自动控制原理—非线性控制系统.pptx

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1、第一节 非线性系统概述1.何谓线性系统？静态特性：输入和输出成比例动态特性：可应用叠加原理y=f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)y=f(kx)=kf(x)2.何谓非线性系统？静态特性：输入和输出不成比例动态特性：不可应用叠加原理xyxy第1页/共63页3.线性系统与非线性系统的关系实际系统总含非线性环节，所以是非线性系统。但在小信号范围内可线性化为线性系统来分析。4.非线性系统的特征(1)输出响应与输入信号大小和系统初态有关第2页/共63页4.非线性系统的特征(2)系统稳定性与输入信号大小和系统初态有关(3)会产生自激振荡第3页/共63页4.非线性系统的特征(4)可能产生跳跃谐振(5)会

2、产生波形畸变振幅非线性系统频率第4页/共63页5.典型非线性元件及对系统性能的影响(1)饱和特性 Kx|x|a y=Ka xa -Ka xa sign x=1 x0 -1 x1,Ak=Bk=0 于是有用正弦量的矢量表示法有 X1(A,)=A X2(A,)=C1e j1第13页/共63页1.非线性系统的描述函数定义 描述函数定义式：由于假设非线性系统是非储能元件,所以可只考虑A,不顾,于是 N(A,)=N(A)描述函数定义陈述：非线性系统的描述函数为输出基波分量与输入信号之比第14页/共63页2.典型非线性元件的描述函数(1)饱和特性的描述函数法 x1x2x2x1-aaK-tt第15页/共63页

3、2.典型非线性元件的描述函数(1)饱和特性的描述函数法 当Aa,KA sin t 0 t x2(t)=Ka t-KA sin t -t A sin =a =sin-1(a/A)第16页/共63页2.典型非线性元件的描述函数(1)饱和特性的描述函数法 第17页/共63页2.典型非线性元件的描述函数(1)饱和特性的描述函数 KN(A)=AaAaAaAa第19页/共63页3.用描述函数法研究非线性控制系统 (1)非线性控制系统 (2)闭环频率特性(3)闭环特征方程N(A)G0(s)RY第20页/共63页3.用描述函数法研究非线性控制系统 (4)稳定性分析 当G(j)=-1/N(A)时,产生临界振荡.

4、线性系统的临界点为(-1,j0),而在非线性系统中有一条临界曲线为-1/N(A).)稳定系统相角裕量 幅值裕量 20lg(oN/oG)-1N(A)A0G0(j)oNGImRe第21页/共63页3.用描述函数法研究非线性控制系统 (4)稳定性分析 )不稳定系统 -1N(A)G0(j)oImRe)自激振荡 -1N(A)G0(j)oImRe(A0,0)注：并非所有的交点都产生自振荡第22页/共63页3.用描述函数法研究非线性控制系统 (4)稳定性分析)稳定自振荡的确定 -1N(A)G0(j)oImReImA132654取点1，2，3，4，5，6，分析：13 不稳A 6 4 12 稳 A 7 46 不

5、稳A 4 45 稳 A 4结论：4点为稳定的自振荡点 1点为不稳定的自振荡点推论：由右向左穿越G0(j)线的点是稳定的自振荡点7第23页/共63页3.用描述函数法研究非线性控制系统 例 9.1 设非线性元件具有滞环继电特性(a/x2m=0.5),试分析系统稳定性,并判断是否存在稳定的自振荡.R(s)Y(s)-a-ax2m320s(s+4)(s+8)第24页/共63页3.用描述函数法研究非线性控制系统 解:查非线性元件描述函数表知具有滞环继电特性(a/x2m=0.5)的描述函数为第25页/共63页3.用描述函数法研究非线性控制系统 解:(续)可见-1/N(A)轨迹为一条与实轴平行的直线而G0(j

6、)为第26页/共63页3.用描述函数法研究非线性控制系统 解:(续)G0(j)与-1/N(A)相交于P点,经分析P点为稳定的自振点.令G0(j)与-1/N(A)的实部相等,可解得谐振角频率p=4.2 rad/s.令G0(j)与-1/N(A)的实部相等,可解得谐振点输入信号幅值Ap=3.7a或1.85x2m第27页/共63页3.用描述函数法研究非线性控制系统 -1N(A)G0(j)oImRe-1.0354P第28页/共63页第三节 相平面法本节内容1。基本概念2。相平面图的绘制3。由相平面图求系统的过渡过程4。奇点和极限环第29页/共63页1.基本概念 非线性系统的相平面分析法是状态空间分析法在

7、二维空间下的应用，它是一种用图解法求解二阶非线性控制系统的精确方法。它不仅能给出系统的稳定性和动态性能信息，还能给出系统运行轨迹的清晰图象。二阶系统的微分方程表达a1，a0为常数时表达线性定常系统。a1，a0不为常数时表达非线性系统。第30页/共63页1.基本概念二阶系统的状态方程表达 令x1=x，x2=x1,有.相平面(状态平面,x-x平面).相平面图(相轨迹构成的图)相平面法:相平面图的绘制和分析 特点:只限于二阶线性或非线性系统 可用于严重非线性场合(描述函数不够用)可用于非周期信号输入x1x2第31页/共63页2.相平面图的绘制.常用三种方法:解析法,等倾线法,法.1)解析法 当系统微

