数学实验之的近似计算幻灯片.ppt

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1、数学实验之的近似计算第1页，共49页，编辑于2022年，星期六 在本次试验中，我们将追溯关于圆周率的计算历程。通过对割圆术、韦达公式、级数加速法、迭代法等计算方法的介绍和计算体验，感受数学思想和数学方法的发展过程，提高对极限和级数收敛性及收敛速度的综合认识，同时使我们看到数学家对科学真理的永无止境的追求。实验目的实验目的主主主主 页页页页上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页第2页，共49页，编辑于2022年，星期六主要内容 四、利用级数计算二、韦达(VieTa)公式 三、数值积分方法 一、割圆术六、拉马努金(Ramanujan)公式五、蒙特卡罗(Monte Carlo)法第3页，共

2、49页，编辑于2022年，星期六实验指导实验指导 是是使使人人们们最最经经常常使使用用的的数数学学常常数数。人人们们对对的的研研究究已已经经持持续续了了25002500多多年年。在在今今天天，这这种种探探索索还还在在继续继续2023/4/11第4页，共49页，编辑于2022年，星期六世世界界上上数数学学家家们们一一致致公公认认：“历历史史上上一一个个国国家家计计算算圆圆周周率率的的准准确确度度，可可以以作作为为衡衡量量这这个个国国家家当当时时数数学学水水平的一个标志。平的一个标志。”实验指导实验指导2023/4/11第5页，共49页，编辑于2022年，星期六值值算法美的追求算法美的追求 作为圆

3、周率的符号，是由著名数学家作为圆周率的符号，是由著名数学家作为圆周率的符号，是由著名数学家作为圆周率的符号，是由著名数学家EulerEuler于公元于公元于公元于公元17371737年首先使用的。年首先使用的。年首先使用的。年首先使用的。古代的希伯来人，在描述所罗门庙古代的希伯来人，在描述所罗门庙古代的希伯来人，在描述所罗门庙古代的希伯来人，在描述所罗门庙宇中的宇中的宇中的宇中的“熔池熔池熔池熔池”时曾经这样写道：时曾经这样写道：时曾经这样写道：时曾经这样写道：“池为圆形，对径为池为圆形，对径为池为圆形，对径为池为圆形，对径为十腕尺，池高为五腕尺，其周长为三十腕尺。十腕尺，池高为五腕尺，其周长

4、为三十腕尺。十腕尺，池高为五腕尺，其周长为三十腕尺。十腕尺，池高为五腕尺，其周长为三十腕尺。”可见，可见，可见，可见，古希伯来人认为圆周率等于古希伯来人认为圆周率等于古希伯来人认为圆周率等于古希伯来人认为圆周率等于3 3。不过，那时的建筑师们，。不过，那时的建筑师们，。不过，那时的建筑师们，。不过，那时的建筑师们，似乎没有人不明白，圆周长与直径的比要比似乎没有人不明白，圆周长与直径的比要比似乎没有人不明白，圆周长与直径的比要比似乎没有人不明白，圆周长与直径的比要比3 3大一些。大一些。大一些。大一些。公元前公元前3世纪古希腊大数学家阿基米德求出了世纪古希腊大数学家阿基米德求出了223/71 2

5、2/722/7。2023/4/11第6页，共49页，编辑于2022年，星期六“割圆术割圆术”中学问多中学问多 我国我国我国我国20002000多年前的周髀算经称多年前的周髀算经称多年前的周髀算经称多年前的周髀算经称“周三径一周三径一周三径一周三径一”，这，这，这，这是是是是 的第一个近似值，叫做的第一个近似值，叫做“古率古率”。据说，汉代大科学家、文学家张衡，有据说，汉代大科学家、文学家张衡，有据说，汉代大科学家、文学家张衡，有据说，汉代大科学家、文学家张衡，有“圆周率圆周率圆周率圆周率一十之面一十之面一十之面一十之面”的推算。清代李潢考证这句话意思为的推算。清代李潢考证这句话意思为的推算。清

6、代李潢考证这句话意思为的推算。清代李潢考证这句话意思为 sqrt(10)sqrt(10)。魏晋魏晋魏晋魏晋间间间间刘徽由刘徽由刘徽由刘徽由圆圆圆圆内接正六内接正六内接正六内接正六边边边边形依次倍增到正形依次倍增到正形依次倍增到正形依次倍增到正192192边边边边形，形，形，形，计计计计算周算周算周算周长长长长与直径之比，得与直径之比，得与直径之比，得与直径之比，得3.141024 3.141024 3.142704实际应用时取实际应用时取实际应用时取实际应用时取3.143.14，或分数值，或分数值，或分数值，或分数值157/50157/50。2023/4/11第7页，共49页，编辑于2022年

