向量解析几何解析几何 (28).ppt

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1、二 次 曲 面椭球面 对称性、范围、形状、等高线单（双）叶双曲面 对称性、范围、形状、渐近锥面椭圆抛物面和双曲抛物面(马鞍面)对称性、范围、形状椭球面由方程,0所定义的曲面称为椭球面(ellipsoid).方程称为椭球面的标准方程，通常假定 .0定义:对称性.有对称中心，称为(二次曲面的)中心；有对称轴：3条坐标轴，称为主轴；有对称平面：3个坐标平面，称为主平面.顶点与半轴.椭球面与对称轴的交点称为顶点，6个顶点为(,0,0),(0,0),(0,0,)每条对称轴上2个顶点间的线段(或其长度)称为椭球面的轴；轴的一半称为半轴.截口形状.用一些平面去截曲面，得到的每一条平面曲线就称为曲面的截口.所

2、有截口的形状都清楚了，曲面的形状也就清楚了.椭球面在三个坐标平面上的截口都是椭圆：范围.由方程可以看出 椭球面夹在以为 中心，边长分别为 的长方体内.2,2,2截口形状.用一些平面去截曲面，得到的每一条平面曲线就称为曲面的截口.所有截口的形状都清楚了，曲面的形状也就清楚了.用平行于 坐标平面的平面去截椭球面，得到的截口是当 时没有截口，此时平面不与椭球面相交；当 时截口是一个点；当 时截口是一个椭圆|=|0所定义的曲面称为单叶双曲面(hyperboloid of one sheet).方程称为单叶双曲面的标准方程.对称性.对称中心 ；对称轴：3条坐标轴；对称平面：3个坐标平面.顶点.与 轴不相

3、交4个顶点为 ，.(,0,0)(0,0)范围截口形状所以单叶双曲面的点全在椭圆柱面 的外部或柱面上.图形是无界的.单叶双曲面在 平面上的截口是椭圆称为单叶双曲面的腰椭圆截口形状单叶双曲面与平面 以及平面 的交线(主截线)分别是它们都是双曲线.截口形状其长、短半轴分别为 ，它们随着 的增大而增大.这些椭圆的顶点在主截线上.单叶双曲面的平行于 平面的截口是椭圆双 叶 双 曲 面定义:由方程,0所定义的曲面称为双叶双曲面(hyperboloid of two sheets).方程称为双叶双曲面的标准方程.单叶双曲面和双叶双曲面统称双曲面(hyperboloid).图3.17对称性.对称中心 ；对称轴

4、：3条坐标轴；对称平面：3个坐标平面.顶点.与 轴和 轴无交点，2个顶点(0,0,)范围.由方程(3.20)可以看出 ，因此曲面按与分为两叶.|截口形状.双叶双曲面与 平面没有交点，而与其它两个坐标平面 与 的交线(主截线)都是双曲线如果用平行于坐标平面 的平面 ()截割曲面，截线方程是=|这是一个点(当 时)或一个椭圆(当 时).|=|椭 圆 抛 物 面 所定义的曲面称为椭圆抛物面(elliptic paraboloid).方程称为椭圆抛物面的标准方程.(,0)定义:由方程图3.18对称性.无对称中心；1条对称轴：轴；2个对称平面：和 坐标平面.范围.由方程可以看出 ，所以曲面全在平面 的一

5、侧.0顶点.1个顶点 .截口形状.椭圆抛物面与 坐标平面和 坐标平面的交线都是抛物线：这两条抛物线称为椭圆抛物面的主抛物线.它们分别位于两个相互垂直的平面上，有公共的顶点和对称轴，并且开口方向相同.如果用平行于 平面的平面 截割曲面，截线方程是=(0)双 曲 抛 物 面 定义:由方程所定义的曲面称为双曲抛物面(hyperbolic paraboloid).方程称为双曲抛物面的标准方程.(,0)图3.19对称性.无对称中心；1条对称轴：轴；2个对称平面：和 坐标平面.范围.曲面是无界的.顶点.1个顶点 .截口形状.双曲抛物面与 坐标平面和 坐标平面的交线都是抛物线：这两条抛物线称为双曲抛物面的主

6、抛物线.它们分别位于两个相互垂直的平面上，有公共的顶点和对称轴，但是开口方向相反.二次曲面的类型 二次曲面方程的一般形式为:112+222+332+212+213+223+21+22+23+0=0空间二次曲面经过直角坐标变换可化为下列五大类17种二次曲面之一，或等价地，可以通过直角坐标变换把方程化成以下17种之一.定理:椭球面：虚椭球面：点：单叶双曲面：双叶双曲面：椭球面双曲面二次锥面：椭圆抛物面:双曲抛物面:二次锥面抛物面二次柱面椭圆柱面：虚椭圆柱面：k直线：l双曲柱面：；m相交平面：n 抛物柱面：o平行平面:p虚平行平面:q重合平面:2=2 2=22=22=0定理的详细证明可以参看高等代数（丘维声著，科学出版社，2013年）第506-509页。