空间直线与平面的位置关系.pptx

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1、1.1.1.1.回忆回忆回忆回忆空间两条直线的位置关系相交异面平行交点个数：几何语言：第1页/共78页2.2.2.2.联想联想联想联想直线与平面垂直直线与平面垂直空间直线和平面的位置关系直线垂直于平面直线斜交于平面直线平行于平面直线在平面内交点个数：几何语言：第2页/共78页3.3.3.3.空间直线垂直于平面的定义空间直线垂直于平面的定义空间直线垂直于平面的定义空间直线垂直于平面的定义定义：定义：如果一条直线如果一条直线l垂直于平面垂直于平面内内 的任何直线，那么就称这条直线的任何直线，那么就称这条直线l和这个平面和这个平面垂直垂直定义中的任意改成无数多条可不可以？第3页/共78页4.4.4.

2、4.体会体会体会体会要验证旗杆是否与地面垂直，你有什么好的方法？直线与平面垂直的性质过一点有且只有一条直线和一个平面垂直过一点有且只有一个平面和一条直线垂直第4页/共78页5.5.空间直线垂直于平面的判定定理空间直线垂直于平面的判定定理1、若相交改为平行，会有什么结果？ADCBB1A1C1B12、从右边的长方体中体会定理2。第5页/共78页6.6.6.6.判定定理的应用判定定理的应用判定定理的应用判定定理的应用例题1 1、已知（见右图）长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，B B1 1GBCGBC1 1且交BCBC1 1于G G。过A A1 1B B1 1

3、的平面交BCBC1 1于H H，交ADAD1 1于K,K,使四边形A A1 1B B1 1HKHK为平行四边形求证（1 1）B B1 1GG平面ABCABC1 1D D1 1;（2 2）四边形A A1 1B B1 1HKHK为矩形G GH HK KD D1 1C C1 1D DC CB B1 1A A1 1B BA A注意证明过程中推理演绎的运用第6页/共78页证明:连结AC PA O所在的平面 PA BC AB为 O的直径AC BCBC PA AC=A BC 平面PAC AE 平面PACBC AEAE又 PC AEAE AE 平面PBC第7页/共78页7.7.7.7.课堂小结课堂小结课堂小结

4、课堂小结直线与平面的位置关系直线与平面垂直的定义和一些性质直线与平面垂直的判定定理第8页/共78页回家作业第9页/共78页2、直线与平面的交角14.3空间直线与平面的位置关系第10页/共78页 1.1.直线和平面垂直的定义和判定定理分别是什么？定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.一复习：第11页/共78页 2.2.当直线与平面相交时，对于直线与平面垂直的情形，我们已作了一些相关研究，对于直线与平面不垂直的情形，我们需要从理论上作些分析.l第12页/共78页1 一条直线和一个平

5、面相交,但不和这个平面垂直,称这条直线和这个平面斜交.(l与 斜交)2 称这条直线是这个平面的斜线.(斜线l)3 斜线和平面的交点叫做斜足.(斜足Q)4斜斜线线上上一一点点和和斜斜足足间间的的距距离离叫叫做做这这个个点点到到这这个个平平面面的的 斜斜线线段段.(斜斜线线段段PQ)Ql5、直线P1Q叫做斜线PQ在 内的射影PP1过平面外一点P向平面 引垂线,垂足P1叫做P在平面 内的射影二、斜交的相关概念第13页/共78页 平面的一条斜线与这个平面总存在一个相对倾斜度，我们设想用一个平面角来反映这个倾斜度，并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确定，那么角的顶点宜选在何处？l思考1:第14