7、，星期六“割圆术割圆术”中学问多中学问多 他的割圆术已含有无限逼近的极限思想，这是比求他的割圆术已含有无限逼近的极限思想，这是比求他的割圆术已含有无限逼近的极限思想，这是比求他的割圆术已含有无限逼近的极限思想，这是比求 值更可宝贵的。从方法上说，他得到了重要的值更可宝贵的。从方法上说，他得到了重要的值更可宝贵的。从方法上说，他得到了重要的值更可宝贵的。从方法上说，他得到了重要的“刘徽不等刘徽不等刘徽不等刘徽不等式式式式”。设单位圆内接正设单位圆内接正设单位圆内接正设单位圆内接正n n边形的边长为边形的边长为边形的边长为边形的边长为a an n，圆内接正，圆内接正，圆内接正，圆内接正n n边形边

8、形边形边形的面积为的面积为的面积为的面积为S Sn n。根据勾股定理，边长有如下递推公式：。根据勾股定理，边长有如下递推公式：2023/4/11第8页，共49页，编辑于2022年，星期六“割之弥细，失之弥少，割之又割之弥细，失之弥少，割之又割，则与圆合体而无所失矣。割，则与圆合体而无所失矣。”面积与边长有如下关系：面积与边长有如下关系：面积与边长有如下关系：面积与边长有如下关系：圆面积圆面积圆面积圆面积S S与多边形的面积与多边形的面积与多边形的面积与多边形的面积S Sn n之间有如下关系：之间有如下关系：之间有如下关系：之间有如下关系：2023/4/11第9页，共49页，编辑于2022年，星

9、期六刘徽不等式刘徽不等式借助于计算机来完成刘徽的工作：借助于计算机来完成刘徽的工作：借助于计算机来完成刘徽的工作：借助于计算机来完成刘徽的工作：a(1)=sqrt(3);b(1)=3*sqrt(3)/2;a(1)=sqrt(3);b(1)=3*sqrt(3)/2;for i=2:6 a(i)=sqrt(2-sqrt(4-a(i-1)2);b(i)=3*2(i-2)*a(i);b(i)=3*2(i-2)*a(i);c(i)=2*b(i)-b(i-1);endendn=3,6,12,24,48,96;n=3,6,12,24,48,96;size(b)result=n;a;b;cresult=n;a

10、;b;cresultresult2023/4/11第10页，共49页，编辑于2022年，星期六刘徽不等式刘徽不等式ans=ans=3.0000 1.7321 2.5981 0 3.0000 1.7321 2.5981 0 6.0000 1.0000 3.0000 3.4019 12.0000 0.5176 3.1058 3.2117 12.0000 0.5176 3.1058 3.2117 24.0000 0.2611 3.1326 3.1594 24.0000 0.2611 3.1326 3.1594 48.0000 0.1308 3.1394 3.1461 96.0000 0.0654 3

11、.1410 3.1427 96.0000 0.0654 3.1410 3.14272023/4/11第11页，共49页，编辑于2022年，星期六割圆术的意义割圆术的意义刘徽创立的割圆术，其意义不仅在于刘徽创立的割圆术，其意义不仅在于计算出了计算出了Pi的近似值，而且还在于提供了的近似值，而且还在于提供了一种研究数学的方法。这种方法相当于今一种研究数学的方法。这种方法相当于今天的天的“求积分求积分”，后者经，后者经16世纪英国的牛世纪英国的牛顿和德国的莱布尼茨作系统总结而得名。鉴顿和德国的莱布尼茨作系统总结而得名。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称做于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称做“中

12、国数学史上的牛顿中国数学史上的牛顿”，并把他所创造的，并把他所创造的割圆术称为割圆术称为“徽术徽术”。2023/4/11第12页，共49页，编辑于2022年，星期六韦达（韦达（VieTaVieTa）公式）公式1593年，韦达首次给出了计算年，韦达首次给出了计算Pi的精的精确表达式：确表达式：韦达公式看起来有些神秘，其实它的韦达公式看起来有些神秘，其实它的导出过程所用的都是朴实简洁的数学方法。导出过程所用的都是朴实简洁的数学方法。2023/4/11第13页，共49页，编辑于2022年，星期六韦达（韦达（VieTaVieTa）公式）公式1、从、从sint开始开始2023/4/11第14页，共49页

