刚体力学 PPT讲稿.ppt

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1、刚体力学 1第1页，共62页，编辑于2022年，星期五一、刚体模型一、刚体模型1.刚体刚体(Rigid Body):（一）（一）刚体运动概述刚体运动概述 以刚体为研究对象，除了研究它的平动外，还研究它的以刚体为研究对象，除了研究它的平动外，还研究它的转动以及平动与转动的复合运动等。转动以及平动与转动的复合运动等。第八章第八章 刚体力学刚体力学在任何外力作用下在任何外力作用下,形状大小均不发生改变的物体形状大小均不发生改变的物体.特殊的质点系特殊的质点系说明说明:（1 1）刚体是一种理想模型。）刚体是一种理想模型。（2 2）在研究的问题中，实际物体是否为刚体，应视具体情）在研究的问题中，实际物体

2、是否为刚体，应视具体情 况而定，特别应根据研究目标及所讨论的对象而定况而定，特别应根据研究目标及所讨论的对象而定.（3 3）刚体与超距作用是互相联系的一对模型。）刚体与超距作用是互相联系的一对模型。(Y弹性模量弹性模量;体密度体密度)2第2页，共62页，编辑于2022年，星期五2.自由度：用以确定一个力学体系的几何位形所需的独立坐自由度：用以确定一个力学体系的几何位形所需的独立坐 标的个数。标的个数。i.一个自由质点：需三个独立变量确定位置，如一个自由质点：需三个独立变量确定位置，如（x，y，z）或）或（r，f f），故自由度为；），故自由度为；N个自由质点组，个自由质点组，自由度为自由度为3

3、N；ii.两个距离不变的质点：仅需五个独立变量确定位置（如两个距离不变的质点：仅需五个独立变量确定位置（如图），图），故自由度为；故自由度为；iii.彼此相对距离不变，且不共线的三个质点：仅需个独立彼此相对距离不变，且不共线的三个质点：仅需个独立变量确定位置（如图），变量确定位置（如图），故自由度为；故自由度为；B CA 图图球面 B A 图图第八章第八章 刚体力学刚体力学3第3页，共62页，编辑于2022年，星期五3.刚体自由度：刚体自由度：刚体位置可由刚体上任意个不共线的点的刚体位置可由刚体上任意个不共线的点的位置来确定位置来确定自由刚体的自由度数自由刚体的自由度数 n=6非自由刚体的自由

4、度数小于非自由刚体的自由度数小于6注：注：物体系运动自由度物体系运动自由度m，决定了其独立的微分方程组的数目，决定了其独立的微分方程组的数目有有m个个,其中每个方程均为二阶微分方程其中每个方程均为二阶微分方程.若运动被限制或被约若运动被限制或被约束束,其自由度将减少其自由度将减少.多一个约束条件多一个约束条件,就减少一个自由度就减少一个自由度.4.质心：刚体是由连续分布的质点所组成的质点组，故其质心：刚体是由连续分布的质点所组成的质点组，故其 质心为质心为ABC第八章第八章 刚体力学刚体力学4第4页，共62页，编辑于2022年，星期五二、刚体运动的几种形式二、刚体运动的几种形式1.刚体平动（刚

5、体平动（n=3）连接刚体中任意两点的线段在运动中始终保持平行。刚连接刚体中任意两点的线段在运动中始终保持平行。刚体上所有点的运动轨迹都相同体上所有点的运动轨迹都相同,可当作质点来处理可当作质点来处理.刚刚体体上上各各点点都都绕绕一一固固定定转转轴轴作作不不同同半半径径的的圆圆周周运运动动,且且在在相相同同时时间间内内转转过过相相同同的角度的角度.2.刚体定轴转动（刚体定轴转动（n=1）特点：特点：v 各点角位移，角速度和角加速度均相同各点角位移，角速度和角加速度均相同v 质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动第八章第八章 刚体力学刚体力学5第5页，共6

6、2页，编辑于2022年，星期五5.刚体的一般运动（刚体的一般运动（n=6）刚体的一般运动可视为随刚体上刚体的一般运动可视为随刚体上某一基点某一基点A的平动和绕该点的定点的平动和绕该点的定点转动的合成转动的合成.将刚体的运动看作质心的平动将刚体的运动看作质心的平动与相对于通过质心并垂直运动平与相对于通过质心并垂直运动平面的轴的转动的叠加。面的轴的转动的叠加。3.平面平行运动（平面平行运动（n=3）刚体运动时刚体运动时,各点始终和某一平面保持一定的距离各点始终和某一平面保持一定的距离,或者说或者说刚体中各点都平行于某一平面而运动刚体中各点都平行于某一平面而运动4.刚体定点转动（刚体定点转动（n=3

7、）刚体运动时，始终绕一固定点转动刚体运动时，始终绕一固定点转动.OO O O O O平面平行运动平面平行运动O 刚体定点转动刚体定点转动第八章第八章 刚体力学刚体力学c6第6页，共62页，编辑于2022年，星期五 一般来说，刚体的任何运动都可分解为基点的平动和绕该点的定一般来说，刚体的任何运动都可分解为基点的平动和绕该点的定点转动的合成。选择不同的基点，平动速度就不同；而转动角速度就点转动的合成。选择不同的基点，平动速度就不同；而转动角速度就与基点的选择无关。即刚体上的与基点的选择无关。即刚体上的角速度矢量的大小和方向都相同。这即是角速度矢量的大小和方向都相同。这即是刚体角速度的绝对刚体角速度