6、页/共78页 如图，ABAB为平面的一条斜线，A A为斜足，ACAC为平面内的任意一条直线，能否用BACBAC反映斜线ABAB与平面的相对倾斜度？为什么？CAB思考2:第15页/共78页 反映斜线与平面相对倾斜度的平面角的顶点为斜足，角的一边在斜线上，另一边在平面内的哪个位置最合适？为什么？PAB思考3:第16页/共78页定义：直线和平面的交角一般地,平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角.l 则 l与 的交角是直角l/则 l与 的交角是0o角斜线AB与 的交角是 ABD ADCB斜线AC与 的交角是 ACD垂线AD与 的交角是直角直线和平面所成角的范围 0,/2三 直线和平面的交角第17

7、页/共78页当直线垂直于平面时,直线在平面内的射影为一个点(垂足).当直线不垂直于平面时,直线在平面内的射影为直线上任意两点在此平面内的射影所确定的直线.ABA1B1第18页/共78页那么过一点作一个平面的斜线有多少条？斜线l在平面内的射影有几条？、两条异面直线在一个平面内的射影可能是：两条相交直线，两条平行直线，一条直线与直线外一点。1直线l与平面所成角的大小与点A在l上的取法是否有关？练一练第19页/共78页两条平行直线同一个平面内的射影可能是哪些图形？、三角形在一个平面内的射影可能会是线段、三角形、一平面多边形在平面内的射影可能会是平面多边形 、线段那两条相交直线呢？第20页/共78页可

8、以证明:从平面外一点向平面引斜线段有：（）如果斜线断的长相等,那么它们在平面内的射影长也相等;（）如果两条斜线段的长不相等,那么它们在平面内的射影长也不相等,并且斜线段较长的其射影长也较长;（）如果斜线段在平面内的射影长相等,那么这两条斜线段的长也相等；（）如果斜线段在平面内的射影长不相等,那么这两条斜线段的长也不相等,并且射影较长的其斜线段也较长;第21页/共78页 例1 1 在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中.（1 1）求直线A A1 1B B、ACAC1 1和平面ABCDABCD所成的角；（2 2）求直线A A1 1B B和平面A A1 1B B

9、1 1CDCD所成的角.D1 1ABA1 1CB1 1C1 1DO（）求直线AC1和平面BB1D1D所成角的大小四例题第22页/共78页例2:P是 ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,求证:P点在平面 ABC内的射影是 ABC的外心.第23页/共78页例 如图，ABAB为平面的一条斜线，B B为斜足，AOAO平面，垂足为O O，直线BCBC在平面内，已知ABC=60ABC=60，OBC=45OBC=45，求斜线ABAB和平面所成的角.ABCOD第24页/共78页4、BOC在平面 内,OA是平面 的斜线,若 AOB=AOC=60O,OA=OB=OC=a,BC=,求OA和平面 所成的角.AO

10、CB第25页/共78页5、点P是直角梯形ABCD所在平面外一点,BAD=90O,AD/BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA 底面ABCD,PD与底面成30O 角.(1)若AE PD,E为垂足,求证:BE PD (2)求异面直线AE与CD所成角的大小 (用反三角函数表示)第26页/共78页思考:如图，直线l是平面的一条斜线，它在平面内的射影为b b，直线a a在平面内，如果abab，那么直线a a与直线l垂直吗？为什么？反之成立吗？alb第27页/共78页回家作业第28页/共78页14.3空间直线与平面的位置关系3、直线与平面平行第29页/共78页a 直线与平面相交 a =A 有且只有一个交

11、点 Aaa 直线与平面平行 a无交点直线在平面内a 有无数个交点（零）直线与平面的位置关系（零）直线与平面的位置关系分类标准：分类标准：“公共点的个数公共点的个数”直线在平面外直线在平面外第30页/共78页定义：一条直线和一个平面没有公共点，定义：一条直线和一个平面没有公共点，叫做直线与平面平行叫做直线与平面平行.（一）线面平行的定义第31页/共78页1 1生活中，我们注意到门扇的两边是平行的.当门扇绕着一边转动时，观察门扇转动的一边l 与门框所在平面的位置关系如何？l观察：第32页/共78页2 2：若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系