13、，编辑于2022年，星期六韦达（韦达（VieTaVieTa）公式）公式所以，对任意所以，对任意N，总有，总有2023/4/11第15页，共49页，编辑于2022年，星期六韦达（韦达（VieTaVieTa）公式）公式2、从、从cos(pi/4)开始开始2023/4/11第16页，共49页，编辑于2022年，星期六韦达（韦达（VieTaVieTa）公式）公式3、使用、使用VieTa公式计算公式计算Pi的近似值的近似值思考：思考：如何利用韦达公式构造如何利用韦达公式构造如何利用韦达公式构造如何利用韦达公式构造出一种迭代算法？出一种迭代算法？2023/4/11第17页，共49页，编辑于2022年，星期

14、六数值积分法计算数值积分法计算PiPi定积分定积分计算出这个积分的数值，也就得到了计算出这个积分的数值，也就得到了Pi的值。的值。2023/4/11第18页，共49页，编辑于2022年，星期六数值积分法计算数值积分法计算PiPi1、梯形公式、梯形公式2023/4/11第19页，共49页，编辑于2022年，星期六数值积分法计算数值积分法计算PiPi2、辛普森（、辛普森（Simpson）公式）公式2023/4/11第20页，共49页，编辑于2022年，星期六利用级数计算利用级数计算PiPi1、莱布尼茨级数（、莱布尼茨级数（1674年发现）年发现）2023/4/11第21页，共49页，编辑于2022

15、年，星期六利用级数计算利用级数计算PiPi1844年，数学家达什在没有计算机的情年，数学家达什在没有计算机的情况下利用此式算出了况下利用此式算出了Pi的前的前200位小数。使位小数。使用误差估计式用误差估计式计算一下要精确到计算一下要精确到Pi的的200位小数需要取级位小数需要取级数的多少项？数的多少项？2023/4/11第22页，共49页，编辑于2022年，星期六利用级数计算利用级数计算PiPi2、欧拉的两个级数（、欧拉的两个级数（1748年发现）年发现）这两个级数收敛也非常缓慢，计算时实用这两个级数收敛也非常缓慢，计算时实用价值不大。价值不大。2023/4/11第23页，共49页，编辑于2

16、022年，星期六利用级数计算利用级数计算PiPi3、基于、基于arctan x的级数的级数对泰勒级数对泰勒级数即为莱布尼茨级数，直接使用时收敛速度极即为莱布尼茨级数，直接使用时收敛速度极慢，必须考虑加速算法。慢，必须考虑加速算法。2023/4/11第24页，共49页，编辑于2022年，星期六利用级数计算利用级数计算PiPi观察级数可知，观察级数可知，x的值越接近于的值越接近于0，级，级数收敛越快。由此可以考虑令数收敛越快。由此可以考虑令2023/4/11第25页，共49页，编辑于2022年，星期六利用级数计算利用级数计算PiPi因此，因此，4pi/4非常接近非常接近0。2023/4/11第26

17、页，共49页，编辑于2022年，星期六利用级数计算利用级数计算PiPi加速效果非常明显！加速效果非常明显！2023/4/11第27页，共49页，编辑于2022年，星期六蒙特卡罗（蒙特卡罗（Monte CarloMonte Carlo）法）法单位圆的面积等于单位圆的面积等于Pi，使用蒙特卡罗法，使用蒙特卡罗法，即用随机投点的方法来求出这个面积即用随机投点的方法来求出这个面积Pi的近似的近似值。具体方法如下：值。具体方法如下：在平面直角坐标系中，以在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,0)，C(1,1)，B(0,1)为四个顶点作一个正方形，其为四个顶点作一个正方形，其面积面积S1。以原点。以

18、原点O为圆心的单位圆在这个正为圆心的单位圆在这个正方形内的部分是圆心角为直角的扇形，面积为方形内的部分是圆心角为直角的扇形，面积为S1Pi/4。2023/4/11第28页，共49页，编辑于2022年，星期六蒙特卡罗（蒙特卡罗（Monte CarloMonte Carlo）法）法在这个正方形内随机地投入在这个正方形内随机地投入n个点，设其个点，设其中有中有m个点落在单位扇形内。则个点落在单位扇形内。则随机投点如何来实现？随机投点如何来实现？2023/4/11第29页，共49页，编辑于2022年，星期六蒲丰（蒲丰（BuffonBuffon）掷针实验）掷针实验另一种用蒙特卡罗法来计算另一种用蒙特卡罗