8、的绝对性性。证明：如图证明：如图,选选c为基点，则为基点，则p点点 的速度的速度三、刚体角速度三、刚体角速度(矢量矢量)的绝对性的绝对性若选若选 为基点，则为基点，则p点绕点绕 点有一角点有一角速度速度 ，则，则第八章第八章 刚体力学刚体力学7第7页，共62页，编辑于2022年，星期五注意到注意到代入前一式有代入前一式有由此得到由此得到四、作用在刚体的力系的简化四、作用在刚体的力系的简化（自己看书！自己看书！）*作用在刚体的任何力系，最终可以等效为一个作用在刚体上某一点的力作用在刚体的任何力系，最终可以等效为一个作用在刚体上某一点的力和一个力偶矩方向与之平行的力偶。和一个力偶矩方向与之平行的力

9、偶。第八章第八章 刚体力学刚体力学8第8页，共62页，编辑于2022年，星期五（二）刚体的定轴转动（二）刚体的定轴转动一、定轴转动刚体的角动量和转动惯量一、定轴转动刚体的角动量和转动惯量 如图所示，考虑以角速度如图所示，考虑以角速度 绕绕z轴转轴转动的一个刚体，其上任一质元动的一个刚体，其上任一质元 相对相对于原点于原点O的角动量为的角动量为 的方向垂直于由矢量的方向垂直于由矢量 和和 决决定的平面，因此与转动轴定的平面，因此与转动轴 z 之间的夹角之间的夹角为为 ，的大小为的大小为Li?第八章第八章 刚体力学刚体力学Li所以刚体相对所以刚体相对O的总角动量为的总角动量为9第9页，共62页，编

10、辑于2022年，星期五刚体转动惯量定义：刚体转动惯量定义：因此，定轴转动刚体的总角动量因此，定轴转动刚体的总角动量 在转动轴在转动轴 z 轴上的分量的大小为轴上的分量的大小为其中Ri=risin 为质元mi到转轴的垂直距离一般而言，刚体的总角动量并不一定平行于转一般而言，刚体的总角动量并不一定平行于转动轴，即不一定与同方向，它们之间的关系不能简单动轴，即不一定与同方向，它们之间的关系不能简单地用一个标量的转动惯量联系起来。地用一个标量的转动惯量联系起来。什么情况下方向相同？第八章第八章 刚体力学刚体力学-刚体绕刚体绕z轴的转动惯量轴的转动惯量10第10页，共62页，编辑于2022年，星期五附附

11、:定轴转动时刚体总角动量为（相对定轴转动时刚体总角动量为（相对O点）点）注意到质量元注意到质量元mi的位矢和角速度分量表示为的位矢和角速度分量表示为按矢积运算规则展开按矢积运算规则展开于是总角动量的三个分量为于是总角动量的三个分量为Li第八章第八章 刚体力学刚体力学11第11页，共62页，编辑于2022年，星期五二、转动惯量的计算二、转动惯量的计算1.离散分布的物体离散分布的物体2.连续分布的物体连续分布的物体说明：说明：其中Ri为质元mi到转轴的垂直距离Li1)刚刚体体的的转转动动惯惯量量是是由由总总质质量量、质质量量分分布布、转转轴轴的的位位置置三三个个因因素素决决定定;2)同同一一刚刚体

12、体对对不不同同转转轴轴的的转转动动惯惯量量不不同同,凡凡是是提提到到转转动动惯惯量量,必必须须指明它是对哪个轴的才有意义指明它是对哪个轴的才有意义;第八章第八章 刚体力学刚体力学3)物体由物体由A和和B两部分组成两部分组成,则有则有 ,其中其中I、IA和和 IB是相对于同一转轴是相对于同一转轴.12第12页，共62页，编辑于2022年，星期五3.平行轴定理平行轴定理其中其中 为刚体绕质心轴的转动惯量；为刚体绕质心轴的转动惯量；d 为两为两平行轴间距离。平行轴间距离。现以薄板为特例给以证明平行轴定理现以薄板为特例给以证明平行轴定理 如图，选质心坐标系如图，选质心坐标系c，质量元对，质量元对O点点

13、位矢为位矢为 ，对质心，对质心 c 的位矢为的位矢为 ，注意，注意到矢量三角形有到矢量三角形有dOc刚体绕某一轴的转动惯量必等于刚体绕某一轴的转动惯量必等于刚体绕刚体绕通过通过质质心心并与之平行的转轴的转动惯量加上总质量并与之平行的转轴的转动惯量加上总质量与两轴距离平方的乘积，即与两轴距离平方的乘积，即第八章第八章 刚体力学刚体力学dcOi13第13页，共62页，编辑于2022年，星期五代入转动惯量公式代入转动惯量公式对于三维刚体或质点组，该关系式也是正确的，其证明思路对于三维刚体或质点组，该关系式也是正确的，其证明思路类似上述类似上述.dcO对质心轴的转动惯量Ic =0 =第八章第八章 刚体

