第七章弹性力学空间问题解答.ppt

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1、第七章 弹性力学空间问题（参考教材第6、7章）空间问题求解的基本思路与平面问题相同，只是问题的维数从二维扩展到三维，求解更复杂。7-1 空间问题的基本方程空间问题的基本方程1.平衡微分方程方程平衡微分方程方程2.几何方程几何方程3.物理方程物理方程 各种弹性常数之间的关系各种弹性常数之间的关系4.相容方程相容方程5.边界条件：边界条件：位移边界条件：对于给定的表面位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿其上沿x，y，z方向给定位移为方向给定位移为 ，则，则应力边界条件：给定表面上的面力为应力边界条件：给定表面上的面力为求解空间问题同样有位移法、应力法和应力函数法三种方法。1.位移法：位移法：将

2、几何方程代入物理方程，得到用位移将几何方程代入物理方程，得到用位移表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。2.应力法：应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用应以应力作为基本未知量。将相容方程用应力表示力表示应力控制方程应力控制方程3.应力函数法：先引入应力函数，满足微分平衡方程。由微分平衡方程得应力函数与应力分量的关系，再将用应力函数表示的应力分量代入相容方程，得到一组用应力函数表示的相容方程，即应力函数表示的控制方程。7-2柱坐标和球坐标系下的基本方程柱

3、坐标和球坐标系下的基本方程一一.柱坐标系下的基本方程柱坐标系下的基本方程直角坐标系下，空间一点直角坐标系下，空间一点M的位置由（的位置由（x,y,z）表示，在柱坐）表示，在柱坐标系下，空间一点标系下，空间一点M的位置由（的位置由（r,q q,z）表示。两坐标间的关）表示。两坐标间的关系为：系为：在柱坐标系下的应力分量为在柱坐标系下的应力分量为应变分量为应变分量为位移分量为位移分量为柱坐标表示的基本方程柱坐标表示的基本方程1.平衡方程平衡方程（7-1）2.几何方程几何方程（7-2）3.物理方程物理方程（7-3）或或（7-4）当物体的几何形状、约束情况以及外力都对称于当物体的几何形状、约束情况以及

4、外力都对称于z轴时，轴时，则称为空间轴对称问题。则称为空间轴对称问题。在空间轴对称问题中，有：在空间轴对称问题中，有：应力分量、应变分量、位移分量仅是应力分量、应变分量、位移分量仅是r，z的函数，的函数，与与q q无关。无关。（7-5）4.空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程(1)平衡方程：平衡方程：将式（将式（7-5）代入式（）代入式（7-1），得），得（7-6）(2)几何方程：几何方程：将式（将式（7-5）代入式（）代入式（7-2），得），得（7-7）(3)物理方程：物理方程：将式（将式（7-5）代入式（）代入式（7-4），得），得（7-8）(4)空间轴对称问题位移求解的基本方

5、程空间轴对称问题位移求解的基本方程空间轴对称问题共有四个应力分量，两个位移分量。空间轴对称问题共有四个应力分量，两个位移分量。以位移求解更方便。以位移求解更方便。将几何方程（将几何方程（7-7）代入物理方程（）代入物理方程（7-8），得），得（7-9）将式（将式（7-9）代入平衡方程（）代入平衡方程（7-6），化简后得），化简后得（7-10）不计体力：不计体力：（7-11）位移控制方程位移控制方程为求得式（为求得式（7-11）的解，拉甫（）的解，拉甫（Love,A.E.H）引进一）引进一个位移函数个位移函数 ，它和位移分量有如下关系：，它和位移分量有如下关系：（7-12）将式（将式（7-12）

6、代入式（）代入式（7-11），其中第一式满足，第二），其中第一式满足，第二式为：式为：表明表明 为双调和函数，称为为双调和函数，称为拉甫位移函数。拉甫位移函数。（7-13）将式（将式（7-12）代入式（）代入式（7-9）,得应力分量与位移函数的得应力分量与位移函数的关系式关系式:对空间轴对称问题，只要找到满足式（对空间轴对称问题，只要找到满足式（7-13）的位移函）的位移函数数 ，代入式（，代入式（7-12）和式（）和式（7-14）求出位移和应）求出位移和应力分量。如能满足边界条件，即为问题的解。力分量。如能满足边界条件，即为问题的解。（7-14）拉甫位移函数拉甫位移函数的量纲比应力的量纲比应

7、力分量高三次分量高三次球坐标表示的基本方程（自学）球坐标表示的基本方程（自学）见教材见教材P1441457-3 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力设有一半空间体，不计体力，在水平边界受法向集中力P作用。xyzM(r，z)rz选P的作用点为坐标原点，Oz轴与P的作用线重合。水平边界面为xOy面。应力边界条件：应力边界条件：在半空间体中过任一点在半空间体中过任一点M（r，z），作与边界平面平行的），作与边界平面平行的水平截面，取半空间体的上部分，在水平截面，取半空间体的上部分，在z方向有平衡条件方向有平衡条件（a）（b）由因次分析，设想体内的应力分量表达式是力由因次分析，设想

8、体内的应力分量表达式是力P与坐标与坐标r，z等长度坐标的负二次幂相乘，即等长度坐标的负二次幂相乘，即位移函数比应力分量高三次，即位移函数应为位移函数比应力分量高三次，即位移函数应为P与与r,z等等长度坐标的正一次相乘的形式。同时，随长度坐标的正一次相乘的形式。同时，随M点离点离O点越点越远，位移越小，即与远，位移越小，即与R成反比。为此，设成反比。为此，设代入式（代入式（7-12）和式（）和式（7-14），得位移分量和应力分量），得位移分量和应力分量（c）（d）将应力分量式（将应力分量式（e）代入边界条件（）代入边界条件（a），式（），式（a）第一）第一式满足，但式（式满足，但式（a）第二式不

9、满足。）第二式不满足。（e）（f）为使边界条件（为使边界条件（a）的第二式满足，应叠加一个位移函）的第二式满足，应叠加一个位移函数数 ，它在，它在z=0处有处有 ，且给出的，且给出的 能与式能与式（f）抵消。）抵消。叠加的位移函数应是双调和函数，且是长度坐标的零叠加的位移函数应是双调和函数，且是长度坐标的零次幂。由此条件，试算后，取次幂。由此条件，试算后，取（g）对应的位移分量和应力分量为：对应的位移分量和应力分量为：（h）两个位移函数两个位移函数式式(e)和式（和式（h）叠加后，边界条件（叠加后，边界条件（a）的第一式仍满足，第二式为：的第一式仍满足，第二式为：即即由平衡条件（由平衡条件（b），得），得（i）（j）由式（由式（i）和式（）和式（j），得），得最终的位移分量和应力分量为：最终的位移分量和应力分量为：（k）（l）由式（由式（k）的第二式可见，水平边界上任意一点的垂直）的第二式可见，水平边界上任意一点的垂直位移（位移（即工程中关心的地表沉陷量即工程中关心的地表沉陷量）为）为