采用刚度法。当多自由度体系

13、的各质点按某一个自振频率作自由振动时，任一时刻各质点位当多自由度体系的各质点按某一个自振频率作自由振动时，任一时刻各质点位移之间的比例保持不变，这种特殊的振动形式称为主振型。所谓确定主振型，就是移之间的比例保持不变，这种特殊的振动形式称为主振型。所谓确定主振型，就是求出每一振型情况下各质点位移之间的比值。求出每一振型情况下各质点位移之间的比值。第16页/共18页 (8)掌握两个自由度体系在简谐荷载作用下掌握两个自由度体系在简谐荷载作用下(不考虑阻尼不考虑阻尼)的振幅及最大动内力的计的振幅及最大动内力的计算方法算方法(列幅值方程列幅值方程)。(9)当干扰力为任意动荷载或简谐荷载需考虑阻尼时，不能用幅值方程求动力反应，当干扰力为任意动荷载或简谐荷载需考虑阻尼时，不能用幅值方程求动力反应，而宜采用振型分解法。理解振型分解法的基本原理。而宜采用振型分解法。理解振型分解法的基本原理。(10)能量法是适宜于求体系第一频率的近似方法，其关键是所假设的振幅曲线能量法是适宜于求体系第一频率的近似方法，其关键是所假设的振幅曲线Y(x)必须满足体系的位移边界条件。通常取结构自重作用下的变形曲线作为必须满足体系的位移边界条件。通常取结构自重作用下的变形曲线作为Y(x)，这，这样自然满足位移边界条件。样自然满足位移边界条件。第17页/共18页感谢您的观看！第18页/共18页