12、？ll3图中直线l 和平面平行吗？第33页/共78页思考：如图，设直线b b在平面内，直线a a在平面外，猜想在什么条件下直线a a与平面平行？b ba aa/ba/ba a a a ababa a b b 证明：假设直线证明：假设直线a不平行于平面不平行于平面，则，则a=P。如果点。如果点P b，则和，则和a b矛盾；如果点矛盾；如果点P b，则，则a和和b成异面直线，成异面直线，这也与这也与a b矛盾。所以矛盾。所以a。第34页/共78页a b线线平行 线面平行 平面外一条直线和此平面内的一条直线平行平面外一条直线和此平面内的一条直线平行平面外一条直线和此平面内的一条直线平行平面外一条直线

13、和此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行则该直线与此平面平行则该直线与此平面平行则该直线与此平面平行.（二）直线和平面平行的判定定理a a a a ababa a b b 第35页/共78页（1）直 线 a平 面，平 面 内 有 n 条 互 相 平 行 的 直 线，那么这 n 条直线和直线 a()（A）全平行 （B）全异面 （C）全平行或全异面 （D）不全平行也不全异面（2）直 线 a平 面，平 面 内 有 无 数 条 直 线 交 于 一 点，那 么 这无数条直线中与直线 a 平行的（）（A）至少有一条 （B）至多有一条 （C）有且只有一条 （D）不可能有CB练习：第36页/共78页AD

14、第37页/共78页例例1 1、求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过、求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。另外两边所在的平面。求证：求证：EFEF平面平面BCDBCDABCDEF已知：空间四边形已知：空间四边形ABCDABCD，E E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点。的中点。（三）例题分析（三）例题分析第38页/共78页例例2 2：分析分析证法证法2 2证法证法1 1要证明线面平行，只需证线线平行要证明线面平行，只需证线线平行(1)(1)平行公理平行公理(2)(2)三角形中位线三角形中位线(3)(3)平行线分线段成比例平行线分线段成比例(4)(4)

15、相似三角形对应边成比例相似三角形对应边成比例(5)(5)平行四边形对边平行平行四边形对边平行第39页/共78页证法证法1 1利用相似三角形对应边成比例利用相似三角形对应边成比例及平行线分线段成比例的性质及平行线分线段成比例的性质（略写）（略写）证法证法2 2第40页/共78页思考：教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？第41页/共78页定理内容：定理内容：符号语言：符号语言：作用：作用：图形：图形：如果一条直线和一个平面平行，经过如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。么这

16、条直线就和交线平行。简记为：简记为：线面平行，则线线面平行，则线线线平行。平行。可作判定线线平行的依据。可作判定线线平行的依据。（四）直线与平面平行的性质定理 ml第42页/共78页例1、面面平行简记为：简记为：面面平行，则线面面平行，则线线线平行。平行。第44页/共78页例例2 2：分析分析证法证法2 2证法证法1 1线线/线线线线/面面线线/线线线线/面面第45页/共78页例例2 2：证法：证法2 2第46页/共78页例例3 3：分析：分析：证明证明第47页/共78页例例3 3：证明：证明第48页/共78页(2)(2)证明证明四边形四边形EFDBEFDB为为平行四边形。平行四边形。即即E

17、E为为B B1 1 B B的中点。的中点。第49页/共78页练习练习1 12 2平行平行（2 2）、（）、（4 4）、（）、（5 5）体会体会第50页/共78页练习练习3 34 4体会体会第51页/共78页学习体会学习体会1 1、线、线 /面问题可转化为线面问题可转化为线 /线问题解决；线问题解决；2 2、线、线 /线问题也可转化为线线问题也可转化为线 /面问题解决。面问题解决。3 3、以、以找找过平面过平面 外的直线外的直线 a a 的平面的平面 与平面与平面 的交线为突破口。的交线为突破口。第52页/共78页小结小结证明线面平行的证明线面平行的转化思想：转化思想：线线/线线线线/面面面面/

