数值分析偏微方程数值解法幻灯片.ppt

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1、数值分析偏微方程数值解法数值分析偏微方程数值解法阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-1第1页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-2第十章目录第十章目录1差分方法的基本概念差分方法的基本概念1.1偏微分方程的定解问题偏微分方程的定解问题1.2差分方法的基本概念差分方法的基本概念2椭圆型方程第一边值的差分方法椭圆型方程第一边值的差分方法2.1差分格式的建立差分格式的建立2.2差分格式解的存在唯一性差分格式解的存在唯一性3抛物型方程的差分解法及其稳定性抛物型方程的差分解法及其稳定性

2、3.1差分格式的建立差分格式的建立3.2差分格式的稳定性差分格式的稳定性4双曲型方程的差分解法双曲型方程的差分解法4.1几种简单的差分格式几种简单的差分格式4.2差分格式的收敛性与稳定性差分格式的收敛性与稳定性第2页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-3 补充知识补充知识“高数高数”中接触了一些简单偏微分，也接触了简单偏微分方中接触了一些简单偏微分，也接触了简单偏微分方程，如：程，如：其中：其中：1.2.满足：满足：第3页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分

3、方程数值解法10-4 补充知识补充知识（续（续1）3.2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z满足：满足：4.满足：满足：5.满足：满足：6.满足：满足：上面是已知函数，上面是已知函数，验证满足等，验证满足等式，反过来，将等式视为方程，则是求解方程，得式，反过来，将等式视为方程，则是求解方程，得到解函数。到解函数。第4页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-5因此因此偏微分方程偏微分方程：1.含偏微分的等式，含偏微分的等式，2.求解偏微分方程、求含多个自变量的函数求解偏微分方程、求含多个自变量的函数3.带有初值、边界

4、条件。带有初值、边界条件。常微分方程常微分方程的求解已很困难，通过分门的求解已很困难，通过分门别类研究，能求得一些特殊类型方程的解别类研究，能求得一些特殊类型方程的解（只含一个变量），即便是（只含一个变量），即便是一阶方程一阶方程，也很，也很难求出解析解表达式，也因此，在上一章我难求出解析解表达式，也因此，在上一章我们研究了们研究了一阶微分方程一阶微分方程的的数值解法数值解法。补充知识补充知识（续（续2）第5页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-61 差分方法的基本概念差分方法的基本概念 要求解偏微分方程比求解常微分

5、方程更难，因此寻求偏微要求解偏微分方程比求解常微分方程更难，因此寻求偏微分方程的数值解更显重要，实际上，绝大部分偏微分方程不分方程的数值解更显重要，实际上，绝大部分偏微分方程不可能求到解析函数解，基本上都是数值解法。可能求到解析函数解，基本上都是数值解法。一般来说，偏微分方程从实际问题抽出后，多是下列几种类型一般来说，偏微分方程从实际问题抽出后，多是下列几种类型:（1）泊阿松泊阿松方程（方程（Poisson），又称为椭圆型方程：），又称为椭圆型方程：自变量的：自变量的变化区域，有变化区域，有界区域。界区域。：的边界，分段光滑曲线。的边界，分段光滑曲线。1.偏微分方程定解问题偏微分方程定解问题当

6、当称为拉普拉斯方程（称为拉普拉斯方程（Laplace）或调和方程，）或调和方程，例如例如满足：满足：第6页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-7相应第一边值条件相应第一边值条件：第二、第三边值条件：第二、第三边值条件：为边界为边界 的外法线方向，的外法线方向，为第二边界条件，为第二边界条件，为第三边界条件。为第三边界条件。各种物理性质的各种物理性质的定长问题定长问题（不随时间变化过程）（不随时间变化过程），都可用椭圆型方程描述都可用椭圆型方程描述。如带有稳定热源或内部无热。如带有稳定热源或内部无热源的稳定场的温度分布

