线性代数经管类.pptx

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1、目目 录录第一章第一章 行列式行列式第二章第二章 矩矩 阵阵第三章第三章 向量空间向量空间第四章第四章 线性方程组线性方程组第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量第六章第六章 实二次型实二次型第1页/共58页第一章第一章 行列式行列式行列式是为了求解线性方程组而引入的，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式是一个很重要的工具。本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。第2页/共58页1.1 行列式的定义一、二阶行列式我们用记号表示代数和a11a22a12a21称为二阶行列式。其中元素aij的第一个下标i 为行下标，第二个下标j 为列下标。即aij位于行列式的第i 行第j 列

2、。主对角线次对角线二阶行列式的计算 对角线法则（口诀：叉叉相乘来相减）第3页/共58页例如说明说明（1）二阶行列式共有 2 项，即 项（2）每项都是位于不同行不同列的两个元素的乘积（3）正负项各占一半.（4）行列式的本质是数.第4页/共58页二、三阶行列式同理，称为一个三阶行列式。可用下面的对角线法则对角线法则计算。第5页/共58页说明说明（1）三阶行列式共有 6 项，即 项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积（3）正负项各占一半.第6页/共58页例例例例1 1 1 1 解解解解按对角线法则，有第7页/共58页解解 a210当且仅当|a|1因此可得：例例 2当a取何值时，所以，当|a

3、|1时，第8页/共58页练习题练习题2.计算1.计算第9页/共58页三、n阶行列式的定义三阶行列式三阶行列式说明说明（1）三阶行列式共有 6 项，即 项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积（3）正负项各占一半.第10页/共58页定义定义n2称为n阶行列式.个数aij(ij12n)组成的记号由说明说明（1）n阶行列式共有n!项（2）每项都是位于不同行不同列的n个元素的 乘积（3）正负项各占一半.（4）一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆.（5）行列式的本质是数.第11页/共58页四、几个特殊的行列式第12页/共58页第13页/共58页例例1 1计算下列行列式的值解：解：第14页/共58页

4、1.2行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作叫做元素 的代数余子式第15页/共58页例1 1 行列式的元素的代数余子式为 A-2 B2 C-1 D1（A）解：第16页/共58页二、行列式展开定理结论：三阶行列式的值等于任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和.第17页/共58页例1计算行列式解一：对角线法则；解二：展开法则.总结：1.利用展开法则计算行列式时，应选择还有零元素最多的行（列）展开.第18页/共58页2.如果行列式的某一行（列）只有一个非零元，则行列式等于该非零元与其代数余子

5、式的乘积.例例2计算行列式例例3计算行列式第19页/共58页例例4计算行列式第20页/共58页例例4计算行列式解解:按照第一列展开第21页/共58页第22页/共58页练习题1.1.求出中元素a23、a33的代数余子式，并求出D的值.2.计算下列行列式的值第23页/共58页1.3行列式的性质与计算一、行列式的性质n阶行列式共有n!项因此定义计算n阶行列式是较为困难的只有少数行列式用定义计算比较方便我们已经知道三角行列式的值就是主对角线上各元素的乘积因此我们想到能否把一般的行列式化成三角行列式来计算这就需要研究行列式的性质第24页/共58页例转置行列式将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转

6、置 行列式记为DT或D即如果则第25页/共58页性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等.即D=DT.例说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.所以只需研究行列式有关行的性质，其所 有结论对列也是自然成立的.第26页/共58页性质性质2 2 用数k乘行列式D的某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于k D.这也就是说，行列式可以按行（列）提出公因数.注意注意必须按行或按列逐次提出公因数证明：第27页/共58页例例1计算行列式例例3计算反对称行列式例例2计算行列式结论：奇数阶反对称行列式的值为零第28页/共58页第29页/共58页例如推论 如果行列式

7、有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有 例如第30页/共58页性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零证明第31页/共58页因为第一行与第二行对应元素成比例根据性质4得：解解 例4 4 计算行列式第32页/共58页例5 5 解方程解解 当时，第一行与第二行完全相同，行列式的值为零，解得：当时，第三行与第四行完全相同，行列式的值为零，解得：第33页/共58页性质5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和.则D 等于下列两个行列式之和：例如注意注意应当逐行、逐列拆开第34页/共58页例6 6 计算行列式例7 7 已知，求的值.第35页/共58页性质把行列式的某一

8、行（列）的所有元素乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式不变例如例如第36页/共58页或例7 7 证明：的充要条件是例8 8 计算行列式第37页/共58页第38页/共58页二、行列式的计算1、对角线法则（只适合于二阶、三阶行列式）a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31注意：对角线法则对四阶及四阶以上的行列式不再适用.第39页/共58页2、化三角形法注意：（1）在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（1）；（2）在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k；（3）避免分数运算.第40页/共58

9、页例9 9 计算行列式例10 10 计算行列式第41页/共58页例11 11 计算行列式3、降阶法思想：把某一行（列）化成只有一个非零元，然后按该行（列）展开.第42页/共58页例12 12 计算行列式第43页/共58页例13 13 计算行列式特征：每一行、每一列元素之和为6.做法：先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因数，再将后三行都减去第一行.第44页/共58页例14 14 计算行列式第45页/共58页练习题P23.2,4(1),6(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、第46页/共58页1.4克拉默法则用消元法解二元线性方程组第47页/共58页方程组的解为第48页/

10、共58页前者称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组后者称为齐次线性方程组齐次线性方程组行列式称为线性方程组的系数行列式系数行列式一、线性方程组的概念第49页/共58页二、克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即第50页/共58页其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为第51页/共58页例1 1 求解方程组解：由于方程组的系数行列式,由克拉默法则，得方程组的唯一解：第52页/共58页齐次线性方程组的相关定理定理1.4.31.4.3如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行的系数行 列式列式 则它

11、只有零解：则它只有零解：注：n个方程n个未知量的齐次线性方程组只有零解当且仅当它的系数行列式不等于零；它有非零解当且仅当它的系数行列式等于零。这是一个非常重要的结论。第53页/共58页例2 2 判断下列线性方程组是否只有零解.解：因为方程组的系数行列式所以方程组只有零解.第54页/共58页例3 3 当k为何值时，下列齐次线性方程组只有零解？解：因为方程组的系数行列式所以当 时，此齐次线性方程组只有零解.1k第55页/共58页用克拉默法则求解线性方程组有两个前提条件：1.方程个数与未知量个数相等；2.方程组的系数行列式不等于零.缺点:计算量大.在实际解线性方程组时一般不用 克拉默法则.第56页/共58页 问 取何值时，齐次方程组有非零解？练习题第57页/共58页感谢您的观看！第58页/共58页