数学直线与圆锥曲线的交点北师大选修.pptx

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1、1.过点(0,1)的直线与椭圆 的位置关系为()A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定2.已知双曲线方程x2-y2=1，过P(，1)点的直线l与双曲线 只有一个公共点，则l的条数为()A.4 B.3 C.2 D.13.直线过点（直线过点（2,4）与抛物线）与抛物线y2=8x只有一个公共点，只有一个公共点，这样的直线共有（这样的直线共有（）A.1条条 B.2条条 C.3条条D.4条条 xy0ACxy0B第1页/共41页直线与圆锥曲线的位置关系:1)相离 2)相切 3)相交直线与圆锥曲线的位置关系:几几何何角角度度1）相离2）相切3）相交第2页/共41页(1)当 时，若一次方程有解，则只有一解，

2、即直线与圆锥曲线只有一个交点 由(2)当 时，方程有两不等 实根 相交(于两点)方程有两相等实根 相切(于一点)方程没有实根 相离(无公共点)此时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与渐近线平行若圆锥曲线为抛物线，则直线与对称轴平行或重合 设直线 ：，圆锥曲线 ：代代数数角角度度第3页/共41页2.圆锥曲线的弦长问题设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长第4页/共41页例例1.直线直线y=kx-k+1与椭圆与椭圆 有有_个公共点个公共点A、0个个 B、一个、一个 C、二个、二个 D、不确定、不确定Xyo.解题回顾解题回顾:过封闭曲线内的点的直线必与此曲线相交C

3、直线与圆锥曲线的交点问题第5页/共41页代数法：由直线与椭圆联立方程组可得 消去y得 所以直线与椭圆有两个交点.第6页/共41页 判断直线与圆锥曲线的公共点个数问题有两种方法：代数法，即将直线与圆锥曲线联立得到一个关于x(或y)的方程，方程根的个数即为交点个数，此时注意对二次项系数的讨论；几何法，即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数注意分类讨论和数形结合的思想方法.第7页/共41页变式迁移变式迁移 1:不论不论k为何值为何值,如果直线如果直线 y=kx+by=kx+b 与椭圆与椭圆 总有公共点总有公共点,求求b的取值范的取值范围？围？分析：只要使得点(0,b)在椭圆上或内，就可以

4、使得直线与椭圆总有公共点，所以得到不等式第8页/共41页例2、在椭圆x24y216中，求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在直线的方程和弦长解法一：当直线斜率不存在时，M不可能为弦中点，所以可设直线方程为yk(x2)1，代入椭圆方程，消去y整理得：(14k2)x2(16k28k)x16k216k120，显然14k20，16(12k24k3)0，中点弦问题中点弦问题第9页/共41页第10页/共41页第11页/共41页 解法一是解这类问题的通法，但计算比较繁琐，解法二计算比较简单，但不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此应用第二种方法解题时，必须判定满足条件的直线是否存在，即把求出的直线方程与已

5、知椭圆方程联立，判断方程组是否有解，即判断由它们联立的方程组所得的一元二次方程的判别式情况.第12页/共41页变式迁移变式迁移 2:已知抛物线 ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，求该抛物线的准线方程。第13页/共41页 例例3 3、已知椭圆方程为已知椭圆方程为 ，直，直线线 与椭圆的交于与椭圆的交于A A、B B两点，求两点，求 （O O为坐标原点）面积的最大为坐标原点）面积的最大值。值。AxByoC直线与圆锥曲线的相交弦问题直线与圆锥曲线的相交弦问题第14页/共41页AxByoC注意：注意：什么时候等号什么时候等号成立？检验成立？检验m的值的值第1

6、5页/共41页已知圆O：x2+y2=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b(b0)与圆O相切并与椭圆 交于不同的两点A，B.()设b=f(k)，求f(k)的表达式；()若，求直线l的方程；()若求三角形OAB面积的取值范围.变式迁移3:3:第16页/共41页()由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径可求得.()联立直线与椭圆方程，由根与系数关系可求得.()利用弦长公式及求最值的方法可得.()因为y=kx+b(b0)与圆x2+y2=1相切，则即b2=k2+1(k0)，所以第17页/共41页 y=kx+b ，消去y得：(2k2+1)x2+4kbx+2b2-2=0,所以=8k20(因为k0