7、，不可压缩流体的稳定克旋流动及源的稳定场的温度分布，不可压缩流体的稳定克旋流动及静电场的电热等均满足上述方程。静电场的电热等均满足上述方程。椭圆型方程（续）椭圆型方程（续）第7页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-8（2）热传导方程（抛物型）热传导方程（抛物型）相应有：柯西（相应有：柯西（Cauchy）初值条件：）初值条件：初边值条件为：初边值条件为：第一边值条件：第一边值条件：第二边值条件：第二边值条件：第8页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解

8、法10-9抛物型方程（续）抛物型方程（续）第三边值条件为：第三边值条件为：其中其中在热传导过程的研究中，气体的扩散现象在热传导过程的研究中，气体的扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的及电磁场的传播等随时间变化的非定常非定常物理物理问题，都可用上述方程来描述。问题，都可用上述方程来描述。第9页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-10（3）波动方程（双曲型）波动方程（双曲型）最简单形式为线性双曲方程：最简单形式为线性双曲方程：其初边值其初边值条件为：条件为：边值条件同热传边值条件同热传导方程。导方程。物理中常见的一维振动

9、及各类波动问题，均可物理中常见的一维振动及各类波动问题，均可用波动方程描述。用波动方程描述。第10页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-11差分方法的基本概念差分方法的基本概念如如果果偏偏微微分分方方程程定定解解问问题题的的解解存存在在，唯唯一一，并并且且连连续续依依赖赖于于定定解解数数据据（即即出出现现在在方方程程和和定定解解条条件件中中的的已已知知函函数数），则则此此定定解问题解问题是适定的。可以证明，上面所举各种是适定的。可以证明，上面所举各种定解问题定解问题都是适定的。都是适定的。2.差分方法的基本概念：差分

10、方法的基本概念：先对求解区域作先对求解区域作网格剖分网格剖分，将自变量的连续变化区域，将自变量的连续变化区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连续用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网格点上函数的过用网格点上函数的差商差商代替代替导数导数，将含连续变量的，将含连续变量的偏偏微分方程定解问题微分方程定解问题化成只含化成只含有限个未知数的代数方程组有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）（称为差分格式）。如果差分格式有解，且当网格无限。如果差分格式有解，且当网格无限变小时其解收

11、敛于原微分方程定解问题的解，则变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解，则差分格差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）式的解就作为原问题的近似解（数值解）。第11页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-12差分方法的基本概念（续差分方法的基本概念（续1）所以，偏微分方程数值解法，实际上是通过所以，偏微分方程数值解法，实际上是通过网格网格及及差分格式差分格式将将偏微分方程定解问题离散化偏微分方程定解问题离散化后后求求定义域上有限离散点（网格定义域上有限离散点（网格点）对应函数值点）对应函数值u(x,y)的近似值（差分值

12、）的近似值（差分值），体现，体现在常微分方程在常微分方程数值解法中数值解法中是求定义区间上是求定义区间上离散点离散点xi对应对应y(xi)的近似值的近似值yi。因此，用差分方法求解偏微分方程定解问题，一般需解决以下因此，用差分方法求解偏微分方程定解问题，一般需解决以下问题：问题：（1）选取网格：对定义区域如何划分？常用的有矩形、）选取网格：对定义区域如何划分？常用的有矩形、菱形等格式。菱形等格式。（2）对偏微分方程及定解条件，选择充分近似，列）对偏微分方程及定解条件，选择充分近似，列出差分格式，化偏微分方程为差分方程组（线出差分格式，化偏微分方程为差分方程组（线性代性代数方程组）。数方程组）。

13、第12页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-13差分方法的基本概念（续差分方法的基本概念（续2）如可用差商（差分）代替导数：如可用差商（差分）代替导数：对偏导数同样有：对偏导数同样有：一般还可以得出：一般还可以得出：等等；等等；第13页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-14（3）求解充分方程（解的存在性与唯一性）求解充分方程（解的存在性与唯一性）差分方法的基本概念（续差分方法的基本概念（续3）（4）讨讨论论充充分分方方程程的的解解是是否否

