第二章拉普拉斯变换.pptx

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1、 拉普拉斯变换(Laplace Transform)（简称拉氏变换）是一种解线性微分方程的简便运算方法。第一节 拉普拉斯变换简介第1页/共47页原函数(Original Function)象函数(Image Function)一、拉普拉斯变换的定义 设时间函数 ,则 的拉普拉斯变换定义为第2页/共47页一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是：(1)在t0。图图2-1-5 2-1-5 指数函数指数函数0r(t)t1第11页/共47页其拉氏变换为（六）正弦函数正弦函数（Sine Function）的数学表达式为(t0)式中，式中，为正弦函数的角频率。为正弦函数的角频率。第12页/共47页其拉氏变换为

2、（七）余弦函数（七）余弦函数余弦函数（Cosine Function）的数学表达式为(t0)第13页/共47页(八八)幂函数幂函数幂函数（Power Function）的数学表达式为(t0,n-1且为整数)其拉氏变换为其拉氏变换为单位阶跃函数、单位斜坡函数及单位加速度函数分别是幂函数当n=0、n=1及 n=2时的特例。第14页/共47页注:欧拉公式第15页/共47页一、线性性质(Linearity)第二节 拉普拉斯变换的性质线性性质指同时满足叠加性和齐次性。叠加性(Additivity Property)：指当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。如，

3、则。齐次性(Homogeneity Property)：指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如：，则。第16页/共47页则 若有 ，a和和b为常数为常数第17页/共47页例例2-22-2 求求 。解：解：第18页/共47页二、延时定理（Time-Shift Theorem）若有若有 ，对任意实数，对任意实数 a,则则第19页/共47页三、周期函数的拉氏变换 若函数 是以T 为周期的周期函数,即，则有第20页/共47页四、复数域位移定理(Complex-Shifting Theorem)若若 ，对于任意常数，对于任意常数a(实数或复数实数或复数)，有，有第21页/共47页五、时间尺度

4、改变性质(Change of Time Scale)时间尺度改变性质又称相似定理或称尺寸变换特性(Scaling Property)或称压扩特性(Companding Property)。若若 ，a 是任意是任意常数，则常数，则第22页/共47页六、微分性质(Differentiation Property)f(0)为时间函数为时间函数 f(t)在t=0处的初始值处的初始值。注意注意，本书假设，本书假设 f(0-)=f(0+)=f(0)。推论 若 ，则特别地，当特别地，当 时，有时，有 第23页/共47页七、积分性质(Integration Property)其中其中推论 若则则第24页/共4

5、7页当初始条件为零时，当初始条件为零时，第25页/共47页八、初值定理八、初值定理(Initial Value Theorem)若若 ，且，且 存在，则存在，则 九、终值定理(Final Value Theorem)第26页/共47页解：由初值定理和终值定理得例2-8已知（a0），求。第27页/共47页十、复微分定理十、复微分定理(Complex-Differentiation Theorem)则若十一、复积分定理(Complex-Integration Theorem)则若第28页/共47页十二、卷积定理十二、卷积定理(Convolution Theorem)两函数 f 1(t)和f 2(t

6、)的卷积定义为卷积满足以下性质：（1）交换律（2）结合律（3）分配律第29页/共47页拉氏变换的卷积定理：则则第30页/共47页第三节 拉普拉斯反变换已知象函数，求其原函数的变换称作拉氏反变换（Inverse Laplace Transform），记为：，并定义为通常求拉氏反变换的方法有：(1)查表法(3)部分分式法(2)有理函数法第31页/共47页一般象函数可以表示成如下的有理分式式中，和 分别为F(s)的极点和零点，它们是实数或共轭复数，且nm。根据极点种类的不同，将上式化为部分分式之和，有以下两种情况。第32页/共47页一、一、F(s)无重极点的情况无重极点的情况 当F(s)无重极点时，

7、即只有各不相同的单极点（Distinct Poles）。F(s)总是能展开为下面简单的部分分式之和：因此,式中，ci 为待定常数，称为F(s)在极点pi 处的留数.第33页/共47页例2-11已知 ,试求原函数。解：将 F(s)写成部分分式形式式中第34页/共47页于是，有第35页/共47页二、F(s)有重极点的情况假设F(s)有r 个重极点(Multiple Poles)p1，其余极点均不相同，则F(s)可表示为第36页/共47页式中式中 ,为重极点对应的待定系数为重极点对应的待定系数,求法如下：求法如下：第37页/共47页其余系数其余系数 的求法与第一种情况所述的方的求法与第一种情况所述的

8、方法相同，即法相同，即因此，因此，F(s)的拉氏反变换为的拉氏反变换为 第38页/共47页例2-12 已知 ，试求原函数 f(t)。解：将F(s)写成部分分式形式，有式中，c11,c12,c13为三重极点s=-2所对应的系数，根据公式式计算第39页/共47页c2,c3为单极点对应的系数，根据公式计算第40页/共47页于是其象函数可写为查拉氏变换表可求得原函数为第41页/共47页第四节第四节 用拉普拉斯变换解线性微分方用拉普拉斯变换解线性微分方程程利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：(1)对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；(2)由代数方程求解出象函数；(3)(3)取拉氏反变换，得微分方程解。取拉氏反变换，得微分方程解。第42页/共47页解：将初始条件代入上式得例例2-152-15 求微分方程求微分方程满足初始条件满足初始条件的解。的解。方程两边取拉氏变换得即第43页/共47页利用部分分式法得第44页/共47页作作 业业(P44)2-7（2）第45页/共47页第46页/共47页感谢您的观看！第47页/共47页