18、面面(1)(1)平行公理平行公理平行公理平行公理(2)(2)三角形中位线三角形中位线三角形中位线三角形中位线(3)(3)平行线分线段成比例平行线分线段成比例平行线分线段成比例平行线分线段成比例(4)(4)相似三角形对应边成比例相似三角形对应边成比例相似三角形对应边成比例相似三角形对应边成比例(5)(5)平行四边形对边平行平行四边形对边平行平行四边形对边平行平行四边形对边平行要证要证 ，通过构造过直线，通过构造过直线 a a 的平面的平面 与平面与平面 相交于直线相交于直线b b，只要证得，只要证得a/ba/b即可。即可。练习练习第53页/共78页 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的如果不在

19、一个平面内的一条直线和平面内的如果不在一个平面内的一条直线和平面内的如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行一条直线平行一条直线平行一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。那么这条直线和这个平面平行。那么这条直线和这个平面平行。那么这条直线和这个平面平行。线线平行 线面平行线面平行线面平行 线线平行线线平行线面平行的线面平行的判定定理判定定理线面平行的线面平行的性质定理性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线

20、平行。平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。小结小结第54页/共78页例题3 有一块木料，棱BC平行于面A1C1 要经过面A1C1内一点P和棱BC锯开木料，应该怎样画线？这线与平面AC有怎样的关系？PA1DABB1D1C1CEF第55页/共78页HO思考思考 ：已知：已知ABCDABCD是平行四边形，点是平行四边形，点P P是平面是平面ABCDABCD 外一点，外一点，M M是是PCPC的中点，在的中点，在DMDM上取一点上取一点G G，画出过画出过G G和和APAP的平面。的平面。ACBDGPM第5

21、6页/共78页回家作业第57页/共78页14.3空间直线与平面的位置关系空间距离第58页/共78页一、两个点之间的距离两点之间线段最短，我们把两点间线段长就作为两点之间的距离点与线之间的距离直线l上任意一点和点A的构成的线段中最短的那条作为点A到直线l的距离Al具体怎么求呢？过A做垂线交l于O，线段AO即为点到线之间的距离O第59页/共78页在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AA1=3，AD=1，(1)求点A到点C1距离；(2)求点A到棱11距离；(3)点C1到直线A1B的距离.例题1第60页/共78页二、点与面之间的距离线与面之间的距离面与面之间的距离点A和平面上任意一点构

22、成的线段中最短的那条作为点A到平面的距离。具体求法：过点A作平面的垂线，垂足为O；AOAO前提：线面平行具体求法：直线l上任取一点A，作垂线，垂足为O：AOl前提：面面平行具体求法：平面上任取一点A，作垂线，垂足为O：AO第61页/共78页例题2在棱长为1 1的正方体中ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1(1)(1)求棱ABAB到面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1距离；(2)(2)求点A A到面BDDBDD1 1B B1 1的距离；(3)(3)求点A A1 1到平面ABAB1 1D D1 1的距离(4)(4)求平面ABAB1 1D D1 1与平面B

23、CBC1 1D D的距离DB1A1D1C1ACB第62页/共78页三、线与线之间的距离若两直线相交若两直线平行若两直线异面呢？转化成点到线的距离怎么作垂线？第63页/共78页 若若abab，bcbc，则，则a a，c c的位置关系是什么？这样的的位置关系是什么？这样的b b有几条？请同学们合作，用笔有几条？请同学们合作，用笔比量一下。比量一下。若若a,ca,c是异面直线，是异面直线，abab，bcbc，b b与与a,ca,c都相交，都相交，这样的这样的b b又能有几条？请同学又能有几条？请同学们试一下。们试一下。a,c可以平行、相交或异面，满足条件的b有无数条。第64页/共78页与异面直线都垂