14、力学刚体力学14第14页，共62页，编辑于2022年，星期五4.正交轴定理正交轴定理其中其中x,y为平面内正交的轴；为平面内正交的轴；z 为垂直平面的为垂直平面的轴（此定理自已证明）轴（此定理自已证明）zxy几种典型形状刚体的转动惯量计算几种典型形状刚体的转动惯量计算1)均匀细棒均匀细棒a)转轴过中心与杆垂直转轴过中心与杆垂直dxxOdmz对一对一平面分布平面分布的刚体（质点组），取的刚体（质点组），取z轴垂直轴垂直此平面，此平面，x、y轴取在平面内，那么刚体对三根轴取在平面内，那么刚体对三根轴的转动惯量有关系轴的转动惯量有关系第八章第八章 刚体力学刚体力学15第15页，共62页，编辑于202

15、2年，星期五b)转轴过棒一端与棒垂直转轴过棒一端与棒垂直xOdxdmz2)均匀细圆环均匀细圆环转轴过圆心与环面垂直，取转轴过圆心与环面垂直，取另解：应用平行轴定理，同样可得另解：应用平行轴定理，同样可得ROzdmm第八章第八章 刚体力学刚体力学16第16页，共62页，编辑于2022年，星期五3)均匀圆盘绕中心轴的转动惯量均匀圆盘绕中心轴的转动惯量质量为质量为m,半径为半径为R,厚为厚为l,转轴过圆心与环面垂直转轴过圆心与环面垂直薄圆环薄圆环RrOlmz第八章第八章 刚体力学刚体力学17第17页，共62页，编辑于2022年，星期五4)均匀圆筒绕中心轴的转动惯量均匀圆筒绕中心轴的转动惯量 由圆盘由

16、圆盘则圆筒则圆筒其中其中第八章第八章 刚体力学刚体力学18第18页，共62页，编辑于2022年，星期五5)均匀薄球壳绕直径的转动惯量均匀薄球壳绕直径的转动惯量 圆环质元圆环质元质元面积质元面积均匀薄球壳均匀薄球壳z第八章第八章 刚体力学刚体力学19第19页，共62页，编辑于2022年，星期五例题例题8.1 如图如图,圆环质量圆环质量 ,半径半径R，短棒质量，短棒质量 ，长度长度d，求对，求对l轴的转动惯量轴的转动惯量根据平行轴定理，圆环对转轴根据平行轴定理，圆环对转轴l的转动惯量为的转动惯量为dlR 圆环转轴通过直径的转动惯量，圆环转轴通过直径的转动惯量，根据正交轴定理有根据正交轴定理有解：解

17、：因此，整个元件对因此，整个元件对l轴的转动惯量为轴的转动惯量为Ix第八章第八章 刚体力学刚体力学20第20页，共62页，编辑于2022年，星期五（三）刚体定轴转动定律和功能关系（三）刚体定轴转动定律和功能关系一、刚体定轴转动定律一、刚体定轴转动定律 将质点系角动量定理应用于刚体定轴转动，得到将质点系角动量定理应用于刚体定轴转动，得到轴向分量轴向分量 的角动量的变化率为的角动量的变化率为考虑到考虑到 ，得，得 该式即为定轴转动定理该式即为定轴转动定理.充分显露出充分显露出转动惯量转动惯量的本性的本性 刚刚体在定轴转动时表现出来的惯性的一种量度体在定轴转动时表现出来的惯性的一种量度.这是研究刚体

18、定轴转动的基本方程第八章第八章 刚体力学刚体力学21第21页，共62页，编辑于2022年，星期五v力矩和转动惯量必须对同一转轴而言力矩和转动惯量必须对同一转轴而言,具有具有瞬时性瞬时性转动定律的应用：转动定律的应用：1.隔离法分析研究对象隔离法分析研究对象2.建立坐标系建立坐标系3.列出分量运动方程列出分量运动方程讨论：讨论：v当系统中既有转动物体当系统中既有转动物体,又有平动物体时又有平动物体时,用隔离法解题用隔离法解题.对转动物体用转动定律建立方程对转动物体用转动定律建立方程,对平动物体则用牛顿定律对平动物体则用牛顿定律建立方程建立方程v选定转轴的正方向选定转轴的正方向,以便确定力矩或角加

19、速度以便确定力矩或角加速度,角速度的正负角速度的正负第八章第八章 刚体力学刚体力学22第22页，共62页，编辑于2022年，星期五例例题题8.2 一一轻轻绳绳跨跨过过一一定定滑滑轮轮,滑滑轮轮视视为为圆圆盘盘,绳绳的的两两端端分分别别悬悬有有质质量量为为m1和和m2的的物物体体,m1m2.设设滑滑轮轮的的质质量量为为m,半半径径为为r,所所受受的的摩摩擦擦阻阻力力矩矩为为Mr.绳绳与与滑滑轮轮之之间间无无相相对对滑滑动动.求求:物体的加速度和绳的张力物体的加速度和绳的张力.m1m2aT2 T1 T1T2G2G1aam1m2解解:隔离法列出运动方程隔离法列出运动方程 滑滑轮轮边边缘缘上上的的切切