19、法来计算Pi的方法是的方法是1777年法国数学家蒲丰（年法国数学家蒲丰（Buffon）提出的随机）提出的随机掷针实验。其步骤如下：掷针实验。其步骤如下：（1）取一张白纸，在上面画出许多间距为）取一张白纸，在上面画出许多间距为d的等距平行线。的等距平行线。（2）取一根长度为）取一根长度为 的均匀直针，的均匀直针，随机地向画有平行线的纸上掷去，一共掷随机地向画有平行线的纸上掷去，一共掷n次。次。观察针和直线相交的次数观察针和直线相交的次数m。2023/4/11第30页，共49页，编辑于2022年，星期六蒲丰（蒲丰（BuffonBuffon）掷针实验）掷针实验（3）由几何概率知道针和直线相交的概率为

20、）由几何概率知道针和直线相交的概率为 ，取，取m/n为为p的近似值，则的近似值，则特别取针的长度特别取针的长度 时，时，=n/m。2023/4/11第31页，共49页，编辑于2022年，星期六拉马努金（拉马努金（Ramanujan)Ramanujan)公式公式目前，计算目前，计算pi的一个极其有效的公式为的一个极其有效的公式为这个级数收敛得非常快，级数每增加一项，这个级数收敛得非常快，级数每增加一项，可提高大约可提高大约8位小数的精度。位小数的精度。2023/4/11第32页，共49页，编辑于2022年，星期六拉马努金（拉马努金（Ramanujan)Ramanujan)公式公式1985年，数学

21、家比尔年，数学家比尔.高斯帕依使用这个公高斯帕依使用这个公式在计算机上算出了式在计算机上算出了pi的的1750万位小数。这万位小数。这个神奇的公式归功于印度年轻的传奇数学家个神奇的公式归功于印度年轻的传奇数学家拉马努金拉马努金(Ramanujan,1887-1929).2023/4/11第33页，共49页，编辑于2022年，星期六拉马努金（拉马努金（Ramanujan)Ramanujan)公式公式另一个经过改进的计算公式为：另一个经过改进的计算公式为：级数每增加一项，可提高级数每增加一项，可提高14位小数的精度。位小数的精度。2023/4/11第34页，共49页，编辑于2022年，星期六迭代公

22、式迭代公式迭代公式迭代公式1：1989年，年，BorWein发现了下列收敛于发现了下列收敛于1/pi的迭代的迭代公式：公式：2023/4/11第35页，共49页，编辑于2022年，星期六迭代公式迭代公式迭代误差可以由下式估计迭代误差可以由下式估计迭代迭代4次可精确到次可精确到693位小数！位小数！8次后可以保次后可以保证精确到小数点证精确到小数点178814位！位！2023/4/11第36页，共49页，编辑于2022年，星期六迭代公式迭代公式迭代公式迭代公式迭代公式迭代公式2 2：19961996年，年，年，年，BaieyBaiey发现了另一个收敛于发现了另一个收敛于发现了另一个收敛于发现了另

23、一个收敛于1/pi1/pi的迭代公式：的迭代公式：的迭代公式：的迭代公式：2023/4/11第37页，共49页，编辑于2022年，星期六迭代公式迭代公式迭代误差可以由下式估计迭代误差可以由下式估计2023/4/11第38页，共49页，编辑于2022年，星期六结束语结束语随着计算机技术的飞速发展计算方法的突破与创新，随着计算机技术的飞速发展计算方法的突破与创新，随着计算机技术的飞速发展计算方法的突破与创新，随着计算机技术的飞速发展计算方法的突破与创新，计算计算计算计算PiPi的世界纪录正在迅速地被刷新。目前，的世界纪录正在迅速地被刷新。目前，的世界纪录正在迅速地被刷新。目前，的世界纪录正在迅速地

24、被刷新。目前，Pi的数值的数值已计算到小数点后已计算到小数点后2061.5843亿位。这一记录是日本东亿位。这一记录是日本东亿位。这一记录是日本东亿位。这一记录是日本东京大学教授金田康正和他的助手于京大学教授金田康正和他的助手于京大学教授金田康正和他的助手于京大学教授金田康正和他的助手于19991999年年年年9 9月创造的。月创造的。月创造的。月创造的。计算用了计算用了计算用了计算用了37h 21min37h 21min，检验用了，检验用了，检验用了，检验用了46h 7min.46h 7min.虽然这样高虽然这样高的精确度已经没有太多的实际意义。但这反映了的精确度已经没有太多的实际意义。但这