14、可可作作为为偏偏微微分分方方程程的的解解的的近近似似值（收敛性及误差估计）。值（收敛性及误差估计）。按上述方法，差分方法也可用于求解常微分按上述方法，差分方法也可用于求解常微分方程，为了帮助理论，下面先简单介绍在常微分方程，为了帮助理论，下面先简单介绍在常微分方程中近值问题数值解法；方程中近值问题数值解法；二阶线性微分方程第一边值问题：二阶线性微分方程第一边值问题：第14页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-15二阶线性微分方程第一边值问题二阶线性微分方程第一边值问题（1）差分方程的建立：）差分方程的建立：将将a,b

15、分为分为n个相等的小区间，个相等的小区间，要将要将离散化，建立充分方程，即要用：离散化，建立充分方程，即要用：则在内节点则在内节点xi处，方程化为：处，方程化为：x1,xn-1 称为内节点，称为内节点，x0,xn称为边界点。称为边界点。第15页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-16二阶线性微分方程第一边值问题（续二阶线性微分方程第一边值问题（续1）在上式中略去余项，并记在上式中略去余项，并记qi=q(xi),fi=f(xi),yi=y(xi),则得差分方则得差分方程：程：此为此为（n-1)(n-1)阶线性代数方程组

16、。其解阶线性代数方程组。其解作为边值问题精确解作为边值问题精确解y(x)在在x1,x2,xn-1处的近似值，称为差分处的近似值，称为差分解。解。以以则差分方程则差分方程组可简记为：组可简记为：第16页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-17二阶线性微分方程第一边值问题（续二阶线性微分方程第一边值问题（续2）可证：可证：1.极值定解：设极值定解：设y0,y1,yn不全相等不全相等:若满足条件若满足条件，则，则 y0,y1,yn 中正的最大值只能是中正的最大值只能是y0 或或yn。2.充分方程解唯一存在。充分方程解唯一存

17、在。若满足若满足，则，则 y0,y1,yn中负的最小值只能是中负的最小值只能是y0 或或yn。第17页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-18二阶线性微分方程第一边值问题（续二阶线性微分方程第一边值问题（续3）这是这是(n-1)(n-1)的的三对角方程组，三对角方程组，系数矩阵对角占优系数矩阵对角占优追赶法求解。追赶法求解。3.方程组解法：方程组解法：亦即：亦即：第18页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-19二阶线性微分方程边值问题二阶线

18、性微分方程边值问题例题例题例例用差分法解用差分法解二阶线性二阶线性微分方程第一边值问题：微分方程第一边值问题：解：取解：取h=0.1,则则所以：所以：因此差分因此差分方程为方程为：第19页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-20二阶线性微分方程边值问题二阶线性微分方程边值问题例题（续）例题（续）xiyiy(xi）xiyiy(xi)0.10.07048940.07046730.60.48356840.48348010.20.14268360.142464090.80.71147910.71141090.30.21830

19、480.21824360.90.84700450.84696330.40.29910890.2990332解此差分方程，计算结果列在下表中：解此差分方程，计算结果列在下表中：其中：其中：二阶线性微分二阶线性微分方程的解函数为方程的解函数为第20页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-21差分方法求解偏微分方程差分方法求解偏微分方程简例简例下面，我们再通过一个简单的例子来说明用下面，我们再通过一个简单的例子来说明用差分方法差分方法求解偏微分方程问题求解偏微分方程问题的一般过程及差分方法的基本概念。的一般过程及差分方法的基

20、本概念。设有一阶双曲型设有一阶双曲型方程初值问题：方程初值问题：首先对定解区域：首先对定解区域：作网格剖分，最简单常用的一种网格是：作网格剖分，最简单常用的一种网格是：用两族分别平用两族分别平行于行于x轴与轴与t 轴的等距直线轴的等距直线第21页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-22差分方法求解偏微分方程差分方法求解偏微分方程简例（续简例（续1）将将D分成许多小矩形区域（见图分成许多小矩形区域（见图10-1）。这些直线称为网）。这些直线称为网格线，其交点称为网格点，格线，其交点称为网格点，也称为节点，也称为节点，h