20、向向加加速速度度和和物物体的加速度相等体的加速度相等第八章第八章 刚体力学刚体力学23第23页，共62页，编辑于2022年，星期五从以上各式解得从以上各式解得m1m2T2 T1 T1T2G2G1aaam1m2第八章第八章 刚体力学刚体力学24第24页，共62页，编辑于2022年，星期五例题例题8.3 长为长为2l，质量为，质量为M的均匀梯子，上端靠在光滑的墙上，梯与地面的的均匀梯子，上端靠在光滑的墙上，梯与地面的摩擦系数为摩擦系数为。有一质量为。有一质量为m的人攀登到距离下端的人攀登到距离下端l1的地方，如图所示。的地方，如图所示。求梯子不滑动的条件。求梯子不滑动的条件。第八章第八章 刚体力学

21、刚体力学yxOl1刚体的平衡问题：刚体的平衡问题：刚体既不平动，也不转动；或匀速直线运动，刚体既不平动，也不转动；或匀速直线运动，则有则有解解:假定梯子不滑动，则梯子受力情况如图所假定梯子不滑动，则梯子受力情况如图所示，示，为梯子与地面夹角为梯子与地面夹角这是刚体的平衡充分必要条件。这是刚体的平衡充分必要条件。N1mgN2CfMg（注：以（注：以C为参考点）为参考点）25第25页，共62页，编辑于2022年，星期五第八章第八章 刚体力学刚体力学联立可得联立可得由梯子不滑动的条件由梯子不滑动的条件 得得讨论：讨论：1.1.对于一定倾角对于一定倾角，人所能攀登的高度为，人所能攀登的高度为2.2.若

22、要求人攀登的高度为若要求人攀登的高度为l1 1，则要求梯子的倾角为，则要求梯子的倾角为26第26页，共62页，编辑于2022年，星期五1.力矩的功力矩的功力矩功的表达式：力矩功的表达式：由功的定义式由功的定义式:zrd O ds二、定轴转动中的功能关系二、定轴转动中的功能关系力矩的功率力矩的功率第八章第八章 刚体力学刚体力学27第27页，共62页，编辑于2022年，星期五2.刚体转动动能刚体转动动能刚体分为质元刚体分为质元对应位置对应位置动能为动能为刚体定轴转动时刚体定轴转动时,各质元的动能：各质元的动能：刚体的动能为各质元动能的总和：刚体的动能为各质元动能的总和：第八章第八章 刚体力学刚体力

23、学刚体转动动能刚体转动动能28第28页，共62页，编辑于2022年，星期五3.刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理由转动定律由转动定律力矩作功和刚体动能变化关系力矩作功和刚体动能变化关系得得合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动的动能增量合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动的动能增量刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理第八章第八章 刚体力学刚体力学29第29页，共62页，编辑于2022年，星期五4.刚体的机械能守恒定律刚体的机械能守恒定律 可见刚体的重力势能与质量集中在质心上的一个质点的重力势能相可见刚体的重力势能与质量集中在质心上的一个质点的重力势能相同，只由质心的位置决定，而与刚体的具体

24、方位无关同，只由质心的位置决定，而与刚体的具体方位无关.刚体的重力势能：作为质点系，刚体的重力势能应为各质元刚体的重力势能：作为质点系，刚体的重力势能应为各质元 重力势能之和重力势能之和 若刚体在转动过程中若刚体在转动过程中,只有重力矩做功只有重力矩做功,则刚体系统机械能守恒则刚体系统机械能守恒.刚体转动的机械能守恒刚体转动的机械能守恒第八章第八章 刚体力学刚体力学30第30页，共62页，编辑于2022年，星期五（四）定轴转动刚体的角动量定理（四）定轴转动刚体的角动量定理一、刚体定轴转动的角动量定理一、刚体定轴转动的角动量定理由定轴转动定律知，相对由定轴转动定律知，相对z 轴有轴有 其中其中I

25、在刚体转动过程中是不变的在刚体转动过程中是不变的.即使物体不是刚体，或它对即使物体不是刚体，或它对定轴的转动惯量可以随时改变时，定轴的转动惯量可以随时改变时，但是但是只要任一瞬时它是绕该只要任一瞬时它是绕该定轴以角速度定轴以角速度 转动，上式仍然成立。转动，上式仍然成立。刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理第八章第八章 刚体力学刚体力学 若绕对称轴（或自由轴、惯量主轴）转动时，由若绕对称轴（或自由轴、惯量主轴）转动时，由L=Iz 和上式积分得和上式积分得惯量主轴惯量主轴，即即L与与 同方向的同方向的转轴，对刚体任一点，不一定转轴，对刚体任一点，不一定有对称轴，但过该点必能找到有对称

