数学物理方法第四章留数定理幻灯片.ppt

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1、数学物理方法第四章留数定理1第1页，共65页，编辑于2022年，星期六 Laurent 展式中 项的系数,称作 f(z)在孤立奇点 z0 的留数(Residue)。第2页，共65页，编辑于2022年，星期六1、l 内有 n 个孤立奇点n 个孤立奇点,这里画了其中4个第3页，共65页，编辑于2022年，星期六留数定理 设函数 在回路 l 所围区域 B 上除有限个孤立奇点 外解析，在闭区域 上除 外连续，则 第4页，共65页，编辑于2022年，星期六 留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和。以上讨论都限于有限远点，我们还可以将这种讨论推广到无限远点计算绕无穷远（路左）的正

2、向积分将f(z)在无穷远邻域展开即使无限远点不是奇点，也可以不为零。第5页，共65页，编辑于2022年，星期六+|同一函数，同一环路 向的两个积分和为0.第6页，共65页，编辑于2022年，星期六计算留数的公式：一、一阶极点留数的计算：设 z0 是 f(z)的一阶极点，因此特殊情形：第7页，共65页，编辑于2022年，星期六二、m(m2)阶极点留数的计算：设 z0 是 f(z)的 m 阶极点,两边乘 ,得到：函数极点价数 m 的判据第8页，共65页，编辑于2022年，星期六为了求 a-1,对上式求 m-1 阶导数：因此,已知 m 后：第9页，共65页，编辑于2022年，星期六例1：求 在 处的

3、留数。解：另解m?第10页，共65页，编辑于2022年，星期六例3：求 在其奇点的留数。解：单极点 2i,三阶极点0例2：求 在其奇点 的留数。解：一价极点 z=n第11页，共65页，编辑于2022年，星期六第12页，共65页，编辑于2022年，星期六例4：求积分解：第13页，共65页，编辑于2022年，星期六第14页，共65页，编辑于2022年，星期六15第15页，共65页，编辑于2022年，星期六4.2 应用留数理论计算实变函数定积分实变函数积分实变函数积分复变函数的回路积分复变函数的回路积分基本思想:将在区间 l1=a,b 的实变函数积分与复平面上的回路积分联系起来,可以看做复变函数线积

4、分的特例,即是复变函数在实轴上的线积分。因此，可把上述实数积分与复变函数积分联系起来。第16页，共65页，编辑于2022年，星期六方法：如果 补充线段 l2,并且延拓函数到整个复平面，可构成围路积分：左边积分和右边第二个积分则可以利用复变函数理论求出,然后再求出 I。xyoabl1l2l=l1+l2b1b3b2bmbkl第17页，共65页，编辑于2022年，星期六类型一类型一：其中：（1）R(cosx,sin x)是 sin x,cos x 的有理式；（2）积分区间是 0,2；(3)在区间0,2内，无奇点。第18页，共65页，编辑于2022年，星期六如果令 z=1 eix=cos x+i si

5、n x,则积分路径变成单位圆的围路积分。因为dz=d(eix)=i eix dx=i z dxy原积分变成xo 0 2 x z平面(1,0)映射第19页，共65页，编辑于2022年，星期六例题 1 计算积分解：第20页，共65页，编辑于2022年，星期六例题 2 计算积分dz=i z dx1/i=-iz=eix第21页，共65页，编辑于2022年，星期六被积函数有单极点由留数定理得第22页，共65页，编辑于2022年，星期六类型二类型二：其中：(1)积分区间是(-,+);(2)复变函数 f(z)在实轴上无奇点，在上 半平面除有限个奇点（b1,b2bn)外解析；(3)当 z 在上半平面和实轴上时

6、，一致 的|z f(z)|0；如果 f(x)是有理分式 ，则分母在实轴无零点，且分母的次数高于分子次数至少二次。第23页，共65页，编辑于2022年，星期六积分主值概念：反常积分定义为当 R1=R2 时，称为 I 的积分主值一般，积分主值存在，不一定反常积分存在，一般，积分主值存在，不一定反常积分存在，反之，如果反常积分存在，积分主值一定存在反之，如果反常积分存在，积分主值一定存在！第24页，共65页，编辑于2022年，星期六计算积分主值计算积分主值 补充围路如图,作线积分由留数定理：当 R,左边的第一个积分即是要求的，第二个积分可证明当 f(z)满足条件（3）z ,|z f(z)|0 时为零