21、和和分别称分别称作作x方向和方向和t方向的步长。方向的步长。这种网格称为矩形网格。这种网格称为矩形网格。如果我们用向前差商如果我们用向前差商表示一阶偏导数，即表示一阶偏导数，即:其中其中:0233h-h2hh-2htx（图（图10-1）第22页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-23于是，方程（于是，方程（10-1）在节点）在节点处可表示为处可表示为:差分方法求解偏微分方程差分方法求解偏微分方程简例（续简例（续2）(10-2)其中：其中：由由于于当当h，足足够够小小时时，是是小小量量，在在式式（10-2）中中略略去去

22、就得到一个与方程（就得到一个与方程（10-1）相近似的差分方程。）相近似的差分方程。紧接下屏紧接下屏紧接下屏紧接下屏记为记为第23页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-24差分方法求解偏微分方程差分方法求解偏微分方程简例（续简例（续3）此处，此处，可看作是问题（可看作是问题（10-13）的解在节点）的解在节点处处的近似值。由初条件有：的近似值。由初条件有：(10-4)式式（10-3）与与（10-4）结合，就得到求问题（结合，就得到求问题（10-1）的）的数值解的差分格式。数值解的差分格式。而称式而称式（10-5）为差

23、分方程（为差分方程（10-3）的截断误差。）的截断误差。(10-3)第24页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-25差分方法求解偏微分方程差分方法求解偏微分方程简例（续简例（续4）如果一个差分方程的截断误差为 ，则称差分方程对t是q阶精度阶精度，对x是是p阶精度阶精度的。显然，截断误差的阶数越大截断误差的阶数越大，差分方程对微分方程的差分方程对微分方程的逼近越好。逼近越好。若若网格步长网格步长趋于趋于0时，差分方程的时，差分方程的截断误差也趋截断误差也趋于于0，则称差分方程与相应的微分方程是则称差分方程与相应的微分方

24、程是相容相容的。的。这是用差分方法求解偏微分方程问题的这是用差分方法求解偏微分方程问题的必要条件必要条件。如果当如果当网格步长趋于网格步长趋于0时，差分格式的时，差分格式的解收敛到相应微解收敛到相应微分方程定解问题的解分方程定解问题的解，则称这种差分格式是，则称这种差分格式是收敛的收敛的。用差分格式求解时，除了截断误差外，每步计算都会产生用差分格式求解时，除了截断误差外，每步计算都会产生舍入舍入误差误差，在，在递推计算递推计算的过程中，的过程中，误差还会传播误差还会传播。对计算过程中。对计算过程中误差误差传播的讨论传播的讨论就是差分格式的就是差分格式的稳定性问题稳定性问题。第25页，共43页，

25、编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-26差分方法求解偏微分方程差分方法求解偏微分方程简例（续简例（续5）如果利用某种差分格式求解，计算过程中误差越来越如果利用某种差分格式求解，计算过程中误差越来越大，以致所求的解完全失真，则称该差分格式是大，以致所求的解完全失真，则称该差分格式是数值不数值不稳定的稳定的。后面的讨论表明，差分格式的。后面的讨论表明，差分格式的稳定性不仅与差稳定性不仅与差分格式本身有关分格式本身有关，而且与网格步长之比（称为而且与网格步长之比（称为网格比网格比）的大小有关的大小有关。如果一种差分格式对任意网格比都稳

26、定，。如果一种差分格式对任意网格比都稳定，则称该差分格式是则称该差分格式是无条件稳定的无条件稳定的；若只对某些网格比的；若只对某些网格比的值值稳稳定定；则则称称为为条条件件稳稳定定。如如果果对对任任何何网网格格比比都都不不稳稳定定，则则称完全不稳定称完全不稳定。完全不稳定的差分格式是无效的完全不稳定的差分格式是无效的。值。值得指出的是，稳定性与微分方程无关。得指出的是，稳定性与微分方程无关。定理定理10.1（Lax等价定理）等价定理）给定一个适定的初值问题，给定一个适定的初值问题，如果逼近它的差分格式与它相容，则该差分格式收敛的充分必要条如果逼近它的差分格式与它相容，则该差分格式收敛的充分必要

