第三 全微分精选文档.ppt

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1、第三 全微分本讲稿第一页，共二十八页一元函数一元函数 y=f(x)的微分概念：的微分概念：若函数的增量：若函数的增量：能表示为：能表示为：则称函数则称函数 y=f(x)在点在点 x 处是可微的，并称处是可微的，并称 为函数的微分为函数的微分当当例如：例如：存在时，存在时，本讲稿第二页，共二十八页考虑边长分别为考虑边长分别为 x 和和 y 的矩形的面积：的矩形的面积：当两边长分别取得增量当两边长分别取得增量 和和 时的改变量时的改变量 第一部分第一部分是是 的线性函数的线性函数 第二部分第二部分本讲稿第三页，共二十八页 第一部分第一部分是是 的线性函数的线性函数 第二部分第二部分本讲稿第四页，共

2、二十八页定义定义：如果函数如果函数 z=f(x,y)的全增量的全增量可以表示为可以表示为其中其中 A、B 与与 x,y 无关无关(仅与仅与 x,y 有关有关)则称则称 z=f(x,y)在点在点(x,y)处可微，处可微，并称并称 A x+B y 为为 z=f(x,y)在点在点(x,y)处的全微分，记作处的全微分，记作 d z 或或 本讲稿第五页，共二十八页证明：证明：本讲稿第六页，共二十八页定义定义：如果函数如果函数 z=f(x,y)的全增量的全增量可以表示为可以表示为则称则称 z=f(x,y)在点在点(x,y)处可微，记作处可微，记作问题问题1：函数函数 z=f(x,y)在什么条件下可微？在什

3、么条件下可微？问题问题2：在可微的条件下，在可微的条件下，A=？，？，B=？本讲稿第七页，共二十八页如果如果 z=f(x,y)在点在点(x,y)可微，可微，必存在，必存在，证明：证明：因为因为 z=f(x,y)在点在点(x,y)可微，故可微，故且且 z=f(x,y)在点在点(x,y)处的微分可表示为处的微分可表示为定理定理1（必要条件）（必要条件）则函数在该点则函数在该点(x,y)处的两个一阶偏导数处的两个一阶偏导数本讲稿第八页，共二十八页（1）令）令 ，得，得（2）令）令 ，同理得：，同理得：本讲稿第九页，共二十八页所以，当函数可微时，全微分可写成所以，当函数可微时，全微分可写成 若分别取若

4、分别取 z=x 和和 z=y，则，则记记分别称为分别称为 z=f(x,y)在点在点(x,y)处对处对 x 和和 y 的偏微分。的偏微分。本讲稿第十页，共二十八页叠加原理：叠加原理：二元函数的全微分等于它的两个偏二元函数的全微分等于它的两个偏 微分之和。微分之和。叠加原理也适用于二元以上的多元函数的情形。叠加原理也适用于二元以上的多元函数的情形。如设如设 u=f(x,y,z)则有则有（1）对于一元函数，可微）对于一元函数，可微 可导；可导；几点说明：几点说明：（2）对于多元函数，可微一定连续，）对于多元函数，可微一定连续，（3）对于多元函数，若可微，则偏导数一定存在，）对于多元函数，若可微，则偏

5、导数一定存在，问题问题3：对于多元函数，偏导数存在，函数是否一对于多元函数，偏导数存在，函数是否一 定可微？定可微？本讲稿第十一页，共二十八页例例1但但 f(x,y)在点在点(0,0)处不可微。处不可微。证明：证明：本讲稿第十二页，共二十八页证明：证明：用反证法证明函数在点用反证法证明函数在点(0,0)处不可微。处不可微。如果如果 f(x,y)在点在点(0,0)处可微，则必有处可微，则必有由定理由定理1即有即有例例1但但 f(x,y)在点在点(0,0)处不可微。处不可微。本讲稿第十三页，共二十八页因此必有因此必有但当但当即有即有与与k有关有关 矛盾！矛盾！所以函数在点所以函数在点(0,0)处不

6、可微。处不可微。本讲稿第十四页，共二十八页上述例子有两个重要性上述例子有两个重要性（1）它具体说明了即使函数在某点处的各个偏）它具体说明了即使函数在某点处的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点可微。导数存在，也不能保证函数在该点可微。（2）它给出了证明函数在某点不可微的一般方法。）它给出了证明函数在某点不可微的一般方法。定理定理2（可微的充分条件）（可微的充分条件）:如果如果 z=f(x,y)的偏导数的偏导数 在点在点(x,y)的某邻域内连续，的某邻域内连续，则则 z=f(x,y)在点在点(x,y)处可微。处可微。问题问题1：函数函数 z=f(x,y)在什么条件下可微？在什么条件下可微？本讲稿

7、第十五页，共二十八页（依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）证证本讲稿第十六页，共二十八页同理同理本讲稿第十七页，共二十八页多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在本讲稿第十八页，共二十八页例例2：计算计算解：解：在点在点(2,1)处的全微分。处的全微分。全微分的计算全微分的计算当函数可微时，全微分可表示为当函数可微时，全微分可表示为 所以全微分的计算实际上就是偏导数的计算问题。所以全微分的计算实际上就是偏导数的计算问题。本讲稿第十九页，共二十八页例例3：计算函数计算函数 的全微分的全微分解：解：本讲稿

8、第二十页，共二十八页解解本讲稿第二十一页，共二十八页解答解答思考题：若思考题：若 f(x,y)在点在点(0,0)的某邻域内有定义的某邻域内有定义 若若 f(x,y)在点在点(0,0)处可微，则必有处可微，则必有若若 f(x,y)在点在点(0,0)处不可微，则表达式处不可微，则表达式可以存在，可以存在，但它不代表函数在但它不代表函数在(0,0)处的微分。处的微分。本讲稿第二十二页，共二十八页四、全微分在近似计算中的应用四、全微分在近似计算中的应用也可写成也可写成本讲稿第二十三页，共二十八页解解由公式得由公式得本讲稿第二十四页，共二十八页例例7 有一圆柱体，受压后发生形变，它的半径由有一圆柱体，受

9、压后发生形变，它的半径由20cm增大到增大到20.05cm,高度由高度由100cm减少到减少到99cm求此圆柱体体求此圆柱体体积变化的近似值。积变化的近似值。代入代入，得，得即此圆柱体在受压后体积约减少了即此圆柱体在受压后体积约减少了200本讲稿第二十五页，共二十八页第八章作业第八章作业第三节：第三节：全微分全微分习题习题9 3:1(1,3),2,3,4 本讲稿第二十六页，共二十八页定义定义：如果函数如果函数 z=f(x,y)的全增量的全增量可以表示为可以表示为其中其中 A、B 与与 x,y 无关无关(仅与仅与 x,y 有关有关)则称则称 z=f(x,y)在点在点(x,y)处可微，处可微，并称并称 A x+B y 为为 z=f(x,y)在点在点(x,y)处的全微分，记作处的全微分，记作 d z 或或 内容回顾内容回顾本讲稿第二十七页，共二十八页定理定理1（必要条件）：（必要条件）：如果如果 z=f(x,y)在点在点(x,y)处可微，则函数在该点处可微，则函数在该点(x,y)处的两个一阶偏导数处的两个一阶偏导数必存在，且必存在，且 z=f(x,y)在点在点(x,y)处的微分为处的微分为问题问题1：函数函数 z=f(x,y)在什么条件下可微？在什么条件下可微？问题问题2：在可微的条件下，在可微的条件下，A=？，？，B=？本讲稿第二十八页，共二十八页