26、轴，但过该点必能找到一组互相垂直的惯量主轴一组互相垂直的惯量主轴31第31页，共62页，编辑于2022年，星期五二、刚体角动量守恒定律二、刚体角动量守恒定律说明：说明：1.角动量保持不变是转动惯量与角速度的积不变角动量保持不变是转动惯量与角速度的积不变.角动量守恒的两种情况角动量守恒的两种情况:i.刚体定轴转动时刚体定轴转动时,如果转动惯量不变如果转动惯量不变,则角速度也不变则角速度也不变;ii.如转动惯量改变如转动惯量改变,则角速度也改变则角速度也改变.2.多物体组成的系统角动量具有可叠加性多物体组成的系统角动量具有可叠加性L1L2L=L1+L2m1m2第八章第八章 刚体力学刚体力学3.角动

27、量守恒定律是一条普适定律角动量守恒定律是一条普适定律动能守恒?谁在做功?32第32页，共62页，编辑于2022年，星期五角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变,因而产生了因而产生了季节变化季节变化.北北南南北北南南角动量守恒的现象角动量守恒的现象:第八章第八章 刚体力学刚体力学33第33页，共62页，编辑于2022年，星期五质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一一)质点的运动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度质量m,力F转动惯量I,力矩M力的功力矩的功动能转动动能势能质心势能第八章第八章 刚体力学刚体力

28、学34第34页，共62页，编辑于2022年，星期五质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二二)质点的运动刚体的定轴转动运动定律运动定律动量定理角动量定理动量守恒角动量守恒动能定理动能定理机械能守恒机械能守恒第八章第八章 刚体力学刚体力学35第35页，共62页，编辑于2022年，星期五例例题题8.4 一一匀匀质质细细棒棒长长为为l,质质量量为为m,可可绕绕通通过过其其端端点点O的的水水平平轴轴转转动动.当当棒棒从从水水平平位位置置自自由由释释放放后后,它它在在竖竖直直位位置置上上与与放放在在地地面面上上的的物物体体相相撞撞.该该物物体体的的质质量量也也为为

29、m,它它与与地地面面的的摩摩擦擦系系数数为为.相相撞撞后后,物物体体沿沿地地面面滑滑行行一一距距离离s 而而停停止止.求求:相相撞撞后后棒棒的的质质心心C离离地地面面的的最最大大高高度度h,并并说说明明棒棒在在碰碰撞撞后将向左摆或向右摆的条件后将向左摆或向右摆的条件.解解:1)棒自由摆落的过程棒自由摆落的过程 除除重重力力外外,其其余余内内力力与与外外力力都都不不作作功功,故故机械能守恒机械能守恒(1)COmml第八章第八章 刚体力学刚体力学36第36页，共62页，编辑于2022年，星期五(2)2)碰撞过程，由角动量守恒得碰撞过程，由角动量守恒得由匀减速直线运动的公式得由匀减速直线运动的公式得

30、(4)3)物体在碰撞后的滑行过程物体在碰撞后的滑行过程(3)物体作匀减速直线运动物体作匀减速直线运动,加速度由牛顿第二定律确定加速度由牛顿第二定律确定由式由式(1)-(4)联立求解联立求解,得得第八章第八章 刚体力学刚体力学37第37页，共62页，编辑于2022年，星期五4)棒碰撞后的过程棒碰撞后的过程 除重力外除重力外,其余内力与外力都不作功其余内力与外力都不作功,故机械能守恒故机械能守恒,即即棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件:向左摆向左摆向右摆向右摆即即即即第八章第八章 刚体力学刚体力学COmmlh-l/238第38页，共62页，编辑于2022年，星期五例例

31、题题8.5 质质量量很很小小,长长度度为为l 的的均均匀匀细细杆杆,可可绕绕通通过过其其中中心心点点O并并与与纸纸平平面面垂垂直直的的轴轴在在竖竖直直平平面面内内转转动动,当当细细杆杆静静止止在在水水平平位位置置时时,有有一一只只小小虫虫以以速速率率v0垂垂直直落落在在距距点点O为为l/4处处,并并背背离离点点O向向细细杆杆的的端端点点A爬爬行行。设设小小虫虫的的质质量量与与细细杆杆的的质质量量均均为为m.问问:欲欲使使细细杆杆以以恒恒定定的的角角速速度度转转动动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行小虫应以多大速率向细杆端点爬行.Ol/4mv0r PAA第八章第八章 刚体力学刚体力学39第39页，

32、共62页，编辑于2022年，星期五解解:小小虫虫落落在在细细杆杆上上,可可视视为为完完全全非非弹弹性性碰碰撞撞,且且碰碰撞撞时时间间极极短短.重重力力的的冲冲量量矩矩可可略略去去不不计计,细细杆杆带带着着小小虫虫一一起起以以角角加加速速度度 转转动动.碰碰撞撞前前后后,小小虫虫与与细杆的角动量守恒细杆的角动量守恒故由上式可得细杆角速度为故由上式可得细杆角速度为作用在细杆和小虫系统的外力矩仅为小虫所受的重力矩作用在细杆和小虫系统的外力矩仅为小虫所受的重力矩,即即(1)由于小虫角速度恒定由于小虫角速度恒定,故从转动定律可得故从转动定律可得(2)第八章第八章 刚体力学刚体力学40第40页，共62页，

