数学建模非线性规划模型幻灯片.ppt

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1、数学建模非线性规划模型第1页，共35页，编辑于2022年，星期六某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆一般来说随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见表1。为了尽快收回资金并获得较多的赢利，装饰材料公司打算做广告投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。根据经验，广告费与销售增长因子关系见表2。现在的问题是装饰材料公司采取怎样的营销战略预期的利润最大？第2页，共35页，编辑于2022年，星期六表1表2第3页，共35页，编辑于2022年，星期六符号说明及问题的分析设x表示售价（单位：元），y表示预期销售量（单位：桶），z表示广告费（单位：元），k表示

2、销售增长因子。投入广告费后，实际销售量记为s获得的利润记为P（单位：元）。由表1易见预期销售量 y 随着售价x 的加而单调下降，而销售增长因子k在开始时随着广告费z的增加而增加，在广告费z等于50000元时达到最大值，然后在广告费增加时反而有所回落，为此可用Mathematica画出散点图.第4页，共35页，编辑于2022年，星期六图1 图2第5页，共35页，编辑于2022年，星期六从图1和图2易见，售价x与预期销售量y近似于一条直线，广告费 z 与销售增长因子k近似于一条二次曲线。为此可令：y=a+bx k=c+dz+ez2 系数a，b，c，d，e是特定参数。n模型的建立 投入广告费后，实际

3、销售量s等于预期销售量y乘以销售增长因子k，即s=ky。所获得的利润。第6页，共35页，编辑于2022年，星期六我们期望利润P达到最大，即第7页，共35页，编辑于2022年，星期六由于目标函数不是线性函数，因此这一问题的数学模型为有约束条件的非线性规划模型。在日常生活中非线性规划问题要比线性规划问题普遍。n模型求解 首先利用Mathematica计算（1）（2）中的参数a，b，c，d，e，并画出散点图和拟合曲线。第8页，共35页，编辑于2022年，星期六图-3第9页，共35页，编辑于2022年，星期六图-4第10页，共35页，编辑于2022年，星期六即：其次用MATLAB求解优化模型，因MAT

4、LAB中仅能求极小值，为此将优化模型转化为且x=5.9113，z=33113，函数P达到最大值16670。第11页，共35页，编辑于2022年，星期六n第三节多目标规划模型n在工程技术、生产管理以及国防建设等部门中，所遇到的问题往往需要同时考虑多个目标在某种意义下的最优问题n一、引例n例2.9投资问题。假设在一段时间内，有数量为B亿元的资金可用于投资，并有个项目可供选择。如果对第个项目投资的话，需用资金亿元，并可获得收益亿元，试确定最佳投资方案。n解解 所谓最佳投资方案系指：投资最少；收益最大。若令目标函数为求：投资最少：收益最大.第12页，共35页，编辑于2022年，星期六n若令n目标函数为

5、求；n投资最少：n收益最大：n约束函数为：n二、多目标规划模型n多目标规划模型的一般形式为第13页，共35页，编辑于2022年，星期六我们称它为多目标规划问题的数学模型。当时所有目标函数都求最大值，只须注意，求一个函数的最大值可以转化为求这个函数的负函数的最小值，便知这时的数学模型可以转化为第14页，共35页，编辑于2022年，星期六投资的收益和风险这是1998年全国大学生数学建模竞赛的A题，问题如下：市场上有n种资产（股票、债券、）Si（i=1，n）供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时间的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si有平均收

6、益率为ri，并预测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到投资越分散总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若第15页，共35页，编辑于2022年，星期六干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量。购买Si要付交易费，费率为pi，并且当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是r0，且既无交易费又无风险（r0=5%）。（1）已知n=4时的相关数据如下：第16页，共35页，编辑于2022年，星期六试给该公司设计一种投资组合方案即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。（2）试就一般

7、情况对以上问题进行讨论，利用以下数据进行计算。Siri（%）qi（%）pi（%）ui（元）S19.6422.1181S218.5543.2407S349.4606.0428S423.9421.5549S58.11.27.6270S614393.4397第17页，共35页，编辑于2022年，星期六S740.7685.6178S831.233.433.1220S933.653.32.7475S1036.8402.9248S1111.8315.1195S1295.55.7320S1335462.7267S149.45.34.5328S1515237.6131第18页，共35页，编辑于2022年，星期