7、)，设A(x1,y1),B(x2,y2),则所以k2=1，k=1，则b2=2，又b0，所以b=，所以直线l的方程为y=x+或y=-x+.()由由第18页/共41页()由()知：因为 所以所以k21，由弦长公式得：设O到直线AB的距离为d，则d=1，第19页/共41页所以解得：本题考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与向量，不等式等知识的综合交汇，考查转化与化归思想.第20页/共41页1.直线与圆锥曲线的位置关系可通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况来讨论.(1)若方程组消元后得到一个一元二次方程，根据来讨论；第21页/共41页(2)若方程组消元后得到一个一元一次方

8、程，则相交于一个公共点，需要注意的是，直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行(或重合)与其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切，而是相交；第22页/共41页(3)直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形结合，以形助数的方法解决；(4)直线与圆锥曲线相交问题，解题时，注意应用韦达定理及“设而不求”的技巧.2.圆锥曲线中的最值及范围问题求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似，常见的解法有两种：代数法和几何法.第23页/共41页3.遇到中点弦问题常用“根与系数关系”或“点差法”求解.若知道中点，则利用“点差法”的方法可得

9、出过中点弦的直线的斜率.比较两种方法，用“点差法”的方法的计算量较少，此法解决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式加以检验.第24页/共41页2.已知椭圆C：(ab0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 .()求a,b的值；()C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立?若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由.第25页/共41页 ()设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为x-y-c=0，O到l的距离为故 解得c=1.由得第26页/共41页（）C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立.由（）知C的

10、方程为2x2+3y2=6.设A（x1,y1）,B（x2,y2）.（）当l不垂直于x轴时，设l的方程为 y=k（x-1）.C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为（x1+x2,y1+y2），且 2（x1+x2）2+3（y1+y2）2=6,整理得第27页/共41页又A、B在C上，即故2x1x2+3y1y2+3=0.将y=k（x-1）代入2x2+3y2=6，并化简得（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0,于是y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=代入，解得k2=2,此时x1+x2=.第28页/共41页于是y1+y2=k（x1+x2-2）=-,即因此，当k=-时，l的方程为当k=时，l的方程为

11、 第29页/共41页()当l垂直于x轴时，由 =(2,0)知，C上不存在点P使成立.综上，C上存在点使成立，此时l的方程为本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理.第30页/共41页3直线ykx2与抛物线y28x交于A、B不同两点，且AB的中点横坐标为2，则k的值是_答案：2第31页/共41页圆锥曲线的最值与取值范围问题圆锥曲线的最值与取值范围问题第32页/共41页第33页/共41页第34页/共41页第35页/共41页圆锥曲线中求最值与范围问题是高考题中的

12、常考问题，解决此类问题，一般有两个思路：(1)构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解(如本题第(1)问)；(2)构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解(如本题第(2)问)在解题的过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.第36页/共41页已知点A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，F点是椭圆的右焦点，点P在椭圆上且位于x轴的上方，PAPF.()求点P的坐标.()设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.第37页/共41页()由已知可得点A(-6,0),F(4，0),设点P(x,y)，y0，则=(x+6,y)，(x+6)(x-4)+y2=0，可得2x2+9x-18=0，解得x=,或x=-6，由于y0，只能x=,于是y=，所以点P的坐标是(,).=(x-4,y)，由已知可得：，由已知可得：第38页/共41页()易得直线AP的方程是x-y+6=0，设点M(m,0)，则M到直线AP的距离是 ，于是=|m-6|，又-6m6，解得m=2，所以椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-由于-6x6，所以当x=时，d取得最小值 .第39页/共41页第40页/共41页感谢您的观看！第41页/共41页