8、分方程较简单时,可推导出相轨迹方程,据相轨迹方程可绘制相平面图.例如:经积分推导可得相轨迹方程 为一圆方程,据此可绘制相轨迹.yn.y第32页/共63页2.相平面图的绘制2)等倾线法 不用求解微分方程，适用于非线性特性可用数学式表达的系统.设第33页/共63页2.相平面图的绘制 对于除平衡点的任一点 ，和 为确定值。在平衡点，=0 为不定值。速度和加速度均为零，无穷多组斜率的曲线可通过该点。所以可设表示相轨迹的斜率。表示斜率相等。被称为等倾线方程第34页/共63页2.相平面图的绘制 等倾线方程是一个代数方程，易解。根据等倾线方程可的等倾线分布图，根据这个图可以绘出从初始状态|t=0 出发的相轨

9、迹曲线。例9。2 试用等倾线法绘制二阶线性系统的相平面图。解：第35页/共63页2.相平面图的绘制 根据等倾线方程令为若干具体数值，可得等倾线簇。当初始点A已定，则根据两等倾线间的平均斜率值可确定AB线段，进而可确定BC，CD，。=-1=-1.4=-2.5=2=-(1.4+1)/2=-1.2=-0.4=-1xx.ABC第36页/共63页2.相平面图的绘制例9。3 试用等倾线法绘制二阶非线性系统的相平面图。解：xx.第37页/共63页2.相平面图的绘制3)法 当等倾线为直线时绘制相轨迹比较方便。当等倾线为直曲线时绘制相轨迹不方便。这时用法更好。在法中，相轨迹是圆心沿x轴滑动的一系列圆弧的连续线。

10、设 ，要求单值并连续。变形为令 选使值在选定小x，x范围内，不大不小，可看作常量。当在P1(x1,x1)点附近,.第38页/共63页2.相平面图的绘制C为积分常数,可求得第39页/共63页2.相平面图的绘制这是一个圆方程,圆心在(1,0),半径为进而可推得第40页/共63页2.相平面图的绘制以x为横轴,以x/为纵轴,P1点附近的相轨迹可用小段圆弧表示.为得到1可用逐次逼近法.xx/.P1(1,0)例9.4 已知求起始于A1(1,0)点的相轨迹.第41页/共63页2.相平面图的绘制解:取=1,按 有设 步距为0.2.先取1=0,以圆心(0,0),半径1,过A1点画圆弧,交 =-0.2于A2.A2

11、的坐标为(-0.2,(1-0.22).取A2和A1的坐标平均值(xm,xm)代入求1.第42页/共63页2.相平面图的绘制以圆心(0.12,0),半径1-0.12,过A1点再画圆弧,交 =-0.2于A2.以同样方法可得A3,A4,10.120A1A2A2A3A4xX.第43页/共63页3.由相平面图求系统的过渡过程 常用三种方法：增量法、积分法、圆弧法1）增量法第44页/共63页3.由相平面图求系统的过渡过程xtxxx01x12x23x34x01t01t12t23t34第45页/共63页3.由相平面图求系统的过渡过程2）积分法xtxt01t12t23t341/xx0第46页/共63页3.由相平

12、面图求系统的过渡过程3）圆弧法xtxt01t12t23t34xx001P102第47页/共63页4.奇点和极限环 1）奇点的定义 速度x和加速度x都为零的点。奇点是系统的平衡点。在奇点处相轨迹的斜率为不定值。可以有无穷多条相轨迹趋近或离开奇点。2）奇点的类型 见表9-1，有稳定焦点、稳定节点、中心点、不稳定焦点、不稳定节点、鞍点。.第48页/共63页4.奇点和极限环表9-1（1）奇点类型闭环根分布相平面图动态响应稳定焦点稳定节点 第49页/共63页4.奇点和极限环表9-1（2）奇点类型闭环根分布相平面图动态响应中心点不稳定焦点 第50页/共63页4.奇点和极限环表9-1（3）奇点类型闭环根分布

13、相平面图动态响应不稳定节点鞍点 第51页/共63页4.奇点和极限环 3）奇点坐标的确定 设在奇点有 由上两方程确定的两条曲线的交点即为奇点。系统在奇点附近的运动状态可由泰勒级数展开分析得到。设有奇点（x10，x20），则第52页/共63页4.奇点和极限环略去高次项，并令第53页/共63页4.奇点和极限环则有为简便分析，设x10=x20=0（若初值不为零，可通过坐标变换达到零初值），则有状态方程第54页/共63页4.奇点和极限环于是可知系统在奇点附近的运动特性取决于上方程的特征根。例9-6 已知求系统相平面图第55页/共63页4.奇点和极限环解：解：在系统平衡时在点（0，0）附近，有线性化方程：

14、第56页/共63页4.奇点和极限环所以可知点（0，0）为稳定焦点。第57页/共63页4.奇点和极限环在系统平衡时对于点（-2，0），先要做坐标变换：第58页/共63页4.奇点和极限环所以可知点（-2，0）为鞍点。第59页/共63页4.奇点和极限环用等倾线法可绘制出相轨迹图。xx.第60页/共63页4.奇点和极限环 4）极限环 当相轨迹形成一个封闭的曲线时，被称为极限环，极圈。极限环把相平面分为内部平面和外部平面两部分。相轨迹不能从内部直接穿出，也不能从外部直接穿入。极限环有稳定的、不稳定的和半稳定的三种。稳定的极限环xxxt.第61页/共63页4.奇点和极限环不稳定的极限环xxxt.半稳定的极限环xxxx.第62页/共63页感谢您的观看！第63页/共63页