27、条件为它是数值稳定的。件为它是数值稳定的。由此定理，在对差分格式的稳定性进行讨论的同时，由此定理，在对差分格式的稳定性进行讨论的同时，收敛性问题也就解决了。收敛性问题也就解决了。（证明略）（证明略）第26页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-272 椭圆型方程第一边值问题椭圆型方程第一边值问题的差分解法的差分解法 本节以本节以Poisson方程为基方程为基本模型讨论第一边值问题本模型讨论第一边值问题的差分方法。的差分方法。2.1差分格式的建立差分格式的建立考虑考虑Poisson方程的第一边值问题：方程的第一边值问题：

28、(10-6)(10-6)取取h和和分别为分别为x方向和方向和y方向的步长，如图方向的步长，如图10-2所示，以两族平行线：所示，以两族平行线：将定解区域剖分成矩形网格将定解区域剖分成矩形网格。节点的全体记为：节点的全体记为：RQPTS图图10-2第27页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-28Poisson方程方程差分格式的建立差分格式的建立定解区域内部的节点称为内点，记内点集定解区域内部的节点称为内点，记内点集为为。边界。边界与网格线的交点称为边界点，边界点全体记为与网格线的交点称为边界点，边界点全体记为。与节点。

29、与节点沿沿x方向或方向或y方向只差一个步长的点方向只差一个步长的点和和称为节点称为节点的相邻节点。的相邻节点。如果一个内点的四个相邻节点均属于如果一个内点的四个相邻节点均属于，如图，如图10-2中的点中的点S，T 称为正则内点称为正则内点，正则内点的全体记为正则内点的全体记为，至少有一个相邻节点不属于，至少有一个相邻节点不属于的内点称为非正则内的内点称为非正则内点，非正则内点的全体记为点，非正则内点的全体记为。我们的问题是要求出我们的问题是要求出问题（问题（10-3）在全体内点上的数值解。）在全体内点上的数值解。为简便起见，记为简便起见，记:对正则内点对正则内点，由二阶中心差商公式，由二阶中心

30、差商公式:紧接下屏紧接下屏紧接下屏紧接下屏第28页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-29Poisson方程方程差分格式的建立（续差分格式的建立（续1）Poisson方程（方程（10-6）在点在点(k,j)处可表示为处可表示为:(10-8)(10-8)(10-7)(10-7)其中：其中：第29页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-30在式（在式（10-8）中略去）中略去R(k,j)即得与方程（即得与方程（10-6）相近似的）相近似的差分方程

31、差分方程:Poisson方程方程差分格式的建立（续差分格式的建立（续2）式（式（10-9）为其截断误差表示式）为其截断误差表示式.（10-10）式式（10-10）中方程的个数等于正则内点的个数，中方程的个数等于正则内点的个数，而未知数而未知数uk,j 则除了包含正则内点处解则除了包含正则内点处解u的近似值的近似值外，还包含一些非正则内点处外，还包含一些非正则内点处u的近似值，因而方的近似值，因而方程个数少于未知数个数。在非正则内点处程个数少于未知数个数。在非正则内点处Poisson方程方程的差分近似不能按式的差分近似不能按式（10-10）给出，给出，需要利需要利用边界条件得到。用边界条件得到。

32、第30页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-31Poisson方程方程边界条件的处理边界条件的处理边界条件的处理可以有各种方案，下面介绍较简单的两种。边界条件的处理可以有各种方案，下面介绍较简单的两种。（1）直接转移）直接转移用最接近非正则内点的边界点上的用最接近非正则内点的边界点上的u值作为该点上值作为该点上u值的值的近似，这就是边界条件的直接转移。如图近似，这就是边界条件的直接转移。如图10-2，点，点R(k,j)为非正则内点，其最接近的边界点为为非正则内点，其最接近的边界点为Q点，则有点，则有（10-11）将式