7、。-R+RxyCR bkoR第25页，共65页，编辑于2022年，星期六第26页，共65页，编辑于2022年，星期六例题3 求积分 解：单极点 只需考虑上半平面极点+i第27页，共65页，编辑于2022年，星期六例题4 求积分第28页，共65页，编辑于2022年，星期六-n-(n-2)-n-(n-1)29第29页，共65页，编辑于2022年，星期六因此积分为例题5 求积分第30页，共65页，编辑于2022年，星期六类型三类型三：其中:（1）积分区间 ；(2)偶函数 F(z)和奇函数 G(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点（b1,b2bn)外解析；(3)当 z 在上半平面和实轴上 时，一

8、致地 F(z),G(z)0；第31页，共65页，编辑于2022年，星期六在第二积分中，同理偶函数 F(-y)=F(y)第32页，共65页，编辑于2022年，星期六奇函数-G(-y)=G(y)y x33第33页，共65页，编辑于2022年，星期六约当引理 如m为正数，是以原点为圆心而位于 上半平面得半圆周 ，又设当 z 在上半平面及实轴上时，f(z)一致地0,则-R+RxyCRoR第34页，共65页，编辑于2022年，星期六证：z,F(z)0。约当引理要求第35页，共65页，编辑于2022年，星期六右第二项中右第二项中第36页，共65页，编辑于2022年，星期六如果 m 0,应改为下半平面计算o

9、y1第37页，共65页，编辑于2022年，星期六第38页，共65页，编辑于2022年，星期六例题6：求积分 39第39页，共65页，编辑于2022年，星期六例题7：求积分 第40页，共65页，编辑于2022年，星期六类型四类型四：实轴上有单极点的积分 其中：(1)函数 f(z)在实轴上有单极点 a，上半平面除有限个奇点（b1,b2bn)外解析；(2)当 z 在上半平面和实轴上时，一致地|z f(z)|0；或满足第三类型的条件。第41页，共65页，编辑于2022年，星期六先考虑只有一个先考虑只有一个单极点单极点(m=1)由于 的存在，作如图围路。在围路内如有有限个奇点，则CRC-RRO第42页，

10、共65页，编辑于2022年，星期六当R时 第 3 部分积分为零。因此问题的关键是求实轴上单极点处的积分。Cx第43页，共65页，编辑于2022年，星期六事实上注意：如果是二阶以上的极点，第一项当0时，发散！第44页，共65页，编辑于2022年，星期六 妈妈开了个淘宝店，欢迎前来捧场妈妈开了个淘宝店，欢迎前来捧场妈妈的淘宝点开了快半年了，主要卖的是毛绒玩具、坐垫、抱枕之类的，感觉妈妈妈的淘宝点开了快半年了，主要卖的是毛绒玩具、坐垫、抱枕之类的，感觉妈妈还是很用心的，花了不少功夫，所以我也来出自己的一份力，帮忙宣传一下。妈还是很用心的，花了不少功夫，所以我也来出自己的一份力，帮忙宣传一下。并且妈妈

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12、积分 解：利用函数的奇偶性，原积分可化成 被积函数仅仅在实轴上 有单极点 z=0,因此据第47页，共65页，编辑于2022年，星期六 由此还可以推论，对于正的m,对于负的m,第48页，共65页，编辑于2022年，星期六*4.3 计算定积分的补充例题例1第49页，共65页，编辑于2022年，星期六xyCCRl2l1=0=050第50页，共65页，编辑于2022年，星期六51第51页，共65页，编辑于2022年，星期六52第52页，共65页，编辑于2022年，星期六xyCCRK2K1+1半径例2“-”的由来同上一例题53第53页，共65页，编辑于2022年，星期六54第54页，共65页，编辑于20

13、22年，星期六55第55页，共65页，编辑于2022年，星期六例356第56页，共65页，编辑于2022年，星期六a+i2xyii3-a+i2-a al1l2l3l457第57页，共65页，编辑于2022年，星期六58第58页，共65页，编辑于2022年，星期六59第59页，共65页，编辑于2022年，星期六例4 计算菲涅耳积分xyolRCR/460第60页，共65页，编辑于2022年，星期六61第61页，共65页，编辑于2022年，星期六62第62页，共65页，编辑于2022年，星期六63第63页，共65页，编辑于2022年，星期六本章基本要求：本章基本要求：1.了解留数的意义。2熟练掌握求留数的方法。3熟练掌握利用留数定理计算 实变函数定积分的方法。作业4.1.1(1)(5)(6),2(4)4.2.1(1)(2),2(1)(6),3(2)(3)第64页，共65页，编辑于2022年，星期六复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)类型和特点解析函数除有限孤立奇点外的解析函数泰勒展开|z-b|R洛朗展开 0|z-bk|Rk四种类型的实变定积分运用单(高)价极点留数求法重要性质价数判别表达式回路积分65第65页，共65页，编辑于2022年，星期六