33、编辑于2022年，星期五上式微分得上式微分得:(1)(3)式联立求解得式联立求解得:考虑到考虑到=t,并且将并且将 值值代入上式得代入上式得:(3)第八章第八章 刚体力学刚体力学41第41页，共62页，编辑于2022年，星期五解解:把把演演员员视视为为质质点点,M、N和和跷跷板板作作为为一一个个系系统统,以以通通过过点点C垂直平面的轴为转轴垂直平面的轴为转轴.由由于于作作用用在在系系统统上上的的合合外外力力矩矩为为零零,故故系系统统的的角角动动量量守守恒恒例例题题8.6 一一杂杂技技演演员员M由由距距水水平平跷跷板板高高为为h处处自自由由下下落落到到跷跷板板的的一一端端,并并把把跷跷板板另另一

34、一端端的的演演员员N弹弹了了起起来来.设设跷跷板板是是匀匀质质的的,长长度度为为l,质质量量为为m,支支撑撑板板在在板板的的中中点点C,跷跷板板可可绕绕点点C在在竖竖直直平平面面内内转转动动,演演员员M,N的的质质量量都都是是m.假假定定演演员员M落落在在跷跷板板上上,与与跷跷板板的的碰碰撞撞是是完完全全非非弹弹性性碰碰撞撞.问问演演员员N可弹起多高可弹起多高.NhMCABl/2lm mm第八章第八章 刚体力学刚体力学42第42页，共62页，编辑于2022年，星期五I为其跷板的转动惯量为其跷板的转动惯量,把板看成是窄长条形状把板看成是窄长条形状这样演员这样演员N将以速率将以速率u=l/2跳起跳

35、起,达到的高度达到的高度h 为为第八章第八章 刚体力学刚体力学43第43页，共62页，编辑于2022年，星期五（五）刚体的平面平行运动（五）刚体的平面平行运动一、运动学特征一、运动学特征1.基面、基点与基轴基面、基点与基轴 选定一轨道平面为参考平面，简称为基面，其他轨道平面均平选定一轨道平面为参考平面，简称为基面，其他轨道平面均平行于基面行于基面.于是，三维刚体的平面运动被简化为基面上各点的二于是，三维刚体的平面运动被简化为基面上各点的二维运动。维运动。选定基面上的一点作为参考的基点选定基面上的一点作为参考的基点.通过基点且垂直基面的通过基点且垂直基面的直线被称为基轴直线被称为基轴.则刚体的平

36、面平行运动被分解为基轴的平动加则刚体的平面平行运动被分解为基轴的平动加上绕基轴的转动（上绕基轴的转动（n=3）.一般选基轴通过质心一般选基轴通过质心.2.速度表示式速度表示式:设基点为设基点为c，线速度为，线速度为 ，则，则 刚体运动时刚体运动时,各点始终和某一平面保持一定的距离各点始终和某一平面保持一定的距离,或者说刚或者说刚体中各点都平行于某一平面而运动体中各点都平行于某一平面而运动.第八章第八章 刚体力学刚体力学44第44页，共62页，编辑于2022年，星期五 3.瞬时转动中心（瞬心）瞬时转动中心（瞬心）:基面上必定存在一个特殊点，其基面上必定存在一个特殊点，其 瞬时速度为零瞬时速度为零

37、,该点被称作瞬心该点被称作瞬心.过该点且垂直于运动过该点且垂直于运动 平面的转轴称为瞬时转轴。瞬心的位矢平面的转轴称为瞬时转轴。瞬心的位矢 决定于方程决定于方程说明说明:(1)如图，若已知质心如图，若已知质心C的速度的速度和角速度和角速度 ,则可知瞬心则可知瞬心 在与在与 垂垂直的方向上距离直的方向上距离C点为点为 的地方。的地方。(2)在任一瞬时，截面上任一点的速度在任一瞬时，截面上任一点的速度方向均与该点相对于瞬心的位置垂直。故方向均与该点相对于瞬心的位置垂直。故只要过截面上任意两点引两条与速度方向只要过截面上任意两点引两条与速度方向垂直的直线，两直线的交点即为瞬心的位垂直的直线，两直线的

38、交点即为瞬心的位置。瞬心可以在刚体上，也可以在刚体外置。瞬心可以在刚体上，也可以在刚体外与刚体保持刚性连结的空间点上与刚体保持刚性连结的空间点上.(如图如图)第八章第八章 刚体力学刚体力学45第45页，共62页，编辑于2022年，星期五二、运动方程二、运动方程利用质心运动定理，求质心的运动利用质心运动定理，求质心的运动 利用定轴转动定理，在质心坐标系中，讨论通过质心并垂利用定轴转动定理，在质心坐标系中，讨论通过质心并垂直于空间固定平面的轴的转动，有直于空间固定平面的轴的转动，有 平面平行运动有三个自由度，利用上述三个方程完全描述平面平行运动有三个自由度，利用上述三个方程完全描述运动运动.(3)