33、将式（10-11）代入式代入式（10-10），方程个数即与未，方程个数即与未知数个数相等。式知数个数相等。式（10-11）可以看作是用零次插可以看作是用零次插值得到非正则内点处值得到非正则内点处u的近似值，容易求出，其截的近似值，容易求出，其截断误差为断误差为O(h+)。第31页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-32Poisson方程方程边界条件的处理（续边界条件的处理（续1）（2）线性插值）线性插值这种方案是通过用同一条网格线上与点这种方案是通过用同一条网格线上与点P相邻的边界相邻的边界点与内点作线性插值得到非正

34、则内点点与内点作线性插值得到非正则内点P(k,j)处处u值的近似。值的近似。如图如图10-2，由点，由点R与与T的线性插值确定的线性插值确定u(p)的近似值的近似值uk,j，得得:（10-12）其中其中，其截断误差为，其截断误差为。将式（将式（10-12）与（）与（10-10）联立，得到方程个数与未知）联立，得到方程个数与未知数个数相等的方程组，求解此方程组可得到数个数相等的方程组，求解此方程组可得到Poisson方程方程第一边值问题（第一边值问题（10-6）的数值解）的数值解。第32页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法

35、10-33（10-13）由由式式（10-10）所所给给出出的的差差分分格格式式称称为为五五点点菱菱形形格格式式，它它所所涉涉及的节点如及的节点如图图10-3所示。所示。简记为简记为:（10-14）jk图图10-3Poisson方程方程边界条件的处理（续边界条件的处理（续2）实际计算时经常取实际计算时经常取h=，此时此时五点菱形五点菱形格式可化为格式可化为:其中其中:第33页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-34例例1用五点菱形格式用五点菱形格式求解求解Laplace方程方程第一边值问题第一边值问题其中其中取取。解解

36、如图如图10-4所示，所示，网格中有四个内点，网格中有四个内点，均为正则内点。由五均为正则内点。由五点菱形格式（点菱形格式（10-13），得方程组，得方程组:(0.3)(1.3)(2.3)(3.3)(3.2)(3.1)(2.1)(1.1)(0.1)(0.2)(1.2)(2.2)(0.0)(1.0)(2.0)(3.0)Oy 图图10-4第34页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-35例例1(续续1)代入边界条件：代入边界条件：第35页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值

37、解法偏微分方程数值解法10-36例例1（续（续2）其解为其解为得得第36页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-37五五点点矩矩形形格格式式（10-17）当当时，利用点时，利用点构造的差分格式：构造的差分格式：（10-15）称为五点矩形格式，简记为称为五点矩形格式，简记为（10-16）其截断误差为：其中：第37页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-38五点矩形格式所涉及的节点如图10-5所示:如果用更多的点构造差分格式，其截断误差的阶数可以提

38、高，如利用菱形格式及矩形格式所涉及的所有节点构造出的九点格式就是具有四阶精度的差分格式。有兴趣的读者可参看有关资料。图10-5五点菱形格式与矩形格式的截断误差均为:五五点点矩矩形形格格式（续）式（续）jK称它们具有二阶精度。第38页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-392.2 差分格式解的存在唯一性差分格式解的存在唯一性 为讨论方便起见，下面仅以矩形域上Poisson方程第一边值问题的五点菱形格式为例进行讨论。取 方向的步长 分别等分区间 ,则此时内点均为正则内点，即 。五点菱形格式(也称为差分方程边值问题）为:设

39、(10-18)第39页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-40 定理定理10.2(极值原理极值原理)为为证证明明问问题题（10-18）的的解解存存在在唯唯一一，需需先先证证明明下下述结论。述结论。（1）常数,定理定理10.2（极值原理极值原理）设 为定义在点集上的函数，且满足条件:则则在在上达到最大值（最小值）。上达到最大值（最小值）。（2）第40页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-41 证明证明 用反证法。假设存在 ，使得:定理定理10.2证明证明因为 ，故有由条件（2）即得 如果的邻点中有一个是边界点，则得到矛盾。否则可对任一邻点重复上述过程。如此进行若干次，必定存在点，使得，导出矛盾。故假设不成立，在上达到最大值。第41页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-42第42页，共43页，编辑于2022年，星期六阜师院数科院第十章阜师院数科院第十章偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法10-43第十章第十章结结 束束第43页，共43页，编辑于2022年，星期六