8、六模型的假设1.在一个时期内所给出的ri，qi，pi保持不变。2.在一个时间内所购买的各种资产（如股票、证券等）不进行买卖交易，即在买入后不再卖出。3.每种投资是否收益是相互独立的。4.在投资过程中，无论盈利与否必须先付交易费。第19页，共35页，编辑于2022年，星期六M（元）：公司现有投资总额 Si（i=0n）：欲购买的第i种资产种类（其中i=0表示存入银行）；xi（i=0n）：公司购买Si金额；ri（i=0n）：公司购买Si的平均收益率；qi（i=0n）：公司购买Si的平均损失率；p（i=0n）：公司购买Si超过ui时所付交易费率。符号的说明第20页，共35页，编辑于2022年，星期六6

9、.4.3问题的分析设购买Si的金额为xi，所付的交易费为ci（xi）;c0(x0)=0 （1）因为投资额M相当大，所以总可以假定对每个Si的投资xi ui，这时（1）式可简化为第21页，共35页，编辑于2022年，星期六 （2）对Si投资的净收益（3）对Si投资的风险（4）对Si投资所需资金（投资金额xi与所需的手续费ci（xi）之和）即（5）第22页，共35页，编辑于2022年，星期六当购买Si的金额为xi（i=0n），投资组合x=（x0，x1，xn）的净收益总额（6）整体风险：（7）资金约束：（8）第23页，共35页，编辑于2022年，星期六多目标规划数学模型n我们的想法是净收益总额R（x

10、）尽可能大，而整体风险Q（x）又尽可能小，则该问题的数学模型可归为多目标规划模型，即（9）第24页，共35页，编辑于2022年，星期六模型（9）属于多目标规划模型为了对其求解，可把多目标规划转化为单目标规划。1.假定投资的平均风险水平，则投资M的风险，若要求整体风险Q（x）限制在风险k以内，即Q（x）k，则模型（9）可转化为（10）第25页，共35页，编辑于2022年，星期六2.假定投资的平均收益率为，则投资M的收益，若要求总的收益R（x）大于等于h，即R（x）h，则模型（9）可转化为 （11）第26页，共35页，编辑于2022年，星期六3.假定投资者对风险收益的相对偏好参数为，则模型（9）可

11、转化为（12）4.将总收益R（x）与整体风险Q（x）相比，则模型（9）可化为：（13）第27页，共35页，编辑于2022年，星期六第28页，共35页，编辑于2022年，星期六n模型求解由于模型（10）中的约束条件Q（x）k，即所以此约束条件可转化为：这时模型（10）转化为如下的线性规划（14）第29页，共35页，编辑于2022年，星期六给定k，可方便地求解模型（14）。具体计算时，为了方便起见，可令M=1，于是（1+pi）可视作投资Si的比例。下面针对n=4，M=1的情形按原问题给定的数据，模型（14）可变为：（15）第30页，共35页，编辑于2022年，星期六Mathematica求解利用M

12、athematica解模型（15）当k=0.05时，计算得x0=0,x1=0.99,x2=0,x3=0,x4=0。当k=0.01时，计算得x0=0,x1=0.4,x2=0.584,x3=0,x4=0。第31页，共35页，编辑于2022年，星期六n求模型（11）（13）的最优解困难在于Q（x）是非光滑函数，难于直接用通常的优化算法和现成的软件求解。为此，我们要想办法把它们转化为可求解的形式。下面以模型（12）为例（模型（11）,（13）类似）。因为所以可令第32页，共35页，编辑于2022年，星期六n即记，则模型（5-12）可转化为如下的线性规划问题（16）第33页，共35页，编辑于2022年，

13、星期六n下针对n=4，M=1的情形，按原问题给定的数据，模型（16）可变为：（17）第34页，共35页，编辑于2022年，星期六x0 x1x2x3x4R(x)Q(x)0.700.990000.2673 0.0250.800.369 0.615 000.2165 0.0090.900.237 0.400 0.1080.2280.2022 0.006用Mathematica求解模型（17）注意：若目标函数的表达式f太长，需要换行时，换行处末尾应有运算符号，以便计算机自动去读下一行按模型（17）得到的一组结果如下（n=4，M=1）：Mathematica求解第35页，共35页，编辑于2022年，星期六