39、在平面平行运动问题中，有时可利用瞬时转轴概念，将在平面平行运动问题中，有时可利用瞬时转轴概念，将问题简化为单纯的转动问题。问题简化为单纯的转动问题。第八章第八章 刚体力学刚体力学注注:此力矩为此力矩为z z轴的分量轴的分量.46第46页，共62页，编辑于2022年，星期五三、功能原理三、功能原理 由质点系动能的柯尼希定理知，刚体平面平行运动中动由质点系动能的柯尼希定理知，刚体平面平行运动中动能可以表为质心的平动动能与绕质心的转动动能之和，即能可以表为质心的平动动能与绕质心的转动动能之和，即由质心运动定理由质心运动定理由质心角动量定理由质心角动量定理总外力矩合外力第八章第八章 刚体力学刚体力学4

40、7第47页，共62页，编辑于2022年，星期五讨论讨论：若不取质心为基点，就不能如此分解若不取质心为基点，就不能如此分解.如果作用在刚体上的力为保守力，必然导致机如果作用在刚体上的力为保守力，必然导致机械能守恒，即械能守恒，即因此，刚体平面平行运动的功能原理为因此，刚体平面平行运动的功能原理为四、滚动四、滚动 接触面之间有相对滑动的滚动称为有滑动滚动，接触面之接触面之间有相对滑动的滚动称为有滑动滚动，接触面之间无相对滑动的滚动称为无滑动滚动，或称纯滚动间无相对滑动的滚动称为无滑动滚动，或称纯滚动.第八章第八章 刚体力学刚体力学48第48页，共62页，编辑于2022年，星期五1.纯滚动的运动学判

41、据纯滚动的运动学判据关于纯滚动关于纯滚动2.静摩擦力不作功静摩擦力不作功 如图，静摩擦力做功可以用刚体平如图，静摩擦力做功可以用刚体平面平行运动的功能原理写为面平行运动的功能原理写为根据运动学判据，根据运动学判据，有有Rf第八章第八章 刚体力学刚体力学AACC49第49页，共62页，编辑于2022年，星期五3.确定静摩擦力的方向：假定两刚性表面不存在摩擦，判确定静摩擦力的方向：假定两刚性表面不存在摩擦，判定刚体与承滚面相接触的那一点将向何方运动，则作用在此定刚体与承滚面相接触的那一点将向何方运动，则作用在此刚体的静摩擦力方向必与其反向刚体的静摩擦力方向必与其反向.实例实例：车轮在刚性水平地面上

42、纯滚动车轮在刚性水平地面上纯滚动.静摩擦力为静摩擦力为 零零汽车主、被动轮所受汽车主、被动轮所受 静静 摩擦力的方向摩擦力的方向主动轮必须有向前的静摩擦力，主动轮必须有向前的静摩擦力，作为推动汽车前进的动力（作为推动汽车前进的动力（a）；）；而被动轮必受向后的摩擦力（而被动轮必受向后的摩擦力（b）.车轮在斜面上的纯滚动车轮在斜面上的纯滚动车轮向上，静摩擦力必向上；车轮向上，静摩擦力必向上；车轮向下，静摩擦力仍向上车轮向下，静摩擦力仍向上.v（a）fvf（b）第八章第八章 刚体力学刚体力学50第50页，共62页，编辑于2022年，星期五例例题题8.7 一一质质量量为为m,半半径径为为R的的均均质

43、质圆圆柱柱,在在水水平平外外力力F作作用用下下,在在粗粗糙糙的的水水平平面面上上作作纯纯滚滚动动,力力的的作作用用线线与与圆圆柱柱中中心心轴轴线线的的垂垂直直距距离离为为l.求求:质质心心的的加加速速度度和和圆圆柱柱所所受受的的静静摩摩擦擦力力.圆柱对质心的转动定律：圆柱对质心的转动定律：纯滚动条件纯滚动条件圆柱对质心的转动惯量为圆柱对质心的转动惯量为解解:设静摩擦力设静摩擦力f 的方向如图所示的方向如图所示,则由质心运动方程则由质心运动方程第八章第八章 刚体力学刚体力学 FaCmRfl51第51页，共62页，编辑于2022年，星期五联立以上四式联立以上四式,得得 FaCf由此可见由此可见第八

44、章第八章 刚体力学刚体力学52第52页，共62页，编辑于2022年，星期五解解:取取圆圆柱柱体体,弯弯形形和和圆圆形形滑滑道道以以及及地地球球为为一一个个系系统统,在在圆圆柱柱体体下下滑滑过程中机械能守恒过程中机械能守恒所以所以例例题题8.8 有有一一半半径径为为r 的的匀匀质质圆圆柱柱体体,从从其其质质心心距距地地面面高高为为h的的滑滑道道上上由由静静止止滚滚动动而而下下,进进入入半半径径为为R的的圆圆环环形形滑滑道道,设设圆圆柱柱体体在在两两段段滑滑道道上上均均做做纯纯滚滚动动.求求:此此圆圆柱柱体体能能在在圆圆环环形形滑滑道内完成圆周运动道内完成圆周运动,h至少有多大的值至少有多大的值?