24、直且与异面直线都垂直且相交相交的直线的直线有且只有一条有且只有一条，它叫，它叫两异面直线的公垂线两异面直线的公垂线如图所示：如图所示：abab，bcbc且且b b与两异面直线与两异面直线a a、c c都相交，把直线都相交，把直线b b叫作叫作a,ca,c两两异面直线的公垂异面直线的公垂线。线。第65页/共78页公垂线夹在两异面直线间的线段的长度，叫两异面直线的距离。在两异面直线上各取一在两异面直线上各取一点，这点，这两点间距离的最两点间距离的最小值小值就是两异面直线的就是两异面直线的距离距离。b ba al lA AB Bl l是是a,ba,b的公垂线，且与的公垂线，且与a,ba,b的交点分别

25、是的交点分别是A A、B B那么线段那么线段ABAB的长叫异面直线的长叫异面直线a,ba,b的距离。的距离。EF如图所示：EFAB第66页/共78页若正方体的边长为若正方体的边长为1，请回答每对异面直线请回答每对异面直线的距离是多少。的距离是多少。1、A1B与D1C1公垂线是_距离是_2、A1B与C1C公垂线是_距离是_3、A1B与CD公垂线是_距离是_4、B1B与AD公垂线是_距离是_5、A1A与B1C1公垂线是_距离是_A1D1BCBCABA1B111111练习：找出每对异面直线的公垂线第67页/共78页1.如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线BC1与D1D，

26、BC1与DC间的距离.例题3第68页/共78页【解题回顾】由构造异面直线的公垂线段求异面直线的距离，是高考所要求的.其构造途径一般有两条：一是在已知几何体中的现成线段中寻找；二是过其中一条上一点作出另一条的相交垂线段.第69页/共78页立体几何中的几种距离2.点线距(2)求法：转化为点线距1.点点距3.线线距（a）两条平行直线间的距离(1)定义：两条直线互相平行，则其中一条直线上任一点到另一直线的距离，叫两平行直线间的距离.(1)定义：从直线外一点作直线的垂线，与直线相交于垂足，则这个点和垂足间的距离叫这个点到这条直线的距离.(2)求法：直接法；等面积法；平行转化法.第70页/共78页(1)定

27、义：两条异面直线的公垂线在这两异面直线间的线段的长度，叫两条异面直线之间的距离.(2)求法：考试要求题中给出公垂线段，故只须直接找出即可.直接法，即求公垂线段的长；转化成求直线与平面的距离 函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的3.线线距（b）两条异面直线间的距离第71页/共78页5.线面距(1)定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫这个点到这个平面的距离.(2)求法：直接法；作线的垂线，下证垂直于面；等体积法；平行转化法.4.点面距(1)定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任一点到平面的距离，叫这条直线和平面的距离.(2)求法：转

28、化成点面距.(1)定义：夹在两个平行平面之间的公垂线段的长度，叫两平行平面之间的距离.(2)求法：转化成线面距、点面距.6.面面距A第72页/共78页小结距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离 几种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离 求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点 今后还有向量法解决此类距离第74页/共78页第75页/共78页2、空间四边形ABCD四边长为10，对角线BD=8，AC=16，E，F分别是AC、BD的中点求证:(1)EF是AC、BD的公

29、垂线段；(2)求出异面直线AC、BD的距离。A A B BC CD DE EF FEFEF是是ACAC、BDBD的公垂线意味着的公垂线意味着什么什么？上面的答案再加上条件：上面的答案再加上条件：E E、F F是中点，可以引出一是中点，可以引出一些什么样的结论？些什么样的结论？思考思考EFAC，EFBDEF是AC的中垂线，AFC是等腰三角形。（参考解答）第76页/共78页A AB BC CD DE EF F连结EB、ED、AF、FC。ABCD四边长都为10 ADC ABCBE、DE是两三角形对应边上的中线 BE=DE EBD是等腰三角形EF是底边上的中线 EFBD同理：EF AC，EF是AC、BD的公垂线段。(2)ABC中AB=BC=10，AC=16，E为AC中点 BE=6 RtBEF中，BF=4返回第77页/共78页感谢您的观看！第78页/共78页