25、反映了现代数学科学的日新月异，反映了人类智慧向极限现代数学科学的日新月异，反映了人类智慧向极限的挑战。的挑战。2023/4/11第39页，共49页，编辑于2022年，星期六圆周率的探索者们圆周率的探索者们 Archimedes(BC287-BC212)祖冲之(430-501)2023/4/11第40页，共49页，编辑于2022年，星期六Ludolph van Ceulen(1540-1610)John Machin(1680-1751)2023/4/11第41页，共49页，编辑于2022年，星期六Johann Heinrich Lambert(1728-1777)Adrien-Marie Le

26、gendre(1752-1833)2023/4/11第42页，共49页，编辑于2022年，星期六Johann Carl Friedrich Gauss(1777-1855)2023/4/11第43页，共49页，编辑于2022年，星期六Carl Louis Ferdinand von Lindemann(1852-1939)Srinivasa Ramanujan(1887-1920)2023/4/11第44页，共49页，编辑于2022年，星期六nENIAC(1946)2023/4/11第45页，共49页，编辑于2022年，星期六n创造者小数点后位数所用方法-前2000古埃及人0前1200中国0前

27、500圣经0（周三径一）前250阿基米德3263刘徽5古典割圆术480祖冲之71429Al-Kashi141593Romanus151596鲁道夫20古典割圆术1609鲁道夫351699夏普71夏普无穷级数1706马青100马青公式1719德拉尼法127(112位正确)夏普无穷级数1794乔治威加奥地利140欧拉公式1824威廉卢瑟福英208(152位正确)勒让德公式1844Strassnitzky&Dase2001847Clausen2481853Lehmann2611853Rutherford4401874威廉山克斯707(527位正确)n2023/4/11第46页，共49页，编辑于202

28、2年，星期六n20世纪后年 月纪录创造者所用机器小数点后位数1946弗格森英6201947 1弗格森英7101947 9Ferguson&Wrench8081949Smith&Wrench1,1201949Reitwiesner et alENIAC2,0371954Nicholson&JeenelNORC3,0921957Felton Pegasus7,4801958 1GenuysIBM 70410,0001958 5Felton Pegasus10,0211959GuilloudIBM 70416,1671961Shanks&WrenchIBM 7090100,2651966Guillo

29、ud&FilliatreIBM 7030250,0001967Guilloud&DichamptCDC 6600500,0001973Guilloud&BouyerCDC 76001,001,2501981Miyoshi&KanadaFACOM M-2002,000,0361982Guilloud2,000,0501982TamuraMELCOM 900II2,097,1441982Tamura&KanadaHITACHI M-280H4,194,2881982Tamura&KanadaHITACHI M-280H8,388,5761983Kanada,Yoshino&TamuraHITACH

30、I M-280H16,777,2061985 10GosperSymbolics 367017,526,2002023/4/11第47页，共49页，编辑于2022年，星期六n1986 1BaileyCRAY-229,360,1111986 9Kanada&TamuraHITACHI S-810/2033,554,4141986 10Kanada&TamuraHITACHI S-810/2067,108,8391987 1Kanada,Tamura&Kuboet al NEC SX-2134,217,7001988 1Kanada&TamuraHITACHI S-820/80201,326,55

31、11989 5ChudnovskysCRAY-2&IBM-3090/VF480,000,0001989 6ChudnovskysIBM 3090525,229,2701989 7Kanada&TamuraHITACHI S-820/80536,870,8981989 8ChudnovskysIBM 30901,011,196,6911989 11Kanada&TamuraHITACHI S-820/801,073,741,7991991 8Chudnovskys2,260,000,0001994 5Chudnovskys4,044,000,0001995 8Takahashi&KanadaHITACHI S-3800/4804,294,967,2861995 10Takahashi&Kanada6,442,450,9381997 7Takahashi&Kanada51,539,600,0001999 4Takahashi&Kanada68,719,470,0001999 9Takahashi&KanadaHITACHI SR8000206,158,430,0002002TakahashiTeam1,241,100,000,0002023/4/11第48页，共49页，编辑于2022年，星期六谢谢大家！谢谢大家！2023/4/11第49页，共49页，编辑于2022年，星期六