45、R-rCvCP2rORCh第八章第八章 刚体力学刚体力学53第53页，共62页，编辑于2022年，星期五可得圆柱体在圆环滑道上完成圆周运动的条件可得圆柱体在圆环滑道上完成圆周运动的条件圆柱体在圆形滑道顶点时的质心运动方程为圆柱体在圆形滑道顶点时的质心运动方程为圆柱体能完成完整的圆周运动的条件应当是圆柱体能完成完整的圆周运动的条件应当是第八章第八章 刚体力学刚体力学54第54页，共62页，编辑于2022年，星期五（六）（六）刚体的定点转动刚体的定点转动陀螺的运动陀螺的运动 绕对称轴高速旋转的刚体称为绕对称轴高速旋转的刚体称为陀螺陀螺，或称，或称回转仪回转仪.陀螺在运动过程中通常有一点保持固定，故

46、属刚体的定点运动陀螺在运动过程中通常有一点保持固定，故属刚体的定点运动.利用角动量和角速度的矢量性质，可以解释陀螺的运动利用角动量和角速度的矢量性质，可以解释陀螺的运动.一、陀螺的回转效应一、陀螺的回转效应若陀螺不在转动，且对称轴若陀螺不在转动，且对称轴不在铅垂方向，则会向一个方向倾不在铅垂方向，则会向一个方向倾倒：倒：若陀螺高速自转，被外力冲击时，若陀螺高速自转，被外力冲击时，仍可在原转轴附近回旋，而不会仍可在原转轴附近回旋，而不会继续倾倒继续倾倒进动进动OzzOmg Oz进动轴自转轴第八章第八章 刚体力学刚体力学55第55页，共62页，编辑于2022年，星期五二、陀螺的进动二、陀螺的进动进

47、动进动OzOz rCsin MmgrCOz Lsin MmgLd 说明陀螺运动时能产生一种与外力抗衡的内力矩，这种内力矩说明陀螺运动时能产生一种与外力抗衡的内力矩，这种内力矩称为回转力矩称为回转力矩1.由角动量定理出发：由角动量定理出发：如图，对固定点如图，对固定点O，陀螺只受重力矩，陀螺只受重力矩的作用，即的作用，即第八章第八章 刚体力学刚体力学自转轴56第56页，共62页，编辑于2022年，星期五根据刚体角动量定理根据刚体角动量定理 即角动量的变化量即角动量的变化量dL应像应像M一样垂直于一样垂直于L.L的顶端绕一水的顶端绕一水平圆周运动平圆周运动.陀螺自转轴绕竖直轴的转动即为进动陀螺自转

48、轴绕竖直轴的转动即为进动.又如图又如图Oz Lsin MmgLd 第八章第八章 刚体力学刚体力学进动轴自转轴57第57页，共62页，编辑于2022年，星期五 由此可见，陀螺的进动角速度随着自转角速度由此可见，陀螺的进动角速度随着自转角速度 的的增大而减少，与角度增大而减少，与角度 无关无关.其中其中L是陀螺的自转角动量，为陀螺绕其对称轴旋转的转是陀螺的自转角动量，为陀螺绕其对称轴旋转的转动惯量动惯量I与自转角速度与自转角速度 的乘积的乘积.因此，陀螺的进动角速度为因此，陀螺的进动角速度为Oz Lsin MmgLd 第八章第八章 刚体力学刚体力学(1)(1)考虑到进动角速度的方向，由（考虑到进动

49、角速度的方向，由（1 1）和（）和（2 2）式可得）式可得(2)(2)58第58页，共62页，编辑于2022年，星期五2.直观物理图象直观物理图象进动进动Oz选自转轴上一点为参考系原点，该参考系随自转选自转轴上一点为参考系原点，该参考系随自转轴一起进动（绕进动轴转动），则参考系为非惯轴一起进动（绕进动轴转动），则参考系为非惯性参考系。性参考系。重力重力mg和惯性离心力和惯性离心力fc：产生的力矩使陀螺倾倒的倾向：产生的力矩使陀螺倾倒的倾向科里奥利力科里奥利力fcor：分析可得，如图：分析可得，如图A、B两点处的两点处的fcor提供的提供的合力矩使陀螺不致倾倒。合力矩使陀螺不致倾倒。重力重力mg

50、和惯性离心力和惯性离心力fc与陀螺自转角速度无关；与陀螺自转角速度无关；科里奥利力科里奥利力fcor 与陀螺自转角速度成正比。与陀螺自转角速度成正比。因此，只要陀螺自转角速度足够高时，陀螺就能不倾倒甚至能够使因此，只要陀螺自转角速度足够高时，陀螺就能不倾倒甚至能够使倾角变小。当然自转角速度很小时，仍会倾倒。倾角变小。当然自转角速度很小时，仍会倾倒。在此参考系中，陀螺除受到重力作用外，在此参考系中，陀螺除受到重力作用外，还受到惯性离心力和科里奥利力，如图还受到惯性离心力和科里奥利力，如图mgfcA B第八章第八章 刚体力学刚体力学O59第59页，共62页，编辑于2022年，星期五